高中数学人教A版选修2-2同步辅导与检测1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则_图文

导数及其应用 §1.2 导数的计算 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则 求简单函数的导数. 基础梳理 1.若c为常数,则(cu) ′=cu′. (3x2)′=________. 6x 2.法则1:[u(x)±v(x)]′=u′(x)±v′(x). (x3+x2)′=________. 3x2+2x 3.法则2:[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x). (xex)′=________. ex+xex u?x?? u′?x?v?x?-u?x?v′?x? ? 4.法则3:?v?x??′= v2?x? ? ? (v(x)≠0). x x x e - e x e 2 ? ?′=________. x ?x? 自测自评 1.函数y=exln x的导数是( C ) ex A. x x e C.exln x+ x B.exln x x e D. ln x x 2.曲线y=x3-x+3在点(1,3)处的切线方程为________. 解析:利用导数的几何意义求切线方程.∵y′=3x2-1, ∴y′|x=1=3×12-1=2,∴该切线方程为y-3=2(x-1), 即 2x-y+1=0. 答案:2x-y+1=0 3.求下列函数的导数: 1+2x (x+x2)′=__________ ;(x· sin x)′=____________ sin x+xcos x ; 5 4 x +xcos x-sin x x + sin x ? ? 2 ′= ______________________. x ? x ? 5 利用导数公式及运算法则求函数的导数 求下列函数的导数. (1)y=(2x-3)2 =________; (2)cos x-x2+2=________. 答案:(1)8x-12 (2)-sin x-2x 跟踪训练 1.求下列函数的导数: (1)y=x4-3x2-4x+5; (2)y=x2tan x; (3)y=(x+1)(x+2)(x+3); (4)y= x-1 . x+1 分析:通过分析各函数解析式的结构特征,联系基本初等 函数求导公式求解. 解析:(1)y′=(x4-3x2-4x+5)′=(x4)′-(3x2)′- (4x)′+5′=4x3-6x-4. 2 x sin x? 2 ? (2)y′=(x tan x)′= cos x ′ ? ? ?x2sin x?′cos x-x2sin x?cos x?′ = cos2x ?2xsin x+x2cos x?cos x+x2sin2x = cos2x xsin 2x+x2 = . cos2x (3)解法一 y′=[(x+1)(x+2)(x+3)]′ =[(x+1)(x+2)]′(x+3)+[(x+1)(x+2)](x+3)′ =[(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′](x+3)+(x+1)(x+2) =(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2) =(2x+3)(x+3)+x2+3x+2=3x2+12x+11; 解法二 ∵(x+1)(x+2)(x+3) =(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6, ∴y′=[(x+1)(x+2)(x+3)]′ =(x3+6x2+11x+6)′=3x2+12x+11. (4)解法一 ?x-1?′?x+1?-?x-1??x+1?′ ?x-1? y′=? ?′= x + 1 ?x+1?2 ? ? ?x+1?-?x-1? 2 = = ; ?x+1?2 ?x+1?2 x-1 x+1-2 2 解法二 ∵y= = =1- , x +1 x+1 x+1 2 ? 2 ? ? ? 1 - - ∴y′= ′= ′ ? x+1? ? x+1? 2′?x+1?-2?x+1?′ 2 =- = . ?x+1?2 ?x+1?2 求曲线的切线方程 已知直线l1为曲线y=x2+x-2在点(1,0)处的切线, l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2. (1)求直线l2的方程; (2)求由直线l1,l2和x轴所围成的三角形的面积. 解析:(1)∵y′=2x+1,∴y′|x=1=3. ∴直线l1的方程为y=3(x-1)=3x-3. 设直线l2过曲线y=x2+x-2上的点P(x0, +x0-2), x02 则直线l2的方程为 y -( x 0 2 +x0-2)=(2x0+1)(x-x0), ∵l1⊥l2,∴3(2x0+1)=-1,x0=- 3 . ∴直线l2的方程为y=-3x- 9 . 1 22 2 y=3x-3, ? ? (2)解方程组? 1 22 y =- x - , ? 3 9 ? ? 得? 5 y =- . ? 2 1 x= , 6 22 又直线 l1,l2 与 x 轴的交点分别为(1,0),?- 3 ,0?. ? ? 22? 125 1 ? 5? ? - 1 + ∴所求三角形面积为 S= × × 3 ?= 12 . 2 ? 2? ? 跟踪训练 2.已知抛物线y=ax2+bx+c通过点(1,1),且在点(2,-1) 处的切线方程为y=x-3,求a,b,c的值. 解析:∵抛物线过点(1,1),∴1=a+b+c.① ∵y′=2ax+b,∴y′|x=2=4a+b. ∴切线的斜率为4a+b=1.② 又曲线过点(2,-1),∴4a+2b+c=-1.③ 联立①②③,解得a=3,b=-11,c=9. 求过曲线上一点的切线 求曲线y=xcos x在x= 2 处的切线方程. 分析:根据导数的几何意义可知,函数y=f(x)在x0处的导 数就是曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线的斜率. 解析:y′=x′cos x+x· (cos x)′=cos x-xsin x, π π y′|x=π =- π ,切点为 ? ,0? , 2 2 ?2 ? π ∴切线方程为y-0=-π?x- ? , 2?

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