─2016学年下学期高二期末考试数学试卷(文科含答案)

2015─2016 学年高二下学期期末考试
文科数学

注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,答卷前,考生务必将
自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上. 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷

一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.设全集U ? {1,2,3,4,5} ,集合 A ? {1,3,5} ,集合 B ? {3,4},则 (CU A) ? B =( )

A.{3}

B.{4}

C.{2,3,4}

D.{1,3,4,5}

2.若复数 z 满足 z(1? i) ? 2i ( i 为虚数单位),则| z | =( )

A.1

B. 2

C. 3

D. 2

3.一个球的体积是 36? ,那么这个球的表面积为( )

A. 8?

B.12?

C.16?

D. 36?

4.设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=2,则抛物线的方程是( )

A. y 2 ? ?8x

B. y 2 ? ?4x

C. y 2 ? 4x

D. y 2 ? 8x

?x ? 1 5.若 x, y ? R ,且 ??x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则 z ? 2x ? y 的最小值等于 ( )
?? y ? x

A. ?1

B.0

C.1

D.3

6.将两个数 a ? 5, b ? 12 交换,使 a ? 12 , b ? 5 ,下面语句正确一组是 ( )

A. a=b b=a

B.

b=a a=b

c=b C. a=c
b=a

c=b D. b=a
a=c

7.某三棱锥的三视图如右图示,则该三棱锥的体积是( )

A. 8

B. 32 3

C. 40 3

D. 32

8.已知下表是 x 与 y 之间的一组数据:

则 y 与 x 的线性回归方程为 y? ? bx ? a 必过点( )

A.( 3 ,3) 2

B.( 3 ,4) 2

C. (2,3)

D. (2,4)

9.已知某函数图象的一部分如右图示,则函数的解析式可能是( )

A.y=cos(2x-π6) C.y=cos(4x-3π)

B.y=sin(2x-π6) D.y=sin(x+π6)

10.已知双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? 0,b ? 0) 的离心率为

6 ,则其渐近线方程为( 2

)

A. y ? ? 1 x 2

B. y ? ? 2 x 2

C. y ? ? 2x

D. y ? ?2x

11.将进货单价为 80 元的商品按 90元一个售出时,能卖出 400 个,已知这种商品每涨价 1元,其销售量就要减少 20 个,为了获得最大利润,每个售价应定为( )

A. 95元

B. 100 元

C. 105 元

D. 110元

12.已知数列{an}各项均不为 0,其前 n 项和为 S n ,且对任意 n ? N * 都有

(1 ? p)Sn ? p ? pan(p为大于1的常数),则 an = ( )

A. ( 2 p ? 1)n?1 p

B. p( 2 p ?1)n?1 p

C. p n?1

D. p n

第Ⅱ卷 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.圆 x2 ? y2 ? 4x ? 2 y ? 4 ? 0 的圆心和半径分别是____________________;

14.在等比数列{an}中,若 a2 , a10 是方程 3x2 ?11x ? 9 ? 0 的两根,则 a6 的值是______; 15.已知向量 a ? (4,m) , b ? (1,?2) ,若 a ? b ,则| a ? b |? ____________;
16.己知 y ? f (x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f (x) ? x ? 2 ,那么不等式 2 f (x) ?1 ? 0 的解集是______________.
三、解答题:(本大题共 6 小题, 17~21 题每题 12 分,22 题 10 分,共 70 分,解答应 写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)
已知 a、b、c 是△ABC 中 A、B、C 的对边,S 是△ABC 的面积.若 a=4,b=5, S=5 3,求 c 的长度.

18.(本小题满分 12 分) 为了了解云南各景点在大众人群中的熟知度,随机对 15~65 岁的人群抽取了 n 人

回答问题“云南省有哪几个著名的旅游景点?”统计结果如下图表所示.

组号

分组

回答正确 回答正确的人数 的人数 占本组的频率

第 1 组 [15,25)

a

0.5

第 2 组 [25,35)

18

x

第 3 组 [35,45)

b

0.9

第 4 组 [45,55)

9

0.36

第 5 组 [55,65]

3

y

(1)分别求出表中 a,b,x,y 的值; (2)从第 2,3,4 组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取 6 人,求第 2,3,4 组每
组各抽取多少人? (3)在(2)抽取的 6 人中随机抽取 2 人,求所抽取的人中恰好没有第 3 组人的概率.

19.(本小题满分 12 分) 如图,直四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,底面 ABCD是菱形,且 ?ABC ? 60? ,E 为棱 CD
的中点.
(1)求证: A1C // 平面AED1 ; (2)求证:平 面 A E D1 ? 平面C DD1C1 .
(3)若 AD=2,DD1= 3 ,求二面角 D1 ? AE ? B 的大小.

20.(本小题满分 12 分)

已知椭圆 C :

x2 a2

?

y2 b2

? 1 (a

?b

? 0) 的离心率为

2 ,且过点 (1, 2

2). 2

(1)求椭圆 C 的方程;

(2)求过点 (1,0) 且斜率为 1 的直线 l 被椭圆 C 所截线段的中点坐标. 2

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f (x) ? ln x ? 1 x2 . 2 (1)求函数 y ? f (x) 在 x ?1处的切线方程;
(2)求函数 y ? f (x) 在区间[1 , e]上的最大值. e

22.(本小题满分 10 分) 选修 4 - 4:坐标系与参数方程

已知直线

l

的参数方程

?x ?? y

? ?

t 1?

2t

(t

参数)和圆

C

的极坐标方程

?

?

2

2 sin(? ? ? ) . 4

(1)将直线 l 的参数方程化为普通方程,圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)判断直线 l 和圆 C 的位置关系.

参考答案

一、选择题 (1)C (7)C

(2)B (8)B

(3)D (4)A (5)B (6)D (9)A (10)B (11)A (12)D

二、填空题

(13) (2,?1) , 3 (14) 3

(15) 5 (16){x | x ? ? 3 或0 ? x ? 5}

2

2

三、解答题
17 解:∵S=12absin C,∴sin C= 23,∴C=60°或 C=120°. 当 C=60°时,c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab=21,∴c= 21; 当 C=120°时,c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2+ab=61,∴c= 61.

∴c 的长度为 21或 61. 18 解:(1)由频率表中第 4 组数据可知,第 4 组总人数为 9 ? 25,
0.36

再结合频率分布直方图可知 n ? 25 ? 100 , ∴ a ?100?0.01?10?0.5 ? 5 , 0.025?10

b ?100?0.03?10?0.9 ? 27, x ? 18 ? 0.9 , y ? 3 ? 0.2

20

15

……4 分

(2)因为第 2,3,4 组回答正确的人数共有 54 人,所以利用分层抽样在 54 人中抽取 6 人,每组分别抽取的人数为:

第 2 组: 18 ? 6 ? 2 人;第 3 组: 27 ? 6 ? 3 人;第 4 组: 9 ? 6 ? 1 人……8 分

54

54

54

(3)设第 2 组 2 人为:A1,A2;第 3 组 3 人为:B1,B2,B3;第 4 组 1 人为:C1. 则从 6 人中随机抽取 2 人的所有可能的结果为:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),

(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),(B1,B2),(B1,B3),(B1,C1),(B2,B3),(B2,C1),(B3,C1) 共 15 个基本事件,其中恰好没有第 3 组人共 3 个基本事件. ………10 分

∴ 所抽取的人中恰好没有第 3 组人的概率是: p ? 3 ? 1 . ………12 分 15 5

19.证明:( 1) 连 接 A1D 交 AD1 于点 F,连 接 EF, 由已知四边形 ADD1A1 是矩形,所以 F 是 AD1 的中点,
F
又 E 是 CD 的中点,所以,EF 是 ?A1DC 的中位线, 所以 A1C // EF ,又 A1C ? 平面AED1,EF ? 平面AED1 ,所以 A1C // 平面AED1 . (2)由已知 DD1 ? AD , DD1 ? CD ,

又 AD ? CD ? D, AD ? 平面ABCD,CD ? 平面ABCD ,?DD1 ? 平面ABCD ? AE ? 平面ABCD,? AE ? DD1

?底面ABCD是菱形,且 ?ABC ? 60? ,E 为棱 CD 的中点,? AE ? CD 又 CD ? DD1 ? D , CD ? 平面CDD1C1 , DD1 ? 平面CDD1C1 , ? AE ? 平面CDD1C1 ? AE ? 平面A E D1 , ?平面AED1 ? 平面CDD1C1 .

20 解:(1)? c ? a

2 2

,?

b a

2 2

?

a2 ?c2 a2

?1? 1 2

?

1 ,a2 2

? 2b2 ……①

又椭圆过点 (1,

2 ) ,则 1

2

a2

?

1 2b 2

? 1……②

联立①②解得 a ? 2 , b ?1s

?椭圆 C 方程为 x2 ? y 2 ? 1 . 2
(2)由已知得直线 l 的方程为 x ? 2y ?1 ? 0

?x2

联立方程

? ?

2

?

y2

?1

,消去 x 整理得: 6 y 2 ? 4 y ? 1 ? 0

??x ? 2y ?1 ? 0

设直线 l 与椭圆

C

的交点为

A(x1 ,

y1 ) ,

B(x2 ,

y2 )

,则

y1

?

y2

?

?

2 3



? x1

?

x2

?

2( y1

?

y2 )

?

2

?

?

4 3

?

2

?

2 3



? x ? x1 ? x2 ? 1 , y ? y1 ? y2 ? ? 1

23

2

3

? AB 的中点坐标为 (1 ,? 1) . 33

21 解:(1) f ?(x) ? 1 ? x ,?k ? f ?(1) ? 0 ,又 f (1) ? ? 1 ,?切点坐标为 (1,? 1)

x

2

2

?所求切线方程为 y ? ? 1 . 2

(2)由(1)得 f (x) ? ln x ? 1 x2 , f ?(x) ? 1 ? x ? 1? x2 ,

2

x

x

当 1 ? x ? e 时,令 f ?(x) ? 0 ,得 1 ? x ? 1;

e

e

令 f ?(x) ? 0 ,得1 ? x ? e .

?

f

(x) 在 (1,1] 上单调递增,在 (1,e) 上单调递减,? e

f

(x)max

?

f

(1) ? ? 1 2

.

22(选修 4 - 4:坐标系与参数方程)

解:(1)由

?x

? ?

y

? ?

t 1

?

2t

,消去

t

得直线

l

的普通方程为

2x

?

y

?1

?

0



由 ? ? 2 2 sin(? ? ? ) ? 2sin? ? 2cos? ,两边同乘以 ? 得 ? 2 ? 2? sin? ? 2? cos? , 4

代入互化公式得: x2 ? y2 ? 2 y ? 2x ,整理得圆 C 的直角坐标方程为 (x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2 . (2)圆心 (1,1) 到直线 l : 2x ? y ?1 ? 0 的距离为 d ? | 2 ?1?1| ? 2 5 ? 2 ? r ,
22 ? (?1)2 5 所以,直线 l 与圆 C 相交.


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