椭圆常见题型与典型方法归纳

椭圆常见题型与典型方法归纳
考点一 椭圆的定义
椭圆的第一定义:我们把平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的和等于常数 2a(2a ? F 1. F 2 ) 的点的轨迹叫做椭圆.这两 定点 F1 , F2 叫做椭圆的焦点,两定点间的距离叫做椭圆的焦距. 椭圆的第二定义:我们把平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 e=

c (0<e<1)的动点 M 的轨 a

迹叫做椭圆.这个定点是椭圆的焦点,这条定直线叫做椭圆的准线,这个常数 e 是椭圆的离心率. 注意:当平面内与两个定点 F1 , F2 距离的和等于常数 2a(2a ? F 1 F2 ; 1. F 2 ) 的点的轨迹是线段 F 当平面内与两个定点 F1 , F2 距离的和等于常数 2a(2a ? F 1. F 2 ) 的点的轨迹不存在. 例 动点 P 到两个定点 F 、 F2 (4,0)的距离之和为 8,则 P 点的轨迹为 1 (- 4,0) A、椭圆 B、线段 F1 , F2 C、直线 F1 , F2 D、不能确定 ( )

考点二 椭圆的标准方程
一 标准方程 1 焦点在 x 轴上 标准方程是:

x2 y 2 ? ? 1 (其中 b2 ? a2 ? c2 , a ? b ? 0). 焦点的坐标分别为 (?c, 0), (c, 0) a 2 b2

2 焦点在 y 轴上

y 2 x2 标准方程是: 2 ? 2 ? 1 (其中 b2 ? a2 ? c2 , a ? b ? 0). 焦点的坐标分别为 (0, ?c), (0, c) a b
哪项分母大焦点就在相应的轴上 如
2

3 焦点位置判断



x2 y 2 ? ? 1 的焦点坐标 7 9
2

4 椭圆过两定点,焦点位置不确定时可设椭圆方程为 mx ? ny ? 1 (其中 m ? 0, n ? 0 )

例 已知椭圆过两点 A(

15 3 , ?1), B(? , 2) ,求椭圆标准方程 4 2

5 与

y2 x2 x2 y2 ( a > b > 0 )共焦点的椭圆为 ? ? 1 ? ?1 a2 b2 a2 ? k b2 ? k

二 重难点问题探析: 1.要有用定义的意识 例 已知 F1 , F2 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点若 F2 A ? F2 B ? 12 25 9


1 x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 , m ? 则 AB =________。2.标准方程要注意焦点的定位 例椭圆 2 4 m
1

练习.1 如果方程 x2 ? ky 2 ? k 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围为 2 点 P 在椭圆

x2 y2 + =1 上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,求点 P 的横坐标 25 9

考点三 椭圆的简单几何性质
标准方程

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a 2 b2
M

y 2 x2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a 2 b2
M F1 F2

图形
F1

F2

范围 对称性 顶点 离心率 焦点 焦距 长轴长 短轴长 准线方程

?a ? x ? a, ?b ? y ? b
关于原点对称

?a ? y ? a, ?b ? x ? b

x 轴和 y 轴是椭圆的对称轴
(b,0),(?b,0),(0, a),(0, ?a)
e? c ? (0,1) a

(a,0),(?a,0),(0, b),(0, ?b)

(c, 0), (?c, 0)

(0, c), (0, ?c)

F1F2 ? 2c (其中 c2 ? a 2 ? b2 )
2a
2b
x?? a2 c

y??
d? 2b2 a

a2 c

通径 二 典型练习 1.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的长轴位于 4 3
和 ;离心率 e ?

轴,长轴长等于 ;左顶点坐标是

;短轴位于 轴,短轴长等于

;焦点在

轴上 , 焦点坐标

分别是 是

; 下顶点坐标是


;椭圆上点的横坐标的范围

,纵坐标的范围是

; x0 ? y0 的取值范围是

2.(1)若椭圆短轴一端点到椭圆 一 焦点的距离是该点到同侧长轴一端点距离的 3 倍 , 则椭圆的离心率 (2)若椭圆的长轴长不大于短轴长的 2 倍 , 则椭圆的离心率 e ? (3)若椭圆短轴长的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形 , 则椭圆的离心率 e ? 。

考点四 点、线与椭圆的位置关系
2

一 点 p( x0 , y0 ) 和椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的位置关系 a 2 b2 x0 2 y0 2 (2)点 p( x0 , y0 ) 在椭圆上 ? 2 ? 2 ? 1 a b

x0 2 y0 2 (1)点 p( x0 , y0 ) 在椭圆外 ? 2 ? 2 ? 1 a b
(3)点 p( x0 , y0 ) 在椭圆内 ? 二.直线与椭圆的位置关系:

x0 2 y0 2 ? ?1 a 2 b2

1 判断 直线与椭圆相交 ? ? ? 0 ;直线与椭圆相切 ? ? ? 0 ;直线与椭圆相离 ? ? ? 0 2.弦长问题 (1)步骤:由椭圆方程与直线 l 方程联立方程组;消元得一元二次方程;用韦达定理写成两根和积 (2)弦长公式 直线 y=kx+b(k≠0)与椭圆相交于 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 )两点,则

2 2 2 ①当直线的斜率存在时,弦长公式: l ? 1 ? k x1 ? x 2 = (1 ? k ) ? ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2

?

?

②当 k 存在且不为零时 l ? 1 ? 三 常用方法

1 1 y1 ? y 2 ? 1 ? 2 ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 。 2 k k

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点作一条斜率为-1 的直线,与椭圆相交于 A,B; 1 设而不求法 例 经过椭圆 4 3
(I)求线段 AB 的中点的坐标; (II)求线段 AB 的长

2 点差法

例 求椭圆 x ? 2 y ? 1中斜率为 2 的平行弦的中点的轨迹方程.
2 2

【小结】设 A( x1 , y2 ) , B( x2 , y2 ) 是椭圆 点,则两式相减可得 3.中点弦问题:例 若椭圆

x2 y2 ? ? 1 上不同的两点,且 x1 ≠ x2 , x1 + x2 ≠0, M ( x0 , y0 ) 为 AB 的中 a2 b2

y1? y 2 y1? y 2 b2 ? ?? 2 即 x1? x 2 x1? x 2 a



x2 y 2 ? ? 1 的弦被点(4,2)平分,则此弦所在直线的斜率为 36 9

练习:设 F 1 、 F2 分别是椭圆

x2 y2 + = 1 的左、右焦点. 5 4

(1)若 P 是该椭圆上的一个动点,求 PF 1 ? PF 2 的最大值和最小值; (2)是否存在过点 A(5,0)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 C、D,使得| F2C |=| F2 D |?若存在,求直线 l 的方 程;若不存在,请说明理由.
3

考点五 焦点三角形的性质及应用
一 定义:椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形 设 P( x0 , y0 )为椭圆上一点,|PF1|=r1,|PF2|=r2,∠F1PF2= ? ) 1 方法 (1) 定义: r +r2=2a 1 (3) 面积 S?pF1F2 ? 2 性质 已知椭圆方程为 ⑴ S ?F1PF2 ? b tan
2

2 2 (2) 余弦定理: (2c)2 ? r 2r1r2cos? 1 +r 2 -

1 1 r1r2 sin ? ? 2c y0 2 2

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0), 左右两焦点分别为 F1 , F2 , 在焦点△ PF1 F2 中,则 a2 b2
2

?
2

⑵若 ?F1 PF2 最大,则点 P 为椭圆短轴的端点 ⑶ cos? ? 1 ? 2e .

x2 y2 例 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两焦点分别为 F1 , F2 , 若椭圆上存在一点 P, 使得 ?F1 PF2 ? 1200 , 求椭圆 a b
的离心率 e 的取值范围。 练习 已知椭圆的焦点是 F 1 (-1,0)、 F2 (1,0),P 为椭圆上一点,且| F 1 F2 |是| PF 1 |和| PF 2 |的等差中 项 ⑴求椭圆的方程; (2)若点 P 在第三象限,且∠ PF 1F 2 =120°求 tan F 2 PF .

考点六 椭圆标准方程的求法
一 常用方法: 1 定义法, 2 待定系数法 步骤 ①定位:确定椭圆的焦点在哪个坐标轴上;②设方程:根据焦点位置设出相应方程; ③定值:根据题目条件确定相关的系数。 3 当椭圆过两定点时,其标准方程可设为 mx ? ny ? 1 (m>0,n>0),
2 2

二 应用示例 1.定义法 0) (3 0) , AB 边上的中线 CE 与 AC 边上的中线 BF 例 1 已知 △ ABC 的顶点 B, C 的坐标分别为 (?3,,, 交于点 G ,且 GF ? GE ? 5 ,求点 G 的轨迹方程.

10 的点的轨迹方程. 例 2 求到两定点 F 1 (?3,0), F 2 (3,0) 的距离和等于
练习 1 已知 B,C 是两个定点 BC 长等于 8,且△ABC 的周长等于 20,求顶点 A 的轨迹方程

2 已知△ABC 三边 AB,BC,CA 的长成等差数列,且 AB 长大于 CA 长,点 B,C 的坐标为(-2,0) , (2,0) ,求顶 点 A 的轨迹方程,并说明它是什么曲线

4

3 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? 5) 的两个焦点为 F1 , F2 , ︳且 F1F2 ? 8 ,弦 AB 过点 F1 ,则△ ABF2 的周长 a 2 25

4 椭圆的两个焦点是 (? 6 ,0), ( 6 ,0) ,过点 ( 6,1 ) ,求椭圆的方程。

2 待定系数法 例 已知椭圆的焦距离为 2 6 且过点 ( 3 ,2) ,求焦点在 x 轴上时的标准方程.

3.轨迹法 例△ABC 的顶点 A,B 的坐标分别为(-4,0) , (4,0)边 AC,BC 所在直线的斜率之积等于 ? 并说明其轨迹是什么曲线; .

9 ,求顶点 C 的轨迹方程, 16

三 典型练习 练习 1. 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(-4,0) , (4,0) ,椭圆上一点 P 到两焦点距离之和等于 10; (2)两个焦点的坐标分别是(0,-2) 、 (0,2) ,并且椭圆经过点 ( ?

3 5 , ); 2 2

(3)长轴长是短轴长的 3 倍,并且椭圆经过点 A(-3, 3 ) 练习 2.已知点 P(3, 4)是椭圆
x2 a2 ? y2 b2

=1 (a>b>0) 上的一点, F1 , F2 是它的两焦点,若 PF1 ⊥ PF2 ,求

(1) 椭圆的方程(2) △ F2 PF 1 的面积.

3 根据下列条件求椭圆的标准方程 (1) 和椭圆 轴的椭圆上,点 P 到两焦点的距离分别为

1 x2 y 2 ? ? 1 共准线,且离心率为 .(2) 已知 P 点在以坐标轴为对称 2 24 20

4 2 5和 5 ,过 P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点 3 3

考点七 椭圆定义与性质的应用
一 定义的运用 二 椭圆的几何性质应用 1、基础知识 例 对椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ,求(1)画出草图(2)焦点,焦距(3)顶点,长轴的长,短轴的长, (4) 25 9

离心率, (5)左右准线方程, (6)P 是椭圆上动点,则 P 到左焦点的距离最值.

练习 求椭圆的标准方程(1)长轴是短轴的 2 倍,经过点(4,0) (2)一个焦点为(2,0) ,经过点(-3,0) (3) 一个焦点为(2,0),一条准线方程为 x ? ?4 (4)长轴在 x 轴上,一条准线方程是 x ? 3 ,离心率为
5

5 3

2 离心率 方法:求椭圆离心率 e 时,只要求出 a, b, c 的一个齐次方程,再结合 a ? b ? c 就可求得 e(0<e<1).
2 2 2

例 若椭圆

x2 y2 1 + =1 的离心率是 ,则 m 等于___ 2 2 m x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的两个顶点,F 是右焦点,若 AB ? BF ,求椭圆的离心率。 a2 b2

2 若 A、B 是椭圆

练习 1 设已知椭圆

x2 y2 ? =1(a>b>0)的右焦点为 F, 右准线为 l . 若过 F 且垂直于 x 轴的弦长等于点 F 到 l 的距 a2 b2

离, 求此椭圆的离心率. 2 已知长方形 ABCD,AB=4,BC=3,则以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的离心率 3(全国卷Ⅲ)设椭圆的两个焦点分别为 F1 , F2 , 过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P, 若△ F 1PF 2 为等腰直角三角形, 则椭圆的离心率是____4 已知椭圆 x2 ? ? m ? 3? y2 ? m ? m ? 0? 的离心率 e ?

3 ,求 m 的值 2

PF1F2 的面积;若不存在,说明理由.

6


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