苏教版必修3《总体特征数的估计(均值、方差、标准差)》_图文

情境一:

某农场种植了甲、乙两种玉米苗,从中各抽取了 10株,分别测得它们的株高如下(单位:厘米):
甲: 25 乙: 27 41 16 40 44 37 27 22 44 14 16 19 40 39 40 21 16 42 40 30 31

问:

哪种玉米苗长得高?

分析: 欲比较哪种玉米苗长得高,可以比较一下它们的

平均高 !
反映了总体的 某种特征

总 体 特 征 数

总体特征数: 通常把能反映总体某种特征的量称为总体特征数

如何反映总体的特征数?

用样本的特征数估计总体的特征数!

情境二:
在利用单摆检验重力加速度的实验中,全班同学在 相同的条件下进行测试,得到下列数据(单位:m/s?)

9.62 9.54 9.78

9.94

10.01 9.66

9.88 9.68

10.32 9.94

9.76 9.45 9.99 9.81 9.65 9.79 9.42 9.68

平 怎样利用这些数据对重力加速度进行估计? 均 数
近似值

9.56 9.78 9.72 9.93 9.70 9.84 9.90

问题转化为: 实验结果测得一组数据为

a1 , a2,

an

用 算术平均数 作为重力加速度“最理想的”近似 值,依据是什么呢?

处理实验数据的原则是使这个近似值与实验数 据之间的离差(偏差)最小、设近似值为x, 称为这n个数的 则它与n个实验值 ai(i=1,2,3,…,n)的 平均数或者均值 离差分别为 x-a1,x-a2,…,x-an

a平均 读作:

a1 ? a2 ? a = n

an

1 n = ? ai n i ?1

平均数最能代表一个样本数据的集中趋势, 也就是说它与样本数据的离差最小。

例1 某校高一年级的甲乙两个班级(均为50人)的 数学成绩如下(总分150),试确定这次考试中,哪 个班的数学成绩更好一些 .
甲班
112 87 108 104 86 112 100 107 102 95 98 106 94 96 119 93 109 105 84 94 115 107 84 96 101 100 99 111 93 94 106 115 105 90 104 102 94 98 104 98 120 95 98 100 108 112 102 98 108 112 90 99 101 94 95 111 112 84 110 113 107 119 105 99 114

乙班

92 116 94

甲班均分
103 96

108
107 107

100
106 111

110
111 114

98
121 106

107
97 104

87
107 104

108
114 95

106
122 111

103
101 111

97
107 110

乙班均分

思考 人员
人数

某公司内部结构以及工资分布:

经理
1

管理人员 技工 工人 学徒 合计
1250 6 1100 1000 500 5 10 10 23

月工资 11000

求该公司的平均工资?

加权平均值 (用频率计算平均值) 一般地,若取值为 x1, x2 , xn , 出现的次数分别 为 f1 , f 2 f n ,设频率为 p1 , p2 , pn 则其加权平均数为

x1 p1 ? x2 p2 ?
其中

? xn pn

( p1 ? p2 ?

pn ? 1)

例2 高一(1)班学生年龄统计:(班级共有43 人)其中有20人18岁,13人17岁,7人16 岁,,3人15岁,求该班级的平均年龄。 分析 在班级年龄序列中18出现了20次, 17出现了13 次,16出现了7次,15出现了3次 解: x ? 18 ? 20 ? 17 ?13 ? 16 ? 7 ? 15 ? 3 43 20 13 7 3 15 ? 18 ? ? 17 ? ? 16 ? ? 1 8? 43 43 43 43
? 17

“加权平均数”

例3:由下表计算学生日睡眠时间
[6,6.5) [6.5,7) [7,7.5) [7.5,8) [8,8.5) [8.5,9] 合 计 5 17 33 37 6 2 100 0.05 0.17 0.33 0.37 0.06 0.02 1

例4:由某单位年收入表试估计该单位职工 的平均年输入
收入范围
10000 至 15000 15000 至 20000

20000 至 25000
25000 至 30000

30000 至 35000
35000 至 40000

40000 至 50000

所占百分 比 10% 15% 20% 25% 15% 10% 5%

情境一:
某农场种植了甲、乙两种玉米苗,从中各抽取 了10株,分别测得它们的株高如下:
甲: 31 乙: 53 32 16 35 54 37 13 33 66 30 16 32 13 31 11 30 16 29 62

哪种玉米苗长得高? 问: 哪种玉米苗长得齐?

x甲 =32
x乙 =32

怎 么 办 呢 ?

甲: 31 乙: 53 甲

32 16

35 54

37 13

33 66

30 16

32 13

31 11

30 16

29 62

29 32

37


11 32 66

甲 乙

37(最大值) 66(最大值)

29(最小值) 11(最小值)

8 55

极 差

极差: 一组数据的最大值与最小值的差
极差越大,数据越分散,越不稳定 极差越小,数据越集中,越稳定 极差体现了数据的离散程度

xn 设一组样本数据 x1 , x2 , ,其平均数为 ,则 x

1 2 2 ? s ? ?( x1 ? x) ? ( x2 ? x) ? n
2

? ( xn ? x) ? ?
2



n 1 2 2 s ? ? ( xi ? x) n i ?1

它的算术平方根 称s2为这个样本的方差,

1 n s? ( xi ? x) ? n i ?1
称为这个样本的标准差,分别称为样本方差、样本标准差

? 样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平 均数叫做样本方差;样本方差的算术平方根叫 做样本标准差。样本方差和样本标准差都是衡 量一个样本波动大小的量,样本方差或样本标 准差越大,样本数据的波动就越大。

例1:从高一(1)班的一次数学测验抽取 一小组 成绩如下(保留整数): 85 90 80 80 85 75 100 计算这组样本数据的极差、方差和标准差. 例2.甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均 单位面积产量如下(单位:t/hm2),试根据 这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定。
品种 甲 乙 第 1年 9.8 9.4 第 2年 9.9 10.3 第 3年 10.1 10.8 第 4年 10 9.7 第 5年 10.2 9.8

例3.为了保护学生的视力,教室内的日光灯在 使用一段时间后必须更换。已知某校使用的100 只日光灯在必须换掉前的使用天数如下,试估计 这种日光灯的平均使用寿命和标准差。
151~ 181~ 211~ 241~ 271~ 301~ 331~ 361~ 180 210 240 270 300 330 360 390 1 11 18 20 25 16 7 2

天数 灯泡 数

1、在一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的分数 如下: 9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7,去掉一个最高分 和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为 _________________ ; 9.5,0.016
2、已知数据 a1 , a2 , a3的方差为2,则求数据 2a1 , 2a2 , 2a3 的方差、标准差。 课本P68练习1、2

1、(算术)平均数 2、极差是体现数据离散程度 3、方差、标准差是体现稳定性


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