高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用课件1新人教A版必修4_图文

1.6 三角函数模型的简单应用 现实生活中有很多现象在进行周而复始地变 化,用数学语言可以说这些现象具有周期性,而 我们所学的三角函数就是刻画周期变化的典型函 数模型,比如下列现象就可以用正弦型函数模型 来研究,这节课我们就来探讨三角函数模型的简 单应用. 正弦型函数 y ? A sin( ? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0 ) 1.物理情景—— ①简谐运动 ②星体的环绕运动 2.地理情景—— ①气温变化规律 ②月圆与月缺 3.心理、生理现象—— ①情绪的波动 ②智力变化状况 ③体力变化状况 4.日常生活现象—— ①涨潮与退潮 ②股票变化 …… 1.通过对三角函数模型的简单应用的学习,初步 学会由图象求解析式的方法. (重点、难点) 2.体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程; 体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模 型.(重点) 探究一: 根据图象建立三角函数关系: 例1.如图,某地一天从6~ 14时的温度变化曲线近似满 足函数 T/℃ y ? A s in ( ? x ? ? ) ? b . (1)求这一天6~14时的最大温 差. (2)写出这段曲线的函数解析式. t/h 解:(1)观察图象可知,这段时间的最大温差是20 ℃. (2)从图中可以看出,从6时到14时的图象是函数 y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象, 1 1 b ? (30 ? 10) ? 20, A ? (30 ? 10) ? 10, 所以 2 2 1 2? ? 因为 ? ? 14 ? 6, 所以? ? . 8 2 ? ? 3? 3? ?6 ? ? ? , 解得? ? . 2 4 8 ? x ? 3? ) ? 20,x ? [6,14]. y ? 10sin( 故所求函数解析式为 8 4 一般地,所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时 段的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围. 因为点(6,10)是五点法作图中的第四点,故 方法小结: 1 1 ? ? ? b ? f x ? f x , A? ? f x ? f x , ? ? ? ? ? ? ? ? max min ? ? max min ? ? 2 2 2? 利用 T ? , 求得 ?, ? 利用图象的最高点或最低点,即点的坐标满足 函数解析式可求得φ,注意通常|φ|≤π. 【变式练习】 已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(其中 0≤t ≤24,单位:小时)的函数,记作y=f(t), 下表是某日各时的浪高数据: t(小时) y(米) 0 3 6 9 12 15 18 21 0.99 24 1.5 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是 函数y=Acosωt+b,根据以上数据,函数的解析 1 π y = cos t +1 式为______ _. 2 6 1 解 : 因为 A+ b = 1.5,- A+ b = 0.5, 所以 A = , b = 1, 2 2? ? 1 ? 又因为 T = 12, 所以 w = = , 从而 y = cos t+1. T 6 2 6 探究二: 根据解析式模型建立图象模型 例2.画出函数y=|sinx|的图象并观察其周期. 解:函数图象如图所示 y=|sinx| -2? y ? 2? -? x 从图中可以看出,函数 y ? sin x 是以π为周期的 波浪形曲线. 我们也可以这样进行验证: 由于 sin( x ? ? ) ? ? sin x ? sin x , 所以,函数 y ? sin x 是以π为周期的函数. 利用函数图象的直观性,通过观察图象而获得对函数 性质的认识,这是研究数学问题的常用方法. 【变式练习】 单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的距离 s(cm)和时间t(s)的函数关系式为:s=6sin(2πt+ ? ), 那么单摆来回摆动一次所需的时间为( A.2π s B.π s C.0.5 s ) 6 D.1 s 探究三: 将实际问题抽象为与三角函数有关的函数模型 例3.如图,设地球表面某地正午太阳高度角为?, ?为此时太阳直射纬度,?为该地的纬度值,那么 这三个量之间的关系是? =90?-|? -? |.当地 夏半年? 取正值,冬半年? 取负值. ? ?? ? ? ? 太阳光 解:如图,A,B,C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回 归线时楼顶在地面上的投影点,要使新楼一层正午的太阳 全年不被前面的楼房遮挡,应取太阳直射南回归线的情况 考虑,此时的太阳直射纬度为-23? 26',依题意两楼的间距 应不小于MC. 根据太阳高度角的定义,有∠C=90? -|40? -(-23? 26‘)|=26? 34′, h0 h0 所以 MC ? ? ? 2.000 h 0 . tan C tan 26 34 ? 前楼高两倍的间距. 即在盖楼时,为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当于 将实际问题抽象为三角函数模型的一般步骤: 理解题意 建立三角 函数模型 求解 还原解答 【变式练习】 以一年为一个周期调查某商品的出厂价格及该商品 在商店的销售价格时发现:该商品的出厂价格是在 6 元 的基础上按月份随正弦曲线波动的,已知 3 月份出厂价 格最高为 8 元, 7 月份出厂价格最低为 4 元; 而该商品在 商店的销售价格是在 8 元基础上按月份也是随正弦曲线 波动的,并已知 5 月份销售价最高为 10 元,9 月份销售 价最低为 6 元.请分别建立出厂价、销售价随时间变化 的函数关系式. 解析: 设出厂价波动函数为 y1=6+Asin(ω1x+φ1). 由 π 3π π 题意,知 A=2,T1=8,ω1= .当 x=3 时, +φ1= , 4 4 2 π π ∴ φ1 =- ,∴出厂价的函数关系为 y1 = 6 + 2sin( x

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