人教A版高中数学选修2-2课件:1.5.1曲边梯形的面积_图文

高中数学课件
(金戈铁骑 整理制作)

1.5 定积分的概念

在过去的学习中,我们已经知道正方形、 三角 形、平行四边形、梯形 等平面 "直边图形" 的 面积 ;物理中, 我们知道了匀速直线 运动的时 间、速度与路程的关系 等等.在数学和物理中, 我们还经常会 遇到计算平面曲线围成 的平面 "曲边图形"的面积、变速直线运动 物体位移、 变力做功的问题 .如何解决这些问题 呢 ? 能否 把求 "曲边图形" 面积 转化为求 "直边图形" 面 积? 能否利用匀速直线运动 的知识 解决变 速 直线运动的问题 ?为此 ,我们需要学习新的数 学知识 定积分.

在学习过的函数中,许多函数 (例如 y ? x,
y ? x2,y ? x等) 的图形都是某个区间 I上 的一条连续不断的曲线 .一般地,如果函数
y ? f?x?在某个区间I上的图象是一条连续
不断的曲线,那么我们就把它称为区 间I上 的连续函数. 如不加说明,下面研究的都是连续函 数.

1.5.1 曲边梯形的面积

y

f ?b?

y ? f?x?

f ?a?

oa

bx

图1.5 ? 1

思考 图1.5 ? 1中,阴影部分类似于一个梯 形,但有一
边是曲线 y ? f?x?的一段,我们把由直线 x ? a,x ? b ?a ? b?,y ? 0和曲线 y ? f?x? 所围成的图形称为曲边
梯形,如何计算这个曲边梯形 的面积呢?

下面先研究一个特殊情 形: 如何求抛物线y ? x2

与直线x ? 1,y ? 0所围所的平面图形(图1.5 ? 2中

阴影部分 )的面积S ?
y
图1.5 ? 2中的图形可以

看成是直线x ? 0,x ? 1,

y ? x2

y ? 0 和曲线y ? x2所围 成的曲边梯形.

S

o

1x

图1.5 ? 2

思考 图1.5 ? 2中的曲边梯形与我们熟 悉的"直边 图形"的主要区别是什么?能否将求这个曲边梯形 面积S 的问题转化为求 "直边图形"面积问题 ?

可以发现,图1.5 ? 2中的曲边 梯形与" 直边图形" 的主要区

y y ? x2

别是,前者有一边是曲线段,

而" 直边图形" 的所有边都是

S

直线段. 在过去的学习中,我们曾经

o

1x

图1.5 ? 2

用多边形逼近圆的方法,利用多边形面积求出圆

的面积 .这种" 以直代曲"的思想启发我们 ,是否也

能用直边形(比如矩形)逼近曲边梯形的方法,求图

1.5 ? 2 中阴影部分面积呢 ?

如图1.5 ? 3,把区间 ?0,1?分成

y

许多小区间,进而把曲边梯形

y ? x2

拆分为一些小曲边梯形.对每

一个小曲边梯形 " 以直代曲 "

即用矩形的面积 近似 代 替 小 曲边梯形的面积,得到每个小

o

i?1 i nn

1x

图1.5 ? 3

曲边梯形面积的近似值.可以想象,随着拆分越来越

细,近似程度就会越来越好. 也即 : 用化归为计算矩

形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积.我

们通过下面步骤来具体实施这种方法.

?1?分割 在区间 ?0,1?上间 y

隔地插入n ? 1个点,将它等

y ? x2

分成n个小区间 :

???0,

1? n ??

,

?1 ??n

,

2 n

??? ,

?

??,

?n ??

? n

1,1???

,

o

i?1 i nn

1x

图1.5 ? 3

记第i个区间为???i

? 1, n

i n

????i

?

1,2,?

?

?,n?,其长度为

Δx

?

i n

?

i

?1 n

?

1. n

分别过上述n

? 1个点作x轴的

垂线,把曲边梯形分成n个小曲边梯形?图1.5 ? 3?,

n
? 它们的面积记作Δs1, ΔS2,? ? ?, ΔSn.显然,S ? ΔSi . i?1

y y ? x2

?2?近似代替 记f?x? ? x2.
如图1.5 ? 3 ,当n很大 ,即

Δx很小时,在区间???i

? 1, n

i n

? ??

o

? ? i?1 i
nn

1x

上,可以认为函数f x ? x2

图1.5 ? 3

的值变化很小,近似等于一

y

个常数,不妨认为它近似地

y ? x2

等于左端点 i ? 1处的函数 n

值f?? i ? 1??.从图形上看,就是

o

i?1 i nn

1x

?n?

图1.5 ? 4 用平行于x轴的直线段近似

y y ? x2

地代替小曲边梯形的曲
边?图1.5 ? 4?.这样,在区

o

i?1 i nn

1x

图1.5 ? 3

y

y ? x2



?i ??

? 1, n

i n

???上,用小矩形

的面积 ΔSi' 近似地代替

ΔSi,即在局部小范围内

"以直代曲",则有ΔSi ?

ΔSi'

?

f ?? ?

i

? 1??Δx n?

?

o

i?1 i nn

1x

图1.5 ? 4

??

i

?

1?2 ?

?

1

?i

?

1,2,?

?

?,n?.

?n? n

?3?求和 由?2?,图1.5 ? 4中阴影部分的面积 Sn 为

? ? ? Sn

?

n
ΔSi'
i?1

?

n f?? i ? 1??Δx i?1 ? n ?

?

n ?? i ? 1??2 ? 1 i?1 ? n ? n

?

0

?

1

?

??

1

2
? ?

?

1

?

?

?

?

?

??

n

?

1?2 ?

?

1

n ?n? n

?n? n

? ? ?

1 n3

12

? 22

? ? ? ? ? ?n ? 1?2

可以证明
12 ? 22 ? ? ? ? ? ?n ? 1?2 ?n ?1?n?2n ?1?.
6

?

1 n3

?n

? 1?n?2n
6

? 1?

?

1 ??1? 3?

1 ????1? n ??

1 2n

??. ?

从而可得S的近似值 S

?

Sn

?

1 ??1? 3?

1 ????1? n ??

1 ??. 2n ?

y y ? x2

y y ? x2

y y ? x2

y
???

y ? x2

o

1x o

1x o

1x

o

1x

图1.5 ? 5

图1.5 ? 5的演变过程,也可以用几何画板演示.

?4?取极限 分别将区间?0,1?等分成4,8,,20,? ? ?等份
?图1.5 ? 5?,可以看到,当n趋向于无穷大,即Δx趋向

于0时,Sn

?

1 ??1? 3?

1 ????1? n ??

1 ??趋向于S,从而有S 2n ?

?

? lim Sn
n??

?

lim
n??

n i?1

1 n

f?? i ?

? 1?? n?

?

lim
n??

1 ??1? 3?

1 ????1? n ??

1 2n

?? ?

?

1. 3

我们通过下表还可以从 数值上看出这一变化趋 势.

区间?0,1?的等分数n
2 4 8 16 32 64 128 256 512 ???

S的近似值Sn 0.12500000 0.21875000 0.27343750 0.30273438 0.31787109 0.32556152 0.32943726 0.33138275 0.33235741
???

探究 在 "近似代替" 中,如果认为函数 f?x? ? x2 在

区间???i

? 1, n

i n

????i

?

1,2,?

?

?,n?上的值近似地等于右端



i 处的函数值 f?? i ??,用这种方法能求出S 的值吗?

n

?n?

若能求出,

这个值也是

1 3

吗?

取任意ξ

i

?

? ??

i

? 1, n

i n

???处

的函数值f?ξi ?作为近似值,情况又怎样 ?

可以证明,取f

?x?

?

x

2在区间

? ??

i

? 1, n

i n

? ??

上任意一

点ξi处的值f?ξi ?作近似值,都有

? S

?

lim
n??

n i?1

f?ξi ?Δx

?

lim
n??

1 n

f ?ξ i

?

?

1. 3

一般地,对如图1.5 ? 1 y 所示的曲边梯形,我们 f?b?

y ? f?x?

也可以采用分割、近 f?a?

似代替、求和、取极

oa

bx

值的方法求出其面积.

图1.5 ? 1


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