巧用椭圆的对称性解题

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 巧用椭圆的对称性解题 作者:卜以军 来源:《高中生· 高考指导》2015 年第 12 期 一、求弦长 例 1 已知直线 y =3x+2 被椭圆+=1(a>b>0)截得的弦长为 8,则下列直线中被椭圆截得的 弦长也为 8 的有______( 填上直线的序号). ①y =3x-2;②y =3x+1;③y =-3x-2;④y =-3x+2; ⑤y =-3x. 分析 若用弦长公式解决这个问题,则没有认清问题的本质,费时费力.利用椭圆的对称性 就可以轻松求解. 解 作出椭圆和有关直线(图略).由于椭圆既关于坐标轴对称,又关于原点对称,直线 ①③④与直线 y =3x+2 是关于坐标轴或原点对称,所以直线①③④与直线 y =3x+2 被椭圆截得 的弦长相等.又由图知,直线②⑤被椭圆截得的弦长都大于 8.故应选①③④. 二、求最值 例 2 过原点的直线与椭圆+ y2=1 交于 A,B 两点,F 是椭圆的右焦点,求△ ABF 面积的最 大值. 分析 由椭圆的对称性,可知 A,B 两点关于原点对称. 解 如图 1,由椭圆的对称性知,A,B 两点关于原点对称,所以|OA|= |OB|,S△ AOF =S△ BOF .由于焦点 F 的坐标为(,0),点 A 到 x 轴距离的最大值为 1,所以 S△ ABF =2S△ AOF =2××|yA|≤.所以,△ ABF 面积的最大值为. 三、解答直线过定点问题 例 3 M,N 是椭圆+ y2=1 上不同的两个动点,P 是椭圆上不同于 M,N 的一个动点,且直 线 PM 与直线 PN 的斜率之积为-,求证: 直线 MN 必过定点. 分析 可以在椭圆上先取一些关于坐标轴对称的特殊点进行观察、分析,初步确定定点的 位置后,再进行一般性论证. 取 M 为椭圆的上顶点(0,1),P 为左顶点(-2,0),则直线 PM 的斜率为.由椭圆的对 称性知,若取 N 为椭圆的下顶点(0,-1),则此时直线 PN 的斜率为 -.直线 PM 与直线 PN 的 斜率之积为-,从而所求的定点应该在 y 轴上.再取 M 为椭圆的左顶点(-2,0),N 为右顶点 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn (2,0),P 为上顶点(0,1),也满足条件,则所求的定点应该在 x 轴上.综上可知,所求定 点必为原点. 证明 设点 M,N,P 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x0,y0),可得+ y21=1,+ y22=1,+ y20=1,且 kPM· kPN =· =-. 又· === -,所以=对椭圆上任意满足条件的点 P( x0,y0)都成立,可得 x2=-x1,y2=-y1. 所以,点 M 与点 N 关于原点对称,即直线 MN 必过原点. 例 4 如图 2,已知椭圆的焦点是 F1(-4,0),F2(4,0),过点 F2 并垂直于 x 轴的直线 与椭圆的一个交点为 B,且 F1B +F2B=10,椭圆上不同的两点 A(x1,y1),C(x2,y2)满 足条件:|F2A|,|F2B|,|F2C|成等差数列. (1)求该椭圆的方程. (2)求证:线段 AC 的垂直平分线过定点. 分析 对于本题的第(2)问,不难求得 x1+x2=8,在 x 轴上方取满足条件的两点 A 和 C, 再在 x 轴下方取 A′和 C′,使 A′和 C′分别与 A 和 C 关于 x 轴对称,则 A′点与 C′点的横坐标之 和也为 8.由于椭圆关于 x 轴对称,线段 AC 的垂直平分线与线段 A′C′的垂直平分线也关于 x 轴 对称,所以线段 AC 的垂直平分线必过 x 轴上的一个定点. (1)解:椭圆的方程为+ =1.(解答过程省略) (2)证明:由(1)可知 e=,右准线为 l:x=,点 B 的横坐标为 4.设点 A,C 在 l 上的射 影分别为 M,N,则=,所以|AF2|=|AM|=(-x1)=5- x1.同理,|BF2|= 5-× 4,|CF2|=5-x2. 由|F2A|,|F2B|,|F2C|成等差数列,可知 2|F2B|= |F2A|+|F2C|,即 2( 5-× 4)=(5- x1)+ (5-x2),解得 x1 + x2 =8. 所以,线段 AC 的垂直平分线的方程为 y -=-(x-4). 令 y =0 ,得 x= 4+= 4-(x1+x2)= 4-× 8=. 所以,线段 AC 的垂直平分线过定点(,0). 四、解决与焦半径有关的问题 例 5 如图 3,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(c,0)、F2(c,0).已知(1,e)和(e,)都在椭圆上,其中 e 为椭圆的离心率. 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn (1)求椭圆的方程. (2)设 A,B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与直线 BF2 平行,若|AF1||BF2|=,求直线 AF1 的斜率. 分析 对于本题的第(2)问,可以先求出 A,B 两点的坐标,再求出 AF1 和 BF2 的长度, 然后由已知条件求出直线 AF1 的斜率,但是这种方法非常繁琐.若延长 AF1 交椭圆于点 C,则 由椭圆的对称性可知,线段 CF1 和线段 BF2 的长度相等,从而可将线段 BF2 对称地转移到线 段 CF1,使原本陌生的问题转化为熟悉的椭圆焦点弦问题.这是运用转化与化归的数学思想解 决问题的一个典型案例. 解 (1)椭圆的方程为+ y2=1.(解答过程省略) (2)由(1)可知,F1,F2 的坐标分别为(-1,0),(1,0),e=.延长 AF1 交椭圆于点 C,由 AF1∥BF2 及椭圆的对称性,可知 B,C 关于原点对称,可得|BF2|= |CF1|. 设点 A 的坐标为(x1,y1),点 C 的坐标为(x2,y2),其中 y1>0,y2 由已知条件,可知 AF1>BF2,从而 AF1 不垂直于 x

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