一元一次不等式知识点及典型例题(精)

一元一次不等式 考点一、不等式的概念 1、不等式:用不等号表示不等关系的式子,叫做不等式。 2、不等式的解集:对于一个含有未知数的不等式,任何一个适合这个不等式的未知数的值,都叫做这个不等式的解。 例 判断下列说法是否正确,为什么? X=2 是不等式 x+3<2 的解。 X=3 是不等式 3x≥9 的解 3、对于一个含有未知数的不等式,它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合,简称这个不等式的解集。 4、求不等式的解集的过程,叫做解不等式。 5、用数轴表示不等式的方法 考点二、不等式基本性质 1、不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变。 2、不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。 3、不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。 4、说明:①在一元一次不等式中,不像等式那样,等号是不变的,是随着加或乘的运算改变。②如果不等式乘以 0,那么不等 号改为等号所以在题目中,要求出乘以的数,那么就要看看题中是否出现一元一次不等式,如果出现了,那么不等式乘以 的数就不等为 0,否则不等式不成立; 考点三、一元一次不等式 1、一元一次不等式的概念:一般地,不等式中只含有一个未知数,未知数的次数是 1,且不等式的两边都是整式,这样的不 等式叫做一元一次不等式。 2、解一元一次不等式的一般步骤:(1)去分母(2)去括号(3)移项(4)合并同类项(5)将 x 项的系数化为 1 考点四、一元一次不等式组 (8 分) 1、一元一次不等式组的概念:几个一元一次不等式合在一起,就组成了一个一元一次不等式组。 2、几个一元一次不等式的解集的公共部分,叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。 3、求不等式组的解集的过程,叫做解不等式组。 4、当任何数 x 都不能使不等式同时成立,我们就说这个不等式组无解或其解为空集。 5、一元一次不等式组的解法 (1)分别求出不等式组中各个不等式的解集 (2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分,即这个不等式组的解集。 6、不等式与不等式组 不等式:①用符号〉,=,〈号连接的式子叫不等式。②不等式的两边都加上或减去同一个整式,不等号的方向不变。③ 不等式的两边都乘以或者除以一个正数,不等号方向不变。④不等式的两边都乘以或除以同一个负数,不等号方向相反。 7、不等式的解集: ①能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。 ②一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集。 ③求不等式解集的过程叫做解不等式。 一. 1. 解下列不等式,并在数轴上表示出它们的解集. X=2 是不等式 3x<7 的解。 不等式 3x<7 的解是 x<2。

3x ? 2 ? 2 x ? 8

2.

3 ? 2x ? 9 ? 4x

3.

2(2 x ? 3) ? 5( x ? 1)
2 ? x 2x ?1 ? 2 3

4.

19 ? 3( x ? 7) ? 0
x?5 3x ? 2 ?1 ? 2 2

5.

6.

7.

3x ? 2 ? 2 x ? 5

8.

x?4 ? ?2 3 m m ?1 ? ?1 3 2

9.

3( y ? 2) ? 1 ? 8 ? 2( y ? 1)

10.

11.

3[ x ? 2( x ? 2)] ? x ? 3( x ? 2)
3( x ? 1) x ?1 ? 2 ? 3? 8 4 6x ?1 ? 2 x ? ?2 4

12.

3x ? 2 9 ? 2 x 5 x ? 1 ? ? 3 3 2 1 1 2 [ x ? ( x ? 1)] ? ( x ? 1) 2 2 5 6x ?1 ? 2x ? 1? 2x 4

13.

14.

15. 17.

16. 18.

5( x ? 2) ? 8 ? 6( x ? 1) ? 7
2 x ?1 5x ? 1 ? ?1 3 2

5 ? 2( x ? 3) ? 6 x ? 4
x ? 2 2x ?1 ? 2 3

19.

20.

题型一:求不等式的特殊解 1) 求 x+3<6 的所有正整数解 2)求 10-4(x-3)≥2(x-1)的非负整数解,并在数轴上表示出来。 3)求不等

3? x 2

?1 ? 0

式的非负整数解。

4)设不等式2x-a≤0只有3个正整数解,求正整数 题型二:不等式与方程的综和题 例 关于X的不等式2x-a≤-1的解集如图,求a的取值范围。

x ? 9 ? 5 x ?1 不等式组{ x ? m ?1 的解集是x>2,则m的取值范围是?
5 x ?3 y ?31 组{的解是正整数,求整数P的值。 x ? y ? p ?0
x?a?b 2 x ?a ?2b?1
a b

若关于X、Y的二元一次方程

已知关于x的不等式组

{

的解集为3≤x<5,求

的值。

题型三 例

确定方程或不等式中的字母取值范围

k为何值时方程5x-6=3(x+k)的值是非正数 已知关于 x 的方程 3k-5x=-9 的解是非负数,求 k 的取值范围 已知在不等式3x-a≤0的正整数解是1,2,3,求a的取值范围。 如果关于 x 的方程 x+2m-3=3x+7 的解为不大于 2 的非负数,求 m 的范围。

若(a+1)x>a+1 的解是 x<1,求 a 的范围。

已知关于 x 的方程x-

2 x?m 3

?

2x 3

的解是非负数,m是正整数,求m的值。

例 x 取什么值时,代数式

5 x?4 6

的值不小于

7 8

x ? 1? 3 的值,并求出 X 的最小值。



x取哪些非负整数时,

3 x?2 5

的值不小于

2 x? 3 与1的差。

若方程组{

4 x ?3 y ? k 2 x ? 3 y ?5

的解中 x>y,求 K 的范围。

x ? 8 ? 4 x ?1 若{ x ? a 的解集为>3,求a的取值范围。 9 x ?a?0 8 如果{ x ? b ? 0 的整数解为1、2、3,求整数a、b的值。

题型七

解不定方程

x ?2?a 已知{ x ?3a ? ?2 无解,求a的取值范围。
题型九 例 不等式组解的分类讨论

解关于x的不等式组{ ( a?2) x?2?2(1?a ) x?4

ax?4?8?3ax

8、常见题型 一、选择题 在平面直角坐标系中,若点 P(m-3,m+1)在第二象限,则 m 的取值范围为( A.-1<m<3 已知关于 C. B.m>3 C.m<-1 D.m>-1 答案:A 的取值范围是 ( ) A. B. )

的一元二次方程 D. 答案:D

有两个不相等的实数根, 则实数

四个小朋友玩跷跷板,他们的体重分别为 P、Q、R、S,如图 3 所示,

则他们的体重大小关系是(

D )

A、

B、

C、

D、

把不等式组

的解集表示在数轴上正确的是(



答案:C

不等式

的解集是(



A.

B.

C.

D.

答案:C

若不等式组

有实数解,则实数

的取值范围是(



A. 若 A.

B. ,则 B.

C. 的大小关系为( C.

D. ) 答案:A

答案:A

D.不能确定 ( )

不等式—x—5≤0 的解集在数轴上表示正确的是

答案:B

不等式 (A)1 个



的正整数解有( (B)2 个

) (C)3 个 (D)4 个 答案:C )

把某不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上,如图所示,则这个不等式组可能是(

A.

B.

C.

D.

答案:B

不等式组 A. B.

,的解集是( C.

) D.无解 答案:C

不等式组

的解集在数轴上可表示为(



A 答案:D 实数

B

C

D

在数轴上对应的点如图所示,则



, 的大小关系正确的是(



A. 答案:D

B.

C.

D.

如图,a、b、c 分别表示苹果、梨、桃子的质量.同类水果质量相等,则下列关系正确的是(



A.a>c>b 答案:C

B.b>a>c

C.a>b>c

D.c>a>b

不等式组

的解集在数轴上表示正确的是(



答案:C

把不等式组

的解集表示在数轴上,正确的为图 3 中的(



A. 答案:B 用

B.

C.

D.

表示三种不同的物体,现放在天平上比较两次,情况如图所示,那么 的顺序排列应为( )

这三种物体按质量从大到小

答案:A

不等式组

的解集在数轴上可表示为(



答案:A

在数轴上表示不等式组

的解集,正确的是(



答案:A 二、填空题 已知 3x+4≤6+2(x-2),则 如图,已知函数 和 的最小值等于________. 的图象交点为 答案:1 ,则不等式 的解集为 .

答案:

不等式组

的解集为

. 答案:

不等式组

的整数解的个数为



答案:4

6.已知关于 答案:

的不等式组

的整数解共有 3 个,则

的取值范围是



9.不等式组 10.直线 解集为 .

的解集是 与直线

. 答案: 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于 的不等式 的

答案: <-1 13.已知不等式组 三、简答题 的解集为-1<x<2,则(m+n)2008=__________.答案:1

解不等式组 解:解不等式(1),得 原不等式组的解是 . . 解不等式(2),得 .

解不等式组

并写出该不等式组的最大整数解.

解:解不等式 x+1>0,得 x>-1 ∴不等式得解集为-1<x≤2

解不等式 x≤

,得 x≤2

∴该不等式组的最大整数解是 2

若不等式组 解:解不等式得

的整数解是关于 x 的方程 ,则整数解 x=-2 代入方程得 a=4。

的根,求 a 的值。

解方程

。 由绝对值的几何意义知, 该方程表示求在数轴上与 1 和-2 的距离之和为 5 的点对应的 x 的值。

在数轴上,1 和-2 的距离为 3,满足方程的 x 对应点在 1 的右边或-2 的左边,若 x 对应点在 1 的右边,由图(17)可以 看出 x=2;同理,若 x 对应点在-2 的左边,可得 x=-3,故原方程的解是 x=2 或 x=-3

参考阅读材料,解答下列问题: (1)方程 (2)解不等式 (3)若 解:(1)1 或 . 的解为 ≥9; ≤a 对任意的 x 都成立,求 a 的取值范围 (2) 和 的距离为 7, 的两侧. 易知 .

因此,满足不等式的解对应的点 3 与 当 在 3 的右边时,如图(2),

当 易知



的左边时,如图(2), . 原不等式的解为 或

(3)原问题转化为: 当 当 当 故 时, . 时, ,

大于或等于 , 随 , 即

最大值.

的增大而减小, 的最大值为 7.

解不等式组

并把解集表示在下面的数轴上.

解:

的解集是:

的解集是: 所以原不等式的解集是: ???????????????(3 分) 解集表示如图?????????????????????????(5 分)

解不等式组

解: 由不等式(1)得: 由不等式(2)得: 所以:5>x≥3 <5 ≥3

解不等式组:

并判断

是否满足该不等式组.

解:原不等式组的解集是:



满足该不等式组.

解不等式 3x-2<7,将解集在数轴上表示出来,并写出它的正整数解. 解:3x-2<7 3x<7+2 3x<9 x<3

解不等式组

,并写出它的所有整数解.

解:

解不等式组

并求出所有整数解的和.

解:解不等式①,得



解不等式②,得



原不等式组的解集是 则原不等式组的整数解是

. .

所有整数解的和是: 不等式复习 1 一:知识点回顾 1、一元一次不等式(组)的定义: 2、一元一次不等式(组)的解集、解法: 3、求不等式组的解集的方法 : 若 a<b,



时,x>b;(同大取大)



时,x<a;(同小取小)



时,a<x<b;(大小小大取中间)



时无解,(大大小小无解)

二:小试牛刀 1、不等式 8-3x≥0 的最大整数解是_______________. 2、若

(a ? 1) x ? a ? 1 的解集是 x ? 1 ,则 a 必须满足_______

? x ? 4, ? x ? a 的解集是 4 ? x ? a ,则 a 的取值范围是________. 3、若不等式组 ?
1 4、若 0 ? a ? 1 ,则 a 、 a
2

、 a 之间的大小关系是________.

5、如果一元一次方程 2 x ? 5k

? x ? 4 的解是正数,那么 k 的取值范围是________.

6、如图,直线 ( ) A. x

y ? kx ? b 经过点 A(?1, ? 2) 和点 B(?2, 0) ,直线 y ? 2 x 过点 A,则不等式 2 x ? kx ? b ? 0 的解集为
B. ?2 ?

? ?2

x ? ?1

C. ?2 ?

x?0

D. ?1 ?

x?0

y B A O x

7、不等式组 8、由 x>y 得 ax≤ay 的条件是( A.a>0 A.m>0 三:例题讲解 B.a<0
2 2

的解集为 x<2,试求 k 的取值范围______ ) D.a≤0 ) D.m 是任意有理数 ) C.a≥0 C.m≠0

9、由 a>b 得 am >bm 的条件是( B.m<0

1、已知关于 x 的不等式 2x+m>-5 的解集如图所示,则 m 的值为( A, 1 B, 0 C, -1 D, 3

2、不等式 2x+1<a 有 3 个正整数解,则 a 的取值范围是?

3、关于 x 的不等式组 ?

?x ? a ? 0 的整数解共有 3 个,则 a 的取值范围是多少? ?1 ? x ? 0

4、若方程组 ?

?3x ? y ? 2k , 的解满足 x ? 1, 且y ? 1 ,求整数 k 的取值范围。 ?y ? x ? 3

5、若不等式组

无解,求 a 的取值范围.

6、 已知不等式组 ?

?2ax ? 6 ? a 的解集是 1<x<b.则 a+b 的值? ?6 x ? 5 ? b

9、某工厂现有甲种原料 360 千克,乙种原料 290 千克,计划利用这两种原料生产 A、B 两种产品共 50 件,已知生产一件 A 种 产品用甲种原料 9 千克,乙种原料 3 千克,可获利 700 元;生产一件 B 种产品用甲种原料 4 千克,乙种原料 10 千克,可获利 1200 元。 (1)按要求安排 A、B 两种产品的生产件数,有哪几种方案?请你设计出来; (2)设生产 A、B 两种产品总利润为

y 元,其中一种产品生产件数为 x 件,试写出 y 与 x 之间的函数关系式,并利用函数的

性质说明那种方案获利最大?最大利润是多少?

3、如果不等式组 ?

?2 x ? 3 ? 0 无解,则 m 的取值范围是 ?x ? m



4、X 是哪些非负整数时,

3 x ?的值不小于 2 5

2 x1 ?的差 1 与 3

5 若方程组 ?

?x ? 2 y ? 1 的解 x 、 y 的值都不大于 1,求 m 的取值范围。 ?x ? 2 y ? m ?x ? a ? 0 的整数解共有 5 个,则 a 的取值范围是 ? ?3 ? 2x ? ?1

6、不等式组

7、用若干辆载重为 8 吨的汽车运一批货物,若每辆汽车只装 5 吨,则剩下 10 吨货物,若每辆车装满 8 吨,则最后一辆汽车不 空也不满,请问有多少辆汽车?

8、某校准备组织 290 名学生进行野外考察活动,行李共 100 件,学校计划租用甲乙两种型号的汽车共 8 辆,经了解,甲种汽 车每辆最多载 40 人和 10 件行李;乙种汽车每辆最多载 30 人和 20 件行李。 (1)设租用甲种汽车 x 辆,请你帮助学校设计所有可能的方案 (2)如果甲乙两种汽车每辆的租车费分别为 2000,1800 元,请你选择最省钱的一种租车方案。 9、为执行中央“节能减排,美化环境,建设美丽新农村”的国策,我市某村计划建造 A、B 两种型号的沼气池共 20 个,以解决 该村所有农户的燃料问题.两种型号沼气池的占地面积、使用农户数及造价见下表: 已知可供建造沼气池的占地面积不超过 365m2,该村农户共有 492 户. (1)满足条件的方案共有几种?写出解答过程. (2)通过计算判断,哪种建造方案最省钱. 型号 A B 占地面积 (单位:m2/个 ) 15 20 使用农户数 (单位:户/个) 18 30 造价 (单位: 万元/个) 2 3

2009 年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练 一元一次不等式及其应用 ◆知识讲解 1.一元一次不等式的概念 类似于一元一次方程,含有一个未知数,未知数的次数是 1?的不等式叫做一元一次不等式. 2.不等式的解和解集 不等式的解:与方程类似,我们可以把那些使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. 不等式的解集:对于一个含有未知数的不等式,它的所有的解的集合叫做这个不等式的解集.它可以用最简单的不等式表 示,也可以用数轴来表示. 3.不等式的性质 性质 1:不等式两边加上(或减去)同一个数(或式子) ,不等号的方向不变,即如 a>b,那么 a±c>b±c.

a c a 性质 3:不等式两边乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即如果 a>b,c<0,那么 ac<bc(或 c
性质 2:不等式两边乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即如果 a>b,c>0,那么 ac>bc(或

b ) . c b > ) . c
>

不等式的其他性质:①若 a>b,则 b<a;②若 a>b,b>c,则 a>c;③若 a≥b,且 b≥a,?则 a=b;④若 a≤0,则 a=0.

4.一元一次不等式的解法 一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似,?但要特别注意不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数时,不等 号要改变方向. 5.一元一次不等式的应用 列一元一次不等式解实际应用问题,可类比列一元一次方程解应用问题的方法和技巧,不同的是,列不等式解应用题,寻 求的是不等关系,因此,根据问题情境,抓住应用问题中“不等”关系的关键词语,或从题意中体会、感悟出不等关系十分重 要. 1.爆破施工时, 导火索燃烧的速度是0.8cm/s, 人跑开的速度是5m/s, 为了使点火的战士在施工时能跑到100m 以外的安全地区, 导火索至少需要多长? 2.一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程,第一天完成了60土方,现在要比原计划至少提前两天完成,则以后平均每天 至少要比原计划多完成多少方土? (2)已知李红比王丽大3岁,又知李红和王丽年龄之和大于30且小于33,求李红的年龄。 4.某工人计划在15天里加工408个零件,最初三天中每天加工24个,问以后每天至少要加工多 少个零件,才能在规定的时间内超额完成任务? 5.王凯家到学校2.1千米,现在需要在18分钟内走完这段路。已知王凯步行速度为90米/ 分,跑步速度为210米/分,问王凯至少 需要跑几分钟? 6.某工程队计划在10天内修路6km,施工前2天修完1.2km 后,计划发生变化,准备提前2天完成修路任务,以后几天内平均每天至 少要修路多少千米? (分配问题) 1、一堆玩具分给若干个小朋友,若每人分 3 件,则剩余 4 件,若前面每人分 4 件,则最后一人得到的玩具最多 3 件,问小朋 友的人数至少有多少人?。 2、解放军某连队在一次执行任务时,准备将战士编成 8 个组,如果每组人数比预定人数多 1 名,那么战士人数将超过 100 人, 则预定每组分配战士的人数要超过多少人? 3、把若干颗花生分给若干只猴子。如果每只猴子分 3 颗,就剩下 8 颗;如果每只猴子分 5 颗,那么最后一只猴子虽分到了花 生,但不足 5 颗。问猴子有多少只,花生有多少颗? 4 、 把一些书分给几个学生,如果每人分 3 本,那么余 8 本;如果前面的每个学生分 5 本,那么最后一人就分不到 3 本。问这些书有多少本?学生有多少人? 5 、某中学为八年级寄宿学生安排宿舍,如果每间 4 人,那么有 20 人无法安排,如果每间 8 人,那么有一间不空也 不满,求宿舍间数和寄宿学生人数。 6、将不足 40 只鸡放入若干个笼中,若每个笼里放 4 只,则有一只鸡无笼可放;若每个笼里放 5 只,则有一笼无鸡可放,且最 后一笼不足 3 只。问有笼多少个?有鸡多少只? 7、 用若干辆载重量为 8 吨的汽车运一批货物,若每辆汽车只装 4 吨,则剩下 20 吨货物;若每辆汽车装满 8 吨,则最后一辆 汽车不满也不空。请问:有多少辆汽车? 8、一群女生住若干家间宿舍,每间住 4 人,剩下 19 人无房住;每间住 6 人,有一间宿舍住不满。 (1) (2) (积分问题) 1、某次数学测验共 20 道题(满分 100 分) 。评分办法是:答对 1 道给 5 分,答错 1 道扣 2 分,不答不给分。某学生有 1 道未 答。那么他至少答对几道题才能及格? 2、在一次竞赛中有 25 道题,每道题目答对得 4 分,不答或答错倒扣 2 分,如果要求在本次竞赛中的得分不底于 60 分,至少 要答对多少道题目? 3 、一次知识竞赛共有 15 道题。竞赛规则是:答对 1 题记 8 分,答错 1 题扣 4 分,不答记 0 分。结果神箭队有 2 道题没答,飞 如果有 x 间宿舍,那么可以列出关于 x 的不等式组: 可能有多少间宿舍、多少名学生?你得到几个解?它符合题意吗?

艇队答了所有的题,两队的成绩都超过了 90 分,两队分别至少答对了几道题? 4、在比赛中,每名射手打 10 枪,每命中一次得 5 分,每脱靶一次扣 1 分,得到的分数不少于 35 分的射手为优胜者,要成为 优胜者,至少要中靶多少次? 5.有红、白颜色的球若干个,已知白球的个数比红球少,但白球的两倍比红球多,若把每一个白球都记作数 2,每一个红球都 记作数 3,则总数为 60,求白球和红球各几个? (比较问题) 1、某校校长暑假将带领该校“三好学生”去三峡旅游,甲旅行社说:如果校长买全票一张,则其余学生可享受半价优惠;乙 旅行社说: 包括校长在内全部按全票的 6 折优惠。 已知两家旅行社的全票价都是 240 元, 至少要多少名学生选甲旅行社比较好? 2、李明有存款 600 元,王刚有存款 2000 元,从本月开始李明每月存款 500 元,王刚每月存款 200 元,试问到第几个月,李明 的存款能超过王刚的存款。 3、暑假期间,两名家长计划带领若干名学生去旅游,他们联系了报价为每人 500 元的两家旅行社,经协商,甲旅行社的优惠 条件是:两名家长全额收费,学生都按七折;乙旅行社的优惠条件是:家长,学生都按八折收费。假设这两位家长至带领多少 名学生去旅游,他们应该选择甲旅行社? (行程问题) 1、抗洪抢险,向险段运送物资,共有 120 公里原路程,需要 1 小时送到,前半小时已经走了 50 公里后,后半小时速度多大才 能保证及时送到? 2、爆破施工时,导火索燃烧的速度是 0.8cm/s,人跑开的速度是 5m/s,为了使点火的战士在施工时能跑到 100m 以外的安全地 区,导火索至少需要多长? 3、王凯家到学校 2.1 千米,现在需要在 18 分钟内走完这段路。已知王凯步行速度为 90 米/ 分,跑步速度为 210 米/分,问王 凯至少需要跑几分钟? 4、抗洪抢险,向险段运送物资,共有 120 公里原路程,需要 1 小时送到,前半小时已经走了 50 公里后,后半小时速度多大才 能保证及时送到? (车费问题) 1、出租汽车起价是 10 元(即行驶路程在 5km 以内需付 10 元车费),达到或超过 5km 后,每增加 1km 加价 1.2 元(不足 1km 部分按 1km 计),现在某人乘这种出租 汽车从甲地到乙地支付车费 17.2 元,从甲地到乙地的路程超过多少 km? 2、某种出租车的收费标准是:起步价 7 元(即行驶距离不超过 3km 都需要 7 元车费) ,超过 3km,每增加 1km,加收 2.4 元(不 足 1km 按 1km 计) 。某人乘这种出租车从 A 地到 B 地共支付车费 19 元。设此人从 A 地到 B 地经过的路程最多是多少 km? (工程问题) 1 .一个工程队规定要在 6 天内完成 300 土方的工程,第一天完成了 60 土方,现在要比原计划至少提前两天完成,则以后平均 每天至少要比原计划多完成多少方土? 2 .用每分钟抽 1.1 吨水的 A 型抽水机来抽池水,半小时可以抽完;如果改用 B 型抽水机,估计 20 分钟到 22 分可以抽完。B 型 抽水机比 A 型抽水机每分钟约多抽多少吨水? 3.某工人计划在 15 天里加工 408 个零件,最初三天中每天加工 24 个,问以后每天至少要加工多少个零件,才能在规定的时间 内超额完成任务? 4、某车间有组装 1200 台洗衣机的任务,若最多用 8 天完成,每天至少要组装多少台? (浓度问题) 1、在 1 千克含有 40 克食盐的海水中,在加入食盐,使他成为浓度不底于 20%的食盐水,问:至少加入多少食盐? 2、一种灭虫药粉 30 千克,含药率是 15%,现在要用含药率比较高的同种药粉 50 千克和它混合,使混合的含药率大于 20%, 求所用药粉的含药率的范围。 (增减问题) 1、一根长 20cm 的弹簧,一端固定,另一端挂物体。在弹簧伸长后的长度不超过 30cm 的限度内,每挂 1 ㎏质量的物体,弹簧 伸长 0.5cm.求弹簧所挂物体的最大质量是多少? 2、几个同学合影,每人交 0.70 元,一张底片 0.68 元,扩印一张相片 0.5 元,每人分一张,将收来的钱尽量用完,这张照片上 的同学至少有多少个? 3、某人点燃一根长度为 25 ㎝的蜡烛,已知蜡烛每小时缩短 5 ㎝,几个小时以后,蜡烛的长度不足 10 ㎝? (销售问题) 1 、商场购进某种商品 m 件,每件按进价加价 30 元售出全部商品的 65%,然后再降价 10%,这样每件仍可获利 18 元,又售出

全部商品的 25%。 (1)试求该商品的进价和第一次的售价; (2)为了确保这批商品总的利润率不低于 25%,剩余商品的售价应不低于多少元? 2.水果店进了某中水果 1t,进价是 7 元/kg。售价定为 10 元/kg,销售一半以后,为了尽快售完,准备打折出售。如果要使总利 润不低于 2000 元,那么余下的水果可以按原定价的几折出售? 3.“中秋节”期间苹果很热销,一商家进了一批苹果,进价为每千克 1.5 元,销售中有 6%的苹果损耗,商家把售价至少定为每 kg 多少元,才能避免亏本? 2、某电影院暑假向学生优惠开放,每张票 2 元。另外,每场次还可以售出每张 5 元的普通票 300 张,如果要保持每场次票房 收入不低于 2000 元,那么平均每场次至少应出售学生优惠票多少张? 4.某中学需要刻录一批电脑光盘,若到电脑公司刻录,每张需 8 元(包括空白光盘费) ;若学校自刻,出租用刻录机需 120 元 外,每张光盘还需成本 4 元(包括空白光盘费) 。问刻录这批电脑光盘,该校如何选择,才能使费用较少? 5.某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人 150 人,甲、乙两种工种的工人月工资分别为 600 元和 1000 元.现要求乙种工种的人数 不少于甲种工种人数的 2 倍,问甲、乙两种工种各招聘多少人时,可使得每月所付的工资最少? 6.学校图书馆准备购买定价分别为 8 元和 14 元的杂志和小说共 80 本, 计划用钱在 750 元到 850 元之间 (包括 750 元和 850 元) , 那么 14 元一本的小说最少可以买多少本? (数字问题)1.有一个两位数,其十位上的数比个位上的数小 2,已知这个两位数大于 20 且小于 40,求这个两位数 方案选择与设计 1.某厂有甲、乙两种原料配制成某种饮料,已知这两种原料的维生素 C 含量及购买这两种原料的价格如下表: 原料 维生素 C 及价格 维生素 C/(单位/千克) 原料价格/(元/千克) 甲种原料 600 8 乙种原料 100 4

现配制这种饮料 10 千克,要求至少含有 4200 单位的维生素 C,并要求购买甲、乙两种原料的费用不超过 72 元, (1)设需用 x 千克甲种原料,写出 x 应满足的不等式组。 (2)按上述的条件购买甲种原料应在什么范围之内?

2.红星公司要招聘 A、B 两个工种的工人 150 人,A、B 工种的工人的月工资分别为 600 和 1000 元,现要求 B 工种的人数不少于 A 工种人数的 2 倍,那么招聘 A 工种工人多少时,可使每月所付的工资最少?此时每月工资为多少元? 3.某工厂接受一项生产任务,需要用 10 米长的铁条作原料。现在需要截取 3 米长的铁条 81 根,4 米长的铁条 32 根,请你帮助 设计一下怎样安排截料方案,才能使用掉的 10 米长的铁条最少?最少需几根? 4.某校办厂生产了一批新产品,现有两种销售方案,方案一:在这学期开学时售出该批产品,可获利 30000 元,然后将该批产 品的投入资金和已获利 30000 元进行再投资, 到这学期结束时再投资又可获利 4.8%;方案二:在这学期结结束时售出该批产品, 可获利 35940 元,但要付投入资金的 0.2%作保管费,问: (1)当该批产品投入资金是多少元时,方案一和方案二的获利是一样的? (2)按所需投入资金的多少讨论方案一和方案二哪个获利多。 5.某园林的门票每张 10 元,一次使用,考虑到人们的不同需要,也为了吸引更多的游客,该 园林除保留原来的售票方法外,还推出了一种“购买年票”的方法。年票分为 A、B、C 三种:A 年票每张 120 元,持票进入不 用再买门票;B 类每张 60 元,持票进入园林需要再买门票,每张 2 元,C 类年票每张 40 元,持票进入园林时,购买每张 3 元 的门票。 (1) (2) 如果你只选择一种购买门票的方式,并且你计划在一年中用 80 元花在该园林的门票上,试通过计算,找出可使 进入该园林的次数最多的购票方式。 求一年中进入该园林至少多少时,购买 A 类年票才比较合算。 6.某城市平均每天处理垃圾 700 吨,有甲和乙两个处理厂处理,已知甲每小时可处理垃圾 55 吨,需要费用 550 元,乙厂每小 时可处理垃圾 45 吨,需要费用 495 员。如果规定该城市每天用于处理垃圾的费用不得超过 7370 元,甲厂每天处理垃圾至少要 多少吨? ◆例题解析

例1

解不等式

2 x ? 1 10 x ? 1 5 ? ≥ 3 6 4

x-5,并把它的解集在数轴上表示出来.

【分析】一元一次不等式的解法的一般步骤与一元一次方程相同,不等式中含有分母,应先在不等式两边都乘以各分母的 最小公倍数去掉分母,在去分母时不要漏乘没有分母的项,再作其他变形. 【解答】去分母,得 4(2x-1)-2(10x+1)≥15x-60. 去括号,得 8x-4-20x-2≥15x-60 移项合并同类项,得-27x≥-54 系数化为 1,得 x≤2.在数轴上表示解集如图所示.

o

2

【点评】①分数线兼有括号的作用,分母去掉后应将分子添上括号.同时,用分母去乘不等式各项时,不要漏乘不含分母 的项;②不等式两边都乘以(或除以)同一个负数时,不等号的方向必须改变;③在数轴上表示不等式的解集,当解集是 x<a 或 x>时,不包括数轴上 a 这一点,则这一点用圆圈表示;当解集是 x≤a 或 x≥a 时,包括数轴上 a 这一点,则这一点用黑圆点 表示;?④解不等式(组)是中考中易考查的知识点,必须熟练掌握. 例2 若实数 a<1,则实数 M=a,N= B.M>N>P

a?2 2a ? 1 ,P= 的大小关系为( 3 3
D.M>P>N



A.P>N>M

C.N>P>M

【分析】本题主要考查代数式大小的比较有两种方法:其一,由于选项是确定的,我们可以用特值法,取 a>1 内的任意值 即可;其二,?用作差法和不等式的传递性可得 M,N,P 的关系.

【解答】方法一:取 a=2,则 M=2,N= 方法二:由 a>1 知 a-1>0.

4 3

,P=

5 ,由此知 M>P>N,应选 D. 3

2a ? 1 a ? 1 = >0,∴M>P; 3 3 2a ? 1 a ? 2 a ? 1 P-N= = >0,∴P>N. 3 3 3
又 M-P=a∴M>P>N,应选 D. 【点评】 应用特值法来解题的条件是答案必须确定. 如, 当 a>1 时, A 与 2a-2?的大小关系不确定, 当 1<a<2 时, 当 a>2a-2; 当 a=2 时,a=2a-2;当 a>2 时,a<2a-2,因此,?此时 a 与 2a-2 的大小关系不能用特征法. 例 3 若不等式-3x+n>0 的解集是 x<2,则不等式-3x+n<0 的解集是_______. 【分析】一方面可从已知不等式中求出它的解集,?再利用解集的等价性求出 n 的值,进而得到另一不等式的解集. 【解答】∵-3x+n>0,∴x< 即 n=6 代入-3x+n<0 得:-3x+6<0,∴x>2 例 4 某公司为了扩大经营,决定购进 6 台机器用于生产某种活塞.?现有甲,乙两种机器供选择,其中每台机器的价格和 每台机器日生产活塞的数量如下表所示.经过预算,本次购买机器所耗资金不能超过 34 万元. 甲 价格/(万元/台) 每台日产量/个 (1)按该公司要求可以有几种购买方案? (2)若该公司购进的 6 台机器的日生产能力不低于 380 个,那么为了节约资金应选择哪种购买方案? 【解析】 (1)可设购买甲种机器 x 台,然后用 x 表示出购买甲,?乙两种机器的实际费用,根据“本次购买机器所耗资金 不能超过 24 万元”列不等式求解. 7 100 乙 5 60

n 3

,∴

n 3

=2

(2)分别算出(1)中各方案每天的生产量,根据“日生产能力不低于 380 个”与“节约资金”两个条件选择购买方案. 解(1)设购买甲种机器 x 台,则购买乙种机器(6-x)台,则 7x+5(6-x)≤34 解得 x≤2 又 x≥0 ∴0≤x≤2 ∴整数 x=0,1,2 ∴可得三种购买方案: 方案一:购买乙种机器 6 台; 方案二:购买甲种机器 1 台,乙种机器 5 台; 方案三:购买甲种机器 2 台,乙种机器 4 台. (2)列表如下: 日生产量/个 方案一 方案二 方案三 360 400 440 总购买资金/万元 30 32 34

由于方案一的日生产量小于 380 个,因此不选择方案一;?方案三比方案二多耗资 2 万元,故选择方案二. 【点评】①部分实际问题的解通常为整数;②方案的各种情况可以用表格的形式表达. 例 5 某童装加工企业今年五月份,?工人每人平均加工童装 150 套,最不熟练的工人加工的童装套数为平均套数的 60%.为 了提高工人的劳动积极性,按照完成外商订货任务,企业计划从六月份起进行工资改革.?改革后每位工人的工资分两部分: 一部分为每人每月基本工资 200 元;另一部分为每加工 1 套童装奖励若干元. (1)?为了保证所有工人的每月工资收入不低于市有关部门规定的最低工资标准 450 元,按五月份工人加工的童装套数计 算,工人每加工 1 套童装企业至少应奖励多少元(精确到分)? (2)根据经营情况,企业决定每加工 1 套童装奖励 5 元.?工人小张争取六月份工资不少于 1200 元,问小张在六月份应 至少加工多少套童装? 【分析】 (1)五月份工人加工的最少套数为 150×60%,若设平均每套奖励 x 元,则该工人的新工资为(200+150×60%x) , 由题意得 200+150×60%x≥450; (2) 六月份的工资由基本工资 200 元和奖励工资两部分组成, ?若设小张六月份加工了 y 套, 则依题意可得 200+5y≥1200. 【解答】 (1)设企业每套奖励 x 元,由题意得:200+60%×150x≥450. 解得:x≥2.78. 因此,该企业每套至少应奖励 2.78 元; (2)设小张在六月份加工 y 套,由题意得:200+5y≥1200, 解得 y≥200. 【点评】本题重点考查学生从生活实际中理解不等关系的能力,对关键词“不低于” 、 “至少” 、 “不少于”的理解是解本例 的关键. ◆强化训练 一、填空题 1.若不等式 ax<a 的解集是 x>1,则 a 的取值范围是______. 2.不等式 x+3>

1 2

x 的负整数解是_______.

3.不等式 5x-9≤3(x+1)的解集是______. 4.不等式 4(x+1)≥6x-3 的正整数解为______. 5.已知 3x+4≤6+2(x-2) ,则│x+1│的最小值等于______. 6.若不等式 a(x-1)>x-2a+1 的解集为 x<-1,则 a 的取值范围是______. 7.满足

2 ? x 2x ?1 ≥ 的 x 的值中,绝对值不大于 10 的所有整数之和等于______. 2 3

8.小明用 100 元钱去购买笔记本和钢笔共 30 件,已知每本笔记本 2 元,?每支钢笔 5 元,那么小明最多能买______支钢笔. 9.某商品的进价是 500 元,标价为 750 元,商店要求以利润不低于 5%的售价打折出售,售货员最低可以打______折出售此商 品. 10.有 10 名菜农,每个可种甲种蔬菜 3 亩或乙种蔬菜 2 亩,?已知甲种蔬菜每亩可收入 0.5 万元,乙种蔬菜每亩可收入 0.8 万 元,若要总收入不低于 15.6 万元,?则最多只能安排_______人种甲种蔬菜. 二、选择题 11.不等式-x-5≤0 的解集在数轴上表示正确的是( )

A A.a-b>0 A.x>0 14.如果不等式 A.a>5 A.0 C.-2 B.ab<0 B.x>2

B C.a+b<0 C.x>-3

C D.b(a-c)>0

D ) 的解集是( )

12.如图所示,O 是原点,实数 a,b,c?在数轴上对应的点分别为 A,B,C,则下列结论错误的是( 13. 如图所示, 一次函数 y=kx+b 的图象经过 A, B 两点, 则不等式 kx+b>0? D.-3<x<2

2x ?1 ax ? 1 5 +1> 的解集是 x< ,则 a 的取值范围是 3 3 3
B.a=5 C.a>-5 B.-3 D.-1 ) D.a=-5 )





15.关于 x 的不等式 2x-a≤-1 的解集如图所示,则 a 的取值是(

16.初中九年级一班几名同学,毕业前合影留念,每人交 0.70 元,一张彩色底片 0.68 元,扩印一张照片 0.50 元,每人分一 张,将收来的钱尽量用掉的前提下,?这张照片上的同学最少有( A.2 个 A.P>R>S>Q C.S>P>Q>R B.3 个 C.4 个 D.5 个 )

17.四个小朋友玩跷跷板,他们的体重分别为 P,Q,R,S,如图所示,则他们的体重大小关系是( B.Q>S>P>R D.S>P>R>Q

18.某班学生在颁奖大会上得知该班获得奖励的情况如下表: 三好学生 市级 校级 3 18 优秀学生干部 2 6 优秀团员 3 12 )

已知该班共有 28 人获得奖励, 其中只获得两项奖励的有 13 人, 那么该班获得奖励最多的一位同学可能获得的奖励为 ( A.3 项 三、解答题 19.解下列不等式,并把解集在数轴上表示出来. (1) B.4 项 C.5 项 D.6 项

3x ? 4 2 x ? 1 ? ; 6 3

(2)x-3≥

3x ? 5 . 4

20.王女士看中的商品在甲,乙两商场以相同的价格销售,两商场采用的促销方式不同:在甲商场一次性购物超过 100 元,超 过的部分八折优惠;在乙商场一次性购物超过 50 元,超过的部分九折优惠,那么她在甲商场购物超过多少元就比在乙商场 购物优惠? 21.甲,乙两家超市以相同的价格出售同样的商品,为了吸引顾客,?各自推出不同的优惠方案:在甲超市累计购买商品超出 300 元之后,?超出部分按原价 8 折优惠;在乙超市累计购买商品超出 200 元之后,超过部分按原价 8.5 折优惠.设顾客预 计累计购物 x 元(x>300) . (1)请用含 x 的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用; (2)试比较顾客到哪家超市购物更优惠?说明你的理由.

22.福林制衣厂现有 24 名制作服装工人,?每天都制作某种品牌衬衫和裤子,每人每天可制作衬衫 3 件或裤子 5 条. (1)若该厂要求每天制作的衬衫和裤子数量相等,则应安排制作衬衫和裤子各多少人? (2)已知制作一件衬衫可获得利润 30 元,制作一条裤子可获得利润 16 元,?若该厂要求每天获得利润不少于 2100 元,则 至少需要安排多少名工人制作衬衫? 23. 某零件制造车间有工人 20 名, ?已知每名工人每天可制造甲种零件 6 个或乙种零件 5 个, 且每制造一个甲种零件可获利 150 元,?每制造一个乙种零件可获利 260 元,在这 20 名工人中,车间每天安排 x 名工人制造甲种零件,?其余工人制造乙种零 件. (1)请写出此车间每天所获利润 y(元)与 x(人)之间的关系式; (2)若要使每天所获利润不低于 24000 元,?你认为至少要派多少名工人去制造乙种零件才合适? 24.足球比赛的记分规则为:胜 1 场得 3 分,平 1 场得 1 分,负 1?场得 0 分,一支足球队在某个赛季中共需比赛 14 场,现已 比赛 8 场,负了 1 场,得 17 分,请问: (1)前 8 场比赛中,这支球队共胜了多少场? (2)这支球队打满了 14 场比赛,最高能得多少分? (3)通过对比赛情况的分析,这支球队打满 14 场比赛得分不低于 29 分,?就可以达到预期目标,请你分析一下,在后面的 6 场比赛中这支球队至少要胜几场,才能达到预期目标? 25.宏志高中高一年级近几年招生人数逐年增加,去年达到 550 名,?其中面向全省招收的“宏志班”学生,也有一般普通班 学生.由于场地、师资等限制,今年招生最多比去年增加 100 人,其中普通班学生可以招 20%,?“宏志班”学生可多招 10%,问今年最少可招收“宏志班”学生多少名?

2010—2011 学年度第二学期第一单元测试题 一元一次不等式和一元一次不等式组 班别:_________学号:_________姓名:_________评分:_________ 一.填空题: (每小题 2 分,共 20 分) 1.若 x < 2.若 ?

y ,则 x ? 2

(填“<、>或=”号) y ? 2;

a b ? ? ,则 3a _____b ; (填“<、>或=”号) 3.不等式 2 x ≥ x ? 2 的解集是_________; 3 9 3 ? 2y 4.当 y _______时,代数式 的值至少为 1;5.不等式 6 ? 12 x ? 0 的解集是___ ___; 4
6.不等式 7 ? 8. x 的

x ? 1 的正整数解为:

;7.若一次函数

y ? 2 x ? 6 ,当 x ___

__时,

y ? 0;

3 与 12 的差不小于 6,用不等式表示为__________________; 5

9.不等式组 ?

?2 x ? 3 ? 0 的整数解是______________; ?3x ? 2 ? 0 ?3x ? 2 y ? p ? 1 的解满足 x > y ,则 P 的取值范围是_________; ?4 x ? 3 y ? p ? 1
( )

10.若关于 x 的方程组 ?

二.选择题: (每小题 3 分,共 30 分) 11.若 a > b ,则下列不等式中正确的是

(A)

a?b ? 0

(B)

? 5a ? ?5b

(C)

a ?8 ? b?8

(D)

a b ? 4 4
( )

12.在数轴上表示不等式 x ≥ ?

2 的解集,正确的是

(A) (A) (C)

(B) (B) (D)

(C)

(D) ( )

13.已知两个不等式的解集在数轴上如图表示,那么这个解集为

x ≥?1
? 3 ? x ? ?1

x ?1
x ? ?3

14.不等式 2( x ? 2) ≤ x (A) 1

? 2 的非负整数解的个数为
2 (C) 3 (D) 4

(B)

15.下列不等式求解的结果,正确的是 (A)不等式组 ?

? x ? ?3 的解集是 x ? ?3 x ? ? 5 ?

(B)不等式组 ?

? x ? ?5 的解集是 x ? ?5 x ? ? 4 ?

(C)不等式组 ?

?x ? 5 无解 ? x ? ?7

(D)不等式组 ?

? x ? 10 的解集是 ? 3 ? x ? 10 ? x ? ?3
( )

16.把不等式组 ?

?x ? 1 ? 0 的解集表示在数轴上,正确的是图中的 ?x ? 1 ? 0

17.如图⑴所示,天平右盘中的每个破码的质量都是 1g,则物体 A 的质量 m (g)的取值范围.在数轴上:可表示为图 1-1―1 ⑵中的 ( )

18.已知关于 x 的不等式 (1 ? a) x (A)

? 3 的解集为 x ?
(C)

a?0

(B)

a ?1

3 ,则 a 的取值范围是 1? a a?0 a ?1 (D)





19.一次函数 当?3? (A) (C)

3 y ? ? x ? 3 的图象如图所示, 2
( )

y ? 3 时, x 的取值范围是

x?4 0? x?4

(B) (D)

0? x?2 2? x?4

20.观察下列图像,可以得出不等式组

? 3x ? 1 ? 0 的解集 ? ?? 0.5x ? 1 ? 0
(A)





x?

1 3

(B)

?

1 ?x?0 3

(C)

0? x?2

(D)

?

1 ?x?2 3

三.解下列不等式(组) ,并把解集在数轴上表示出来: (每小题 6 分,共 24 分)

21.

2 x ? 5 ? 3x ? 4

22. 10 ? 4( x ? 3)

? 2( x ? 1)

23.

?3x ? 2 ? 5 x ? 6 ? ?3 ? 2 x ? 2 ? x

? x ? 3( x ? 2) ? 4 ? 24. ?1 ? 2 x ? x ?1 ? ? 3

x ? 3 x ?1 ? 的值是非负数? 2 5 x ? m 2x ? 1 ? ? m 的解是非正数,求 m 的取值范围. 26、 (6 分)已知:关于 x 的方程 3 2
25. (6 分) x 为何值时,代数式 27. (7 分)我市移动通讯公司开设了两种通讯业务,A 类是固定用户:先缴 50 元基础费,然后每通话 1 分钟再付话费 0.4 元; B 类是“神州行”用户: 使用者不缴月租费, 每通话 1 分钟会话费 0.6 元 (这里均指市内通话) ; 若果一个月内通话时间为 x 分钟, 分别设 A 类和 B 类两种通讯方式的费用为 (1)写出

y1元和y 2 元 ,

y1 、 y 2 与 x 之间的函数关系式;

(2)一个月内通话多少分钟,用户选择 A 类合算?还是 B 类合算? (3)若某人预计使用话费 150 元,他应选择哪种方式合算? 28. (6 分)有一群猴子,一天结伴去偷桃子,在分桃子时,如果每个猴子分了 3 个,那么还剩 59 个;如果每一个猴子分 5 个, 就都能分得桃子,但剩下一个猴子分得的桃子不够 5 个,你能求出有几只猴子,几个桃子吗 选作: (10 分) (10 广西桂林)某校初三年级春游,现有 36 座和 42 座两种客车供选择租用,若只租用 36 座客车若干辆,则正好坐满;若只 租用 42 座客车,则能少租一辆,且有一辆车没有坐满,但超过 30 人;已知 36 座客车每辆租金 400 元,42 座客车每辆租金 440 元. (1)该校初三年级共有多少人参加春游? (2)请你帮该校设计一种最省钱 的租车方案. ...


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