奇偶性与单调性讲义

北京上海山东名校通用讲义

必修一奇偶性与单调性讲义
函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一,特别是两性质的应用更加突出. 本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题,掌握基本方法,形成应用意识. ●难点磁场 (★★★★★)已知偶函数 f(x)在(0, +∞)上为增函数, f(2)=0,解不等式 [log2(x2+5x+4)] 且 f ≥0.? ●案例探究 [例 1] 已知奇函数 f(x)是定义在(-3, 3)上的减函数, 且满足不等式 f(x-3)+f(x2-3)<0, 设不等式解集为 A,B=A∪{x|1≤x≤ 5 },求函数 g(x)=-3x2+3x-4(x∈B)的最大值. 命题意图: 本题属于函数性质的综合性题目, 考生必须具有综合运用知识分析和解决问 题的能力,属★★★★级题目. 知识依托:主要依据函数的性质去解决问题. 错解分析:题目不等式中的“f”号如何去掉是难点,在求二次函数在给定区间上的最 值问题时,学生容易漏掉定义域. 技巧与方法:借助奇偶性脱去“f”号,转化为 xcos 不等式,利用数形结合进行集合运 算和求最值.

?? 3 ? x ? 3 ? 3 ?0 ? x ? 6 得? 解:由 ? 且 x≠0,故 0<x< 6 , 2 ?? 3 ? x ? 3 ? 3 ?? 6 ? x ? 6
又∵f(x)是奇函数,∴f(x-3)<-f(x2-3)=f(3-x2),又 f(x)在(-3,3)上是减函数, ∴x-3>3-x2,即 x2+x-6>0,解得 x>2 或 x<-3,综上得 2<x< 6 ,即 A={x|2<x< 6 }, ∴B=A∪{x|1≤x≤ 5 }={x|1≤x< 6 },又 g(x)=-3x2+3x-4=-3(x-

1 2 13 ) - 知:g(x) 2 4

在 B 上为减函数,∴g(x)max=g(1)=-4. [例 2]已知奇函数 f(x)的定义域为 R,且 f(x)在[0,+∞)上是增函数,是否存在实数 m,使 f(cos2θ -3)+f(4m-2mcosθ )>f(0)对所有θ ∈[0,

? ]都成立?若存在,求出符合条件 2

的所有实数 m 的范围,若不存在,说明理由. 命题意图: 本题属于探索性问题, 主要考查考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运 算能力,属★★★★★题目. 知识依托: 主要依据函数的单调性和奇偶性, 利用等价转化的思想方法把问题转化为二 次函数在给定区间上的最值问题. 错解分析: 考生不易运用函数的综合性质去解决问题, 特别不易考虑运用等价转化的思 想方法. 技巧与方法:主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题. 解:∵f(x)是 R 上的奇函数,且在[0,+∞)上是增函数,∴f(x)是 R 上的增函数.于是不 等式可等价地转化为 f(cos2θ -3)>f(2mcosθ -4m), 即 cos2θ -3>2mcosθ -4m,即 cos2θ -mcosθ +2m-2>0. 设 t=cosθ ,则问题等价地转化为函数 g(t)?=t2-mt+2m-2=(t-

m 2 m2 )- +2m-2 在 [0, 4 2

1

北京上海山东名校通用讲义

1]上的值恒为正,又转化为函数 g(t)在[0,1]上的最小值为正. ∴当

m <0,即 m<0 时,g(0)=2m-2>0 ? m>1 与 m<0 不符; 2
m2 m ≤1 时,即 0≤m≤2 时,g(m)=- +2m-2>0 4 2

当 0≤

? 4-2 2 <m<4+2 2 ,?∴4-2 2 <m≤2.


m >1,即 m>2 时,g(1)=m-1>0 ? m>1.∴m>2 2

综上,符合题目要求的 m 的值存在,其取值范围是 m>4-2 2 . ●锦囊妙计 本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有: (1)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目.此类题目要求考生必须具有驾驭 知识的能力,并具有综合分析问题和解决问题的能力. (2)应用问题.在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中,往往还要用到等价 转化和数形结合的思想方法, 把问题中较复杂、 抽象的式子转化为基本的简单的式子去解决. 特别是:往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题. ●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★)设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数, f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时, f(x)=x,则 f(7.5) 等于( ) A.0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.5 2.(★★★★)已知定义域为(-1,1)的奇函数 y=f(x)又是减函数,且 f(a-3)+f(9-a2)<0, ?则 a 的取值范围是( ) A.(2 2 ,3) C.(2 2 ,4) B.(3, 10 ) D.(-2,3)

二、填空题 3.(★★★★)若 f(x)为奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又 f(-3)=0,则 xf(x)<0 的解集 为_________. 4.(★★★★)如果函数 f(x)在 R 上为奇函数,在(-1,0)上是增函数,且 f(x+2)=-f(x),

1 2 ),f( ),f(1)的大小关系_________. 3 3 三、解答题 5.(★★★★★)已知 f(x)是偶函数而且在(0,+∞)上是减函数,判断 f(x)在(-∞,0)上的增 减性并加以证明.
试比较 f( 6.(★★★★)已知 f(x)=

a ? 2x ?1 (a∈R)是 R 上的奇函数, 1? 2x

(1)求 a 的值; - (2)求 f(x)的反函数 f 1(x);

2

北京上海山东名校通用讲义

(3)对任意给定的 k∈R+,解不等式 f 1(x)>lg



1? x . k 7 +cos2x)对 4

7.(★★★★)定义在(-∞,4]上的减函数 f(x)满足 f(m-sinx)≤f( 1? 2m - 任意 x∈R 都成立,求实数 m 的取值范围. 8.(★★★★★)已知函数 y=f(x)= 有最小值 2,其中 b∈N 且 f(1)<

ax 2 ?1 (a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数,当 x>0 时,f(x) bx ? c

5 . 2

(1)试求函数 f(x)的解析式; (2)问函数 f(x)图象上是否存在关于点(1,0)对称的两点,若存在,求出点的坐标;若不 存在,说明理由. 参考答案 难点磁场 解:∵f(2)=0,∴原不等式可化为 f[log2(x2+5x+4)]≥f(2). 又∵f(x)为偶函数,且 f(x)在(0,+∞)上为增函数, ∴f(x)在(-∞,0)上为减函数且 f(-2)=f(2)=0 ∴不等式可化为 log2(x2+5x+4)≥2 ① 2 或 log2(x +5x+4)≤-2 ② 2 由①得 x +5x+4≥4 ∴x≤-5 或 x≥0 ③

? 5 ? 10 1 ? 5 ? 10 得 ≤x<-4 或-1<x≤ 2 2 4 由③④得原不等式的解集为
由②得 0<x2+5x+4≤ {x|x≤-5 或



? 5 ? 10 ? 5 ? 10 ≤x≤-4 或-1<x≤ 或 x≥0} 2 2 歼灭难点训练 一、1.解析:f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=-f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)=-f(1.5)=-f(-0.5+2)= f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5. 答案:B 2.解析:∵f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数又是减函数,且 f(a-3)+f(9-a2)<0. ∴f(a-3)<f(a2-9).
?? 1 ? a ? 3 ? 1 ? ∴ ?? 1 ? a 2 ? 9 ? 1 ? 2 ?a ? 3 ? a ? 9
答案:A ∴a∈(2 2 ,3).

?x ? 0 ?x ? 0 或? 二、3.解析:由题意可知:xf(x)<0 ? ? ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ?x ? 0 ?x ? 0 ?x ? 0 ?x ? 0 ?? 或? ?? 或? ? f ( x ) ? f ( ?3) ? f ( x ) ? f (3) ? x ? ?3 ? x ? 3
∴x∈(-3,0)∪(0,3)

3

北京上海山东名校通用讲义

答案:(-3,0)∪(0,3) 4.解析:∵f(x)为 R 上的奇函数 ∴f( -

1 1 2 2 1 )=-f(- ),f( )=-f(- ),f(1)=-f(-1),又 f(x)在(-1,0)上是增函数且- > 3 3 3 3 3

2 >-1. 3
∴f(-

1 2 1 2 )>f(- )>f(-1),∴f( )<f( )<f(1). 3 3 3 3 1 2 答案:f( )<f( )<f(1) 3 3 三、5.解:函数 f(x)在(-∞,0)上是增函数,设 x1<x2<0,因为 f(x)是偶函数,所以 f(-x1)=f(x1),f(-x2)=f(x2),由假设可知-x1>-x2>0,又已知 f(x)?在(0,+∞)上是减函数,于是 有 f(-x1)<f(-x2),即 f(x1)<f(x2),由此可知,函数 f(x)在(-∞,0)上是增函数. 6.解:(1)a=1.
(2)f(x)=

2x ?1 - 1 ? x (-1<x<1 ) . (x∈R) ? f -1(x)=log2 2x ?1 1? x

1 ? x >log 1 ? x ? log2(1-x)<log2k,∴当 0<k<2 时,不等式解集为{x|1-k 2 k 1? x <x<1 } ;当 k≥2 时,不等式解集为{x|-1<x<1 } .
(3)由 log2

? ?m ? sin x ? 4 ?m ? 4 ? sin x ? 7 ? ? 2 即? 7.解: ? 1 ? 2m ? ? cos x ? 4 ,对 x 7 2 4 ? ?m ? 1 ? 2m ? 4 ? ? sin x ? sin x ? 1 ? 7 ? m ? sin x ? 1 ? 2m ? ? cos 2 x ? 4 ?
∈R 恒成立,

?m ? 3 ? ?? 3 1 ? m ? 2 或m ? 2 ?

∴m∈[

3 1 ,3]∪{ }. 2 2
ax 2 ? 1 ax 2 ? 1 ?? ? bx ? c ? bx ? c bx ? c ? bx ? c

8.解:(1)∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),即

∴c=0,∵a>0,b>0,x>0,∴f(x)=

a 1 ax 2 ? 1 a 1 ≥2 ,当且仅当 x= 时等号成立, ? x? 2 a bx b bx b

于是 2

a 5 a ? 1 5 b2 ?1 5 1 =2,∴a=b2,由 f(1)< 得 < 即 < ,∴2b2-5b+2<0,解得 <b<2, 2 b 2 2 2 2 b b

又 b∈N,∴b=1,∴a=1,∴f(x)=x+

1 . x (2)设存在一点(x0,y0)在 y=f(x)的图象上, 并且关于(1, 的对称点(2-x0,-y0)也在 y=f(x) 0)

4

北京上海山东名校通用讲义

? x0 2 ? 1 ? y0 ? ? x0 图象上,则 ? 2 ? ( 2 ? x0 ) ? 1 ? ? y0 ? 2? x 0 ?
消去 y0 得 x02-2x0-1=0,x0=1± 2 . ∴y=f(x)图象上存在两点(1+ 2 ,2 2 ),(1- 2 ,-2 2 )关于(1,0)对称.

5


相关文档

函数单调性与奇偶性讲义
单调性、最值与奇偶性讲义
函数的单调性与奇偶性讲义
经典单调性与奇偶性讲义和练习
【精选资料】单调性与奇偶性
【精选资料】函数的单调性与奇偶性讲义
函数单调性和奇偶性精品讲义
函数的单调性和奇偶性精品讲义
函数的单调性和奇偶性复习课讲义版教案
2.2 函数的单调性和奇偶性讲义
学霸百科
电脑版 | 学霸百科