第二章 2.3 2.3.1 平面向量基本定理_图文

读教材·填要点

第 二 章
平 面 向 量

2.3 平面 向量 的基 本定 理及 坐标 表示

2.3.1 平 面 向 量 基 本 定 理

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[读教材·填要点]
1.平面向量基本定理

(1)定理:如果e1、e2是同一平面内的两个 不共线 向
量,那么对于这一平面内的任意向量a, 有且只有 一对实

数λ1、λ2,使a=

λ1e1+λ2e2

.

(2)基底:不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内 所有向量 的一组基底.

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2.两向量的夹角 (1)定义:已知两个 非零 向量 a 和 b, ??? ? ??? 作 OA =a, OB =b,则∠AOB=θ 叫做向量 a 与 b 的 夹角 . (2)范围:向量夹角 θ 的范围是0°≤θ≤180° ,a 与 b 同向 时,夹角 θ= 0° 与 b 反向时,夹角 θ= 180° ;a . (3)垂直:如果向量 a 与 b 的夹角是 90° ,则称 a 与 b 垂 直,记作 a⊥b .

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[小问题·大思维] 1.关于平面向量的基底,下面三种说法正确吗?

①一个平面内有且只有一对不共线的向量可以作为表示该
平面所有向量的基底; ②一个平面内有无数多对不共线向量可以作为表示该平面 所有向量的基底; ③基底中的向量一定不是零向量. 提示:平面内任何不共线的两个向量都可以作为一组基底, 故①不正确,②③正确. 提示:不对,是π-B.
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2. 在△ABC 中,向量 AB 与 BC 的夹角是∠B 对吗?

??? ?

??? ?

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[研一题] [例1] 如果e1、e2是平面α内两个不共线的向量,判断下

列说法是否正确.
①λe1+μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量; ②对于平面α内任一向量a,使a=λe1+μe2的实数对(λ,μ) 有无穷多个; ③若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实

数λ,使得λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2);
④若实数λ,μ使得λe1+μe2=0,则λ=μ=0.
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[自主解答]

由平面向量基本定理可知,①④是正确的;

②不正确,由平面向量基本定理可知,一旦一个平面的基 底确定,那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的; ③不正确,当两向量的系数均为零,即λ1=λ2=μ1=μ2=0 时,这样的λ有无数个.

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[悟一法]

1.两个向量能否作为一组基底,关键是看这两个向量
是否共线.若共线,则不能作基底,反之,则可作基底.

2.一个平面的基底一旦确定,那么平面上任意一个向
量都可以由这组基底唯一线性表示出来.

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[通一类]

1.设e1,e2是平面内所有向量的一组基底,则下列四组向
量中,不能作为基底的是 A.e1+e2和e1-e2 C.e1+2e2和2e1+e2 ( B.3e1-4e2和6e1-8e2 D.e1和e1+e2 )

解析:∵6e1-8e2=2(3e1-4e2),

∴(6e1-8e2)∥(3e1-4e2),∴3e1-4e2和6e1-8e2不能作
为平面的基底. 答案:B

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[研一题]
[例 2] 如图,?ABCD 的对角线 AC 和

BD 交于点 M, AB =a, AD =b,试用 基底 a、b 表示 MC 、 MA、 MB .

??? ?

??? ?

????

????

????

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[自主解答]

??? ?

AC = AB + AD =a+b,

??? ?

??? ?

??? ?

BD = AD - AB =b-a.

??? ?

??? ?

∵平行四边形的对角线互相平分,

? 1 ??? 1 1 ∴ MC = AC = a+ b. 2 2 2
????
1 1 ∴ MA=- MC =- a- b. 2 2

????

????

????

? 1 ??? 1 1 MD=2 BD =2b-2a.
????
????

1 1 ∴ MB =- MD= a- b. 2 2
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? ???? 1 ??? 本例条件若变为“ AF = AB ”,试表示 MF . 3 ??? 1 ??? ? ? ??? 1 ? 解:∵ AF = AB ,∴ AF = a, 3 3
??? ?
? 1 ??? ??? ∴ MF = MA+ AF = CA + AF 2
????

????

??? ?

1 1 1 1 =- (a+b)+ a=- a- b. 2 3 6 2

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[悟一法]

1.用基底表示平面向量,要充分利用向量加、减法
的三角形法则或平行四边形法则,同时结合共线向量基本

定理,解题时要注意解题途径的优化与组合.
2.当直接用基底表示向量有困难时,可以先建立向量 与基底中向量的等式,通过解方程获得答案.

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[通一类]
2.如图所示,在△ABC 中,点 M 是 AB

? 1 ??? 的中点,且 AN = NC ,BN 与 CM 相交 2 ??? ? ??? ? 于 E,设 AB =a, AC =b,试用基底 a,b
表示向量 AE .

????

??? ?

1 解:设 ME =λ MC =λ(b- a) 2 1 1 则 BE = ME - MB =λb- λa- a. 2 2

????

????

??? ?

????

????
??? ?

??? ??? ? ? 1 又 BN = AN - AB = b-a,且 BN 与 BE 共线. 3 ??? ?

????

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∴存在 μ 使 BE =μ BN . 1 1 1 即 λb- λa- a= μb-μa. 2 2 3 1 1 1 ∴(μ- λ- )a+(λ- μ)b=0. 2 2 3 ∵在△ABC 中,a 与 b 不共线, 1 1 ? ?μ-2λ-2=0, ∴? ?λ-1μ=0, ? 3 1 1 ∴ ME = b- a, 5 10 ? 1 ?λ=5, 解得? ?μ=3. 5 ?

??? ?

??? ?

????

??? ?

1 1 1 2 1 AE = AM + ME =5b-10a+2a=5a+5b.
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????

????

[研一题]
[例 3]

在等边三角形 ABC 中,向量 AB 与向量 BC 的夹角为 ??? ??? ? ? ________,E 为 BC 中点,则向量 AE 与 EC 的夹角为________.

??? ?

??? ?

[解析]: ∵△ABC 为等边三角形, ∴∠ABC=60° . 如图,延长边 AB 至点 D,使 AB=BD, ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ∴ AB = BD .∴∠DBC 为向量 AB 与 BC 的 夹角,且∠DBC=120° . 又∵E 为 BC 中点,∴AE⊥BC. ??? ??? ? ? ∴ AE 与 EC 的夹角为 90° .

[答案] 120°

90°

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[悟一法] 求两向量的夹角时,两向量必须共起点,否则平移 后再确定.

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[通一类] 3.若a≠0,b≠0,且|a|=|b|=|a-b|,求a与a+b的夹角. ??? ??? ? ??? 解:作 OA =a, OB =b,则 BA =a-b. ??? ? 作以 a、b 为邻边的平行四边形 OACB,则 OC =a+b.
如图,∵|a|=|b|=|a-b|, ∴在菱形 OACB 中, ∠BOA=60° . 对角线 OC 平分∠BOA, ∴a 与 a+b 的夹角为 30° .

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用向量法证明三角形三条边上的中线交于一点.

[巧思]

设两条中线交于一点G,利用向量关系确定

该点的位置,再证G在第三条中线上.
[妙解] 如图,CF,BE,AD 分别是△ABC 的边 AB, AC,BC 的中线, ??? ? ??? ? ??? ? 设 AC =a, BC =b,则 AB =a-b,

??? ?

1 AD =a-2b,

??? ?

1 BE =-2a+b.
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设 AD 与 BE 交于点 G,且设 AG =λ AD , BG =μ BE ,

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? λ μ 则 AG =λa- b, BG =- a+μb. 2 2
??? ?
? μ? 又因为 AG = AB + BG =?1-2 ?a+(μ-1)b, ? ?

??? ?

??? ?

??? ?

μ ? λ=1- , ? 2 所以? ?- λ=μ-1, ? 2

? ??? 2 ??? ? 2 解得 λ=μ= ,即 AG = AD . 3 3

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? ? ? ??? ??? 2 ??? 1 ??? 则GF = GA + AF =- AD + AB 3 2
??? ?
2 1 1 1 =- a+ b+ a- b 3 3 2 2 1 1 =- a- b. 6 6

? ? ??? ??? ??? ? 1 ??? 1 1 CF = CA + AF =-a+ AB =-a+ a- b 2 2 2
1 1 =- a- b, 2 2 ??? ? ??? ? ∴ CF =3GF ,即 G 在 CF 上, 即 AD,BE,CF 交于一点.
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