高二数学选修2-1期末复习卷

高二数学选修 2-1 期末复习卷
一、选择题 1、对抛物线 y ? 4 x2 ,下列描述正确的是

1 ) 16 1 C、开口向右,焦点为 (1, 0) D、开口向右,焦点为 (0, ) 16 2、已知 A 和 B 是两个命题,如果 A 是 B 的充分条件,那么 ? A 是 ? B 的
A、开口向上,焦点为 (0,1) B、开口向上,焦点为 (0, A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 3、椭圆 5x2 ? ky 2 ? 5 的一个焦点是 (0, 2) ,那么实数 k 的值为 A、 ?25 B、 25 C、 ? 1 D、 1

4、在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为 AC 与 BD 的交点,若 A 1 D1 ? b , 1B 1 ? a, A

A1 A ? c ,则下列向量中与 B1 M 相等的向量是 1 1 1 1 a? b?c A、 ? a? b?c B、 2 2 2 2 1 1 ? a? b?c 2 2

C、

1 1 a? b?c 2 2

D、

5、空间直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点 A(3,1,0),B(-1,3,0),若点 C 满 足 OC =α OA +β OB ,其中α ,β ? R,α +β =1,则点 C 的轨迹为 A、平面 B、直线 C、圆 D、线段 6、已知直线 l 过点 P(1,0,-1),平行于向量 a ? (2,1,1) ,平面 ? 过直线 l 与点 M(1,2,3),则平 面 ? 的法向量不可能是( ) A. (1,-4,2) B. ( , ?1, )
2

1 4

1 2

C. (?
2

1 1 ,1, ? ) 4 2

D. (0,-1,1)

7、设 ? ??0, ? ? ,则方程 x sin ? ? y cos ? ? 1 不能表示的曲线为 A、椭圆 B、双曲线 C、抛物线 D、圆

8、已知条件 p: x ? 1 <2,条件 q: x 2 -5x-6<0,则 p 是 q 的 A、充分必要条件 C、必要不充分条件 9、已知函数 f(x)=
2

B、充分不必要条件 D、既不充分又不必要条件

kx ? 7 ,若 ?x ? R ,则 k 的取值范围是 kx ? 4kx ? 3 3 3 3 3 A、0≤k< B、0<k< C、k<0 或 k> D、0<k≤ 4 4 4 4
-1-

10、下列说法中错误 的个数为 ..

①一个命题的逆命题为真,它的否命题也一定为真;②若一个命题的否命题为假,则它本身 一定为真; ③?

?x ? 1 ?x ? y ? 3 是? 的充要条件; ④ a ? b 与 a ? b 是等价的; ⑤ “ x ? 3” ? y ? 2 ? xy ? 2

是“ A、2

x ? 3 ”成立的充分条件.
B、3 C、4 D 、5

11、如果向量 a = (1,0,1), b = (0,1,1)分别平行于平面 ?,??且都与这两个平面的交线 l 垂直,则二面角?-l-??的大小可能是( A.90? B.30?
2 2

). C.45?

D.60?

12、双曲线

x y ? 2 ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的左、右焦点分别是 F1,F2 ,过 F1 作倾斜角为 30 2 a b 的直线交双曲线右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为( )
B. 5 C. 3 D. 2

A. 6 二、填空题

13、以 (1, ?1) 为中点的抛物线 y 2 ? 8x 的弦所在直线方程为:



14、在△ ABC 中, BC 边长为 24 , AC 、 AB 边上的中线长之和等于 39 .若以 BC 边中点 为原点, BC 边所在直线为 x 轴建立直角坐标系,则△ ABC 的重心 G 的轨迹方程 为: . 15、已知 A(-4,0),B 是圆 F:(x-4)2+y2=16(F 为圆心)上一动点,线段 AB 的垂直平分 线交 BF 于 P,则动点 P 的轨迹方程为 .

16 .已知点 P 到点 F (3, 0)的距离比它到直线 x ? ?2 的距离大 1 ,则点 P 满足的方程 为 . 三、解答题(共五小题,满分 74 分) 17、已知命题 p:不等式|x-1|>m-1 的解集为 R,命题 q:f(x)=-(5-2m)x 是减函数,若 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,求实数 m 的取值范围.

-2-

18、直线 l : y ? kx ? 1 与双曲线 C : 3x2 ? y 2 ? 1 相交于不同的 A 、 B 两点. (1)求 AB 的长度; (2)是否存在实数 k ,使得以线段 AB 为直径的圆经过坐标第原点?若存在,求出 k 的 值;若不存在,写出理由.

19、如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 底面△ABC 中,CA=CB=1, ∠BCA=90°,棱 AA1=2M,N 分别是 A1B1,A1A 的中点。 (1)求 BN 的长度; (2)求 cos( BA 1 , CB1 )的值; (3)求证:A1B⊥C1M。

-3-

20. 如 图 , 在 四 棱 锥 O ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 是 边 长 为 1 的 菱 形 , ?ABC ?

?
4

,

OA ? 底面ABCD , OA ? 2 , M 为 OA 的中点, N 为 BC 的中点,以 A 为原点,建立适当的
空间坐标系,利用空间向量解答以下问题: (Ⅰ)证明:直线 MN‖ 平面OCD ; (Ⅱ)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小; (Ⅲ)求点 B 到平面 OCD 的距离
O

M

A B N C

D

21. (本小题满分 15 分)已知椭圆的焦点在 x 轴上,短轴长为 4,离心率为

5 . 5

(1)求椭圆的标准方程; (2)若直线 l 过该椭圆的左焦点,交椭圆于 M、N 两点,且

MN ?

16 5 ,求直线 l 的方程. 9

-4-

参考答案 一、选择题(每小题 5 分,共 10 小题,满分 50 分) 1、B 2、CB 3、D 4、A 5、B 6、D 7、C 8、B 9、A 10、C 11、D 二、填空题(每小题 6 分,共 6 小题,满分 36 分) 13、 4 x ? y ? 3 ? 0 14、

12、C

x2 y 2 x2 y2 ? ? 1 ( y ? 0 ) 15、 ? ? 1 16、 y 2 ? 12x 169 25 4 12

三、解答题(共六小题,满分 74 分) 17、解:不等式|x-1|>m-1 的解集为 R,须 m-1<0 即 p 是真 命题,m<1 f(x)=-(5-2m)x 是减函数,须 5-2m>1 即 q 是真命题,m<2 由于 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题 故 p、q 中一个真,另一个为假命题 因此,1≤m<2 18、解:联立方程组 ?

? y ? ax ? 1
2 2 ?3 x ? y ? 1

消去 y 得 3 ? a 2 x 2 ? 2ax ? 2 ? 0 ,因为有两个交点,

?

?

?3 ? a 所以
(1)

2

?0
2

? ? 4a ? 8 3 ? a

?

2

?? 0

,解得 a ? 6, 且a ? 3, x1 ? x 2 ?
2 2

2a ?2 , x1 x 2 ? 。 2 3?a 3 ? a2

AB ? 1 ? a 2 x1 ? x2 ? 1 ? a 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?

2 ? a 4 ? 5a 2 ? 6 a ?3
2

(a 2 ? 6且a 2 ? 3)

(2)由题意得 koa kob ? ?1,即x1 x2 ? y1 y2 ? 0,即x1 x2 ? (ax1 ? 1)(ax2 ? 1) ? 0 整 理得 a 2 ? 1, 符合条件,所以 a ? ?1 19、解:以 C 为原点,CA,CB,CC1 分别为 x 轴, y 轴,z 轴 建立空间直角坐标系。

1, 0),N( 1, 0, 1 ), ? BN ? 3 ; (1) 依题意得出 B(0,
(2) 依题意得出

A ( , 0, 2)B(0, 1, 0),C(0, 0, 0),B ( , 1, 2) 1 1 1 0

? BA1 ? ( 1, ? 1, 2), CB1 ? (0, 1, 2), BA1 ? CB1 ? 3, BA1 ? 6, CB1 ? 5
∴ cos﹤ BA CB1 ﹥= 1,

BA1 ? CB1 BA1 ? CB1

?

1 30 10
-5-

(3) 证明:依题意将 C ( 0, 2),M ? , , 2 ?, A1 B1 ? ( ? 1, 1, ? 2), C1 M ? ? , , 0 ?, 1 0,

?1 1 ? ?2 2 ?

?1 1 ? ?2 2 ?

1 1 ? A1 B ? C1 M ? ? ? ? 0 ? 0, ? A1 B ? C1 M 2 2 ? A1 B ? C1 M
20.解: 作 AP ? CD 于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为 x, y, z 轴建立坐标系

A(0,0,0), B(1,0,0), P(0,

2 2 2 2 2 ,0), D(? , ,0), O(0,0, 2), M (0, 0,1), N (1 ? , ,0) ,(3 分) 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 (1) MN ? (1 ? , , ?1), OP ? (0, , ?2), OD ? (? , , ?2) (5 分) 4 4 2 2 2 设平面 OCD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 n OP ? 0, n OD ? 0

? 2 y ? 2z ? 0 ? ? 2 即 ? ?? 2 x ? 2 y ? 2 z ? 0 ? ? 2 2 取 z ? 2 ,解得 n ? (0,4, 2) (7 分)
∵ MN n ? (1 ? 2 2 , , ?1) (0, 4, 2) ? 0 4 4 ? MN‖ 平面OCD (9 分)
x B

z O

M

A N C P

D y

(2)设 AB 与 MD 所成的角为 ? ,∵ AB ? (1,0,0), MD ? (?

2 2 , , ?1) 2 2
(13 分)

∴c o ? s ?

AB MD AB ? MD

?

? 1 ? , AB 与 MD 所成角的大小为 ∴ ,?? 3 2 3
OB ? n n

(3)设点 B 到平面 OCD 的距离为 d ,则 d 为 OB 在向量 n ? (0, 4, 2) 上的投影的绝对值, 由 OB ? (1,0, ?2) , 得 d ? 21.

?

2 2 .所以点 B 到平面 OCD 的距离为 (15 分) 3 3

解:(1)设椭圆的标准方程为 由已知有: 2b ? 4, e ?

x2 y 2 ? ? 1 , (2 分) a 2 b2
a 2 ? b2 ? c 2 ,(6 分)

c 5 (4 分), ? a 5 2 2 解得: a ? 5, b ? 2, c ? 1, c ? 1
∴ 所求椭圆标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 ①(8 分) 5 4
-6-

(2)设 l 的斜率为 k ,M、N 的坐标分别为 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) , ∵椭圆的左焦点为 (?1, 0) ,∴l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ①、②联立可得 ∴ ②(10 分)

x 2 k 2 ( x ? 1)2 ? ?1 5 4
2 2

(11 分)

( 4? 5 k2 x ) 2 ? 1k 02 x? 5 k2 ? 2 ? 0

0

10k 5k ? 20 , x1 x2 ? (13 分) 2 4 ? 5k 4 ? 5k 2 16 2 2 5 又 ∵ MN ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? 9 16 2 2 5 即 ( x1 ? x2 ) (1 ? k ) ? 9 1280 2 2 ∴ ? ?( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ? ? (1 ? k ) ? 81 ? ?10k 2 2 4(5k 2 ? 20) ? 1280 ∴ ?( ) ? (1 ? k 2 ) ? ? 2 2 4 ? 5k ? 81 ? 4 ? 5k 1280 4 2 2 2 2 2 ∴? ?100k ? 4(5k ? 20)(4 ? 5k ) ? ? (1 ? k ) ? 81 (4 ? 5k ) 1280 2 2 (4 ? 5k 2 ) 2 ∴ 320(1 ? k ) ? 81 2 2 2 2 ∴ 1 ? k ? (4 ? 5k ) ∴ k ? 1, k ? ?1 9 ∴l 的方程为 y ? x ? 1 或 y ? ? x ? 1 (15 分)
∴ x1 ? x2 ? ?

-7-


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