安徽省巢湖市居巢区柘皋镇2016


2016-2017 学年度第二学期期中考试 高二理科数学试题
(时间 150 分钟,满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1.若复数 z=a-2i 的实部与虚部相等,则实数 a=( A.-1 B.1 C.-2 D.2 ) )

2.已知复数 z= A.第一象限

1 ,则 z ·i 在复平面内对应的点位于( 1-i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.观察: 6+ 15<2 11, 5.5+ 15.5<2 11, 4- 2+ 17+ 2<2 11,?,对于任意的正实 数 a,b,使 a+ b<2 11成立的一个条件可以是( A.a+b=22 B.a+b=21 ) D.ab=21 )

C.ab=20

4.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=2xf′(2)+ln x,则 f′(2)=( A.-e B.

1 2

C. -

1 2

D.e

5.由①y=2x+5 是一次函数;②y=2x+5 的图象是一条直线;③一次函数的图象是一条直线.写一 个“三段论”形式的正确推理,则作为大前提、小前提和结论的分别是( A.②①③ B.③②① C.①②③
1

)

D.③①②

6. 下列各函数的导数: ①( x)′= 其中正确的有( A.0 个 ) B.1 个
3 3

1 ?2 ? x ?′= 1 . x 2 ②(a )′=a lnx; ③(sin2x)′=cos2x; ④? x ; ? x+1 ?x+1? 2
D.3 个
3 3 2, 3 3 3 3 2 3 3 3 3 3

C.2 个
2, 3

7.观察下列等式,1 +2 =3 1 +2 +3 =6 1 +2 +3 +4 =10 ,根据上述规律,1 +2 +3 +4 +5 +6 =( A.19
2 3

) B.20
2

C.21

2

D.22 )

2

8.积分

?

1

-1

1 - x 2 dx = (
B.
3

A. π

1 4

1 π 2

C.π

D.2π
) 1 D.a≤ 3
1

9.函数 f(x)=ax -x 在 R 上为减函数,则( A.a≤0 10.设 a= A.b>c>a B.a<1 C.a<2
1

?

1

0

xdx ,b=1- ?
B.b>a>c

0

xdx ,c= ? x3dx 则 a,b,c 的大小关系(
0

)

C.a>c>b

D. a>b>c
1

1 1 11.在数学归纳法的递推性证明中,由假设 n=k 时成立推导 n=k+1 时成立时,f(n )=1+ + +? 2 3 + 1 增加的项数是( 2 -1
n

) C.2 -1
k

A.1

B.2

k

D.2 +1

k

12.如果函数 y=f(x)的导函数的图象如图 1 所示,给出下列判断: 1? ? ? 1 ? ①函数 y=f(x)在区间?-3,- ?内单调递增;②函数 y=f(x)在区间?- ,3?内单调递减; 2? ? ? 2 ? ③函数 y=f(x)在区间(4,5)内单调递增;④当 x=2 时 ,函数 y=f( x)有极小值; 1 ⑤当 x=- 时,函数 y=f(x)有极大值.则上述 判断中正确的是( 2 )

A.①②

B.②③

C.③④⑤

D.③

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在题中的横线上) 3+i 13.复数 2 (i 为虚数单位)的实部等于________. i 14. 观察下列各式: a+b=1, a +b =3, a +b =4, a +b =7, a +b =11, ?, 则 a +b =__________. 15.曲线 y=sin x(0≤x≤π )与 x 轴围成的封闭图形的面积为__________. 16.已知函数 f(x)=x +3mx +nx+m 在 x=-1 时有极值 0,则 m+n=________ . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) ?1+i? +3?1-i? 2 17.(本小题满分 10 分)设复数 z= ,若 z +az+b=1+i,求实数 a,b 的值. 2+i
2 3 2 2 2 2 3 3 4 4 5 5 10 10

18.(本小题满分 12 分)证明:1, 3,2 不能为同一等差数列的三项.

2

19.(本小题满分 12 分) 当 n≥2,n∈N 时,求证:1+

*

1 2



1

1 +?+ > n 3 n

20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ? x 3 ? 3x 2 ? 9 x ? a . (1)求 f ( x) 的单调递减区间; (2)若 f ( x) 在区间 [?2 ,2] 上的最大值是 20,求它在该区间上的最小值。

21.(本小题满分 12 分) 计算曲线 y=x -2x+3 与直线 y=x+3 所围图形的面积.

2

3

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=x +3ax +3x+1. (1)当 a=- 2时,讨论 f(x)的单调性; (2)若 x∈[2,+∞)时,f(x)≥0,求 a 的取值范围.

3

2

4

2016-2017 学年度第二学期期中考试 高二理科数学答案 一、选择题 1-5 CABCD 6-10 BCBAD 11-12 BD

二、填空题 13.-3 14.123 15.2 16.11

三、解答题 ?1+i? +3?1-i? 2i+3-3i 3-i 17.(10 分) z= = = 2+i 2+i 2+i = ?3-i??2-i? 5-5i = =1-i. 5 5
2 2 2

因为 z +az+b=(1-i) +a(1-i)+b =-2i+a-ai+b=(a+b)-(2+a)i=1+i,
?a+b=1, ? 所以? ? ?-?2+a?=1,

解得?

?a=-3, ? ? ?b=4.

18.(12 分) 证明:假设 1, 3,2 为同一等差数列的三项. 2 则有等差数列的定义知 1×2=( 3) =3, 则 2=3 不成立, 则假设不成立, 即原命题成立,即 1, 3,2 不能为同一等差数列的三项. 1 19.(12 分) 证明:(1)当 n=2 时,左边=1+ >1.7,右边= 2,左边>右边. 2 1 1 1 * (2)方法一:假设当 n=k(k≥2 且 k∈N )不等式成立,即 1+ + +?+ > k,则当 n=k+1 2 3 k 时,左边=1+ 1 2 3 k 右式, 即当 n=k+1 时,不等式也成立.
' 2



1

+?+

1



1 k?k+1?+1 k·k+1 k+1 > k+ = > = = k+1= k+1 k+1 k+1 k+1 k+1 1

20. (12 分)解: (1) f ( x) ? ?3x ? 6 x ? 9 , 令 f ( x) ? 0 得: x ? ?1 或 x ? 3
'

故 f ( x) 在 (??, ? 1) 和 (3, ? ?) 上单调递减。?????6 分 (2)由(1)可知, f ( x) 在 x ?[?2,2] 上的最 大值为 f (?2) 或 f ( 2) 取得。

f (?2) = a ? 2 , f (2) ? a ? 22 ? a ? 2
所以 f ( x)max ? f (2) ? a ? 22 ? 20 , a ? ?2 ∴ f ( x)min ? f (?1) ? ?7
5

?y=x+3, ? 2 21. (12 分)由? ? ?y=x -2x+3,

解得 x=0 及 x =3.

从而所求图形的面积 S= =

?
3 0

3

[(x+3 )-(x2-2x+3)]dx (-x +3x)dx
2

0

?

? 1 3 3 2? 3 9 ? =? ?-3x +2x ? =2.

0

22.(12 分) (1)当 a=- 2时,f(x)=x -3 2x +3x+1,

3

2

f′(x)=3x2-6 2x+3.
令 f′(x)=0,得 x1= 2-1,x2= 2+1. 当 x∈(-∞, 2-1)时,f′(x)>0,f(x)在(-∞, 2-1)上是增函数; 2+1)上是减函数;

当 x∈( 2-1, 2+1)时,f′(x)<0,f(x)在( 2-1,

当 x∈( 2+1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在( 2+1,+∞)上是增函数. 5 (2)由 f(2)≥0,得 a≥- . 4 5 当 a≥- ,x∈(2,+∞)时, 4

? 2 ? f′(x)=3(x2+2ax+1)≥3?x - x+1? ?
5 2

?

? 1? =3?x- ?(x-2)>0, ? 2?
所以 f(x)在(2,+∞)上是增函数,于是当 x∈[2,+∞)时,f(x)≥f(2) ≥0.

? 5 ? 综上,a 的取值范围是?- ,+∞?. ? 4 ?

6


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