重庆市第十一中学学高一数学下学期期中试题(特优班)-精


重庆十一中高 2018 级 8、9 班月考 数学试题
考试时间:120 分钟 满分 150 分 一、选择题:(本题共 12 个小题,满分 60 分) 1.已知 ?ABC 中, a ? A. 135
?

2 ,b ? 3 , ? B. 90

B ? 60? ,那么角 A 等于( ) ? ? C. 45 D. 30

2.复数 z ? 1 ? 2i ( i 为虚数单位), z 为 z 的共轭复数,则下列结论正确的是( )

A. z 的实部为 ?1

B. z 的虚部为 ? 2i

C.

z?z ?5

z ?i D. z

3.已知向量 a ? ? 3,1? , b ? ?1,3? , c ? ? k , ?2 ? ,若 a ? c // b ,则向量 a 与向量 c 的夹角的 余弦值是( A . ) B.

?

?

?

?

? ?

?

?

?

?

5 5

1 5

C. ?
2

5 5
2 2

D. ?

1 5

4.已知正项数列{an}中,a1=l,a2=2, 2an ? an?1 ? an?1 (n≥2)则 a6=( ) A.16 B.4 C. 2 2 D.45 ).

→ → → → → → → 5. △ABC 外接圆圆心为 O, 半径为 1, 且 2 OA+AB+AC=0, |OA|=|AB|, 则CA·CB=( 3 A. 2 B. 3 C.3 D.2 3

6. 数列{错误! 未找到引用源。 }满足错误! 未找到引用源。 ,则数列{错误! 未找到引用源。 } 前 10 项和错误!未找到引用源。( ) A.55 B.50 C.45 D.40 7.在△ABC 中,若 sin C(cosA+cosB) =sinA+sinB,则△ABC 的形状是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形
2 8.函数 f ( x) ? x( x ? c) 在 x ? 2 处有极大值,则 c ? (



A. 2

B. 4

C. 6

D.2 或 6 ).

9.如果△A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2 的三个内角的正弦值,则( A.△A1B1C1 和△A2B2 C2 都是锐角三角形 B.△A1B1C1 和△A2B2C2 都是钝角三角形 C.△A1B1C1 是钝角三角形,△A2B2C2 是锐角三角形 D.△A1B1C1 是锐角三角形,△A2B2C2 是钝角三角形

1

10.等差数列 ?an ? 前 n 项和为 S n ,且 A. 1 B. 2

S2016 S2015 ? ? 1 ,则数列 ?an ? 的公差为( 2016 2015
C. 2015 D. 2016

).

11.根据下列条件解三角形:①∠B=30°,a=14,b=7;②∠B=60°,a=10,b=9.那 么,下面判断正确的是( ). B.①有两解,②也有两解. D.①只有一解,②有两解.

A.①只有一 解,②也只有一解. C.①有两解,②只有一解.

12.定义在区间(0,+∞)上的函数 f(x)使不等式 2f(x)<x f '( x) <3f(x)恒成立,其中 f '( x) 为 f(x)的导数,则( A.8< ) C.3<

f (2) f (2) <16 B.4< <8 f (1) f (1)

f (2) f (2) <4 D.2< <3 f (1) f (1)

二、填空题(共 20 分) 13.若复数 z 满足

z ? i 2015 ? i2016 (i 为虚数单位),则复数 z= 1? i
?

14.在 ?ABC 中,已知 b ? 50 3,c ? 150 ,B ? 30 ,则边长 a ? 15. 已 知 函 数 g ( x) 满 足 g ( x) ? g ?(1)e
x ?1



? g (0) x ?

1 2 x , 若 存 在 实 数 x0 使 得 不 等 式 2

2m ? 1 ? g ( x0 ) 成立,则 m 的取值范围为
16.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边为 a, b, c , a ? 5 , b ? 4 ,且 cos( A ? B) ? 则 ?ABC 的面积为 三、解答题 (共 70 分) .

31 , 32

17.已知 a,b 是实数,1 和 ?1是函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx 的两个极值点. (1)求函数在( 2, f ( 2) )处的切线方程。 (2)设函数 g ( x) 的导函数 g ?( x) ? f ( x) ? 2 ,求 g ( x) 的极值;

2

18.设 ?ABC 中的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 a ? 2 ,

(a ? b)(sin A ? sin B) ? (c ? b)sin C.
(Ⅰ)若 b=2,求 c 边的长; (Ⅱ)求 ?ABC 面积的最大值,并指明此时三角形的形状。

19.已知数列{错误!未找到引用源。}各项均为正数,其前 n 项和为错误!未找到引用源。, 且错误!未找到引用源。.(n 错误!未找到引用源。 (1)求数列{错误!未找到引用源。}的通项公式; (2)求数列{错误!未找到引用源。}的前 n 项和 Tn.

20.已知在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,且 b 、c 是关于 x 的一元二次方程
x2 ? (a2 ? bc) x ? m ? 0 的两根.

2

2

(1)求角 A 的值; (2)若 a ? 3 ,设角 B ? ? ,△ABC 周长为 y,求 y ? f (? ) 的最大值.

21.已知函数 f ? x ? ? ln x ?

1 2 ax ? ? a ? 1? x ? a ? R ? . 2

(I) a ? 1 时,求函数 y ? f ? x ? 的零点个数;
3

(II)当 a ? 0 时,若函数 y ? f ? x ? 在区间 ?1, e? 上的最小值为 ?2 ,求 a 的值;

22.已知 f ( x) ? x 2 ? ax ? sin

?x
2

,x∈(0,1).

(1)若 f (x)在定义域内单调递增,求 a 的取值范围; (2)当 a ? ?2 时,记 f (x)的极小值为 f (x0),若 f (x1) = f (x2),求证:x1 + x2 > 2x0.

4

重庆十一中高 2018 级 8、9 班月考数学试题 考试时间:120 分钟 满分 150 分 一、选择题:(本题共 12 个小题,满分 60 分) 1.已知 ?ABC 中, a ? A. 135
?

2 ,b ? 3 , ? B. 90

B ? 60? ,那么角 A 等于( C ) ? ? C. 45 D. 30

2.复数 z ? 1 ? 2i ( i 为虚数单位), z 为 z 的共轭复数,则下列结论正确的是( C )

A. z 的实部为 ?1

B. z 的虚部为 ? 2i

C.

z?z ?5

z ?i D. z

3.已知向量 a ? ? 3,1? , b ? ?1,3? , c ? ? k , ?2 ? ,若 a ? c // b ,则向量 a 与向量 c 的夹角的 余弦值是( A A . ) B.

?

?

?

?

? ?

?

?

?

?

5 5

1 5

C. ?
2

5 5
2 2

D. ?

1 5

4.已知正项数列{an}中,a1=l,a2=2, 2an ? an?1 ? an?1 (n≥2)则 a6=( B ) A.16 B.4 C. 2 2 D.45

→ → → → → → → 5.△ABC 外接圆的半径为 1,圆心为 O,且 2 OA+AB+AC=0,|OA|=|AB|,则CA·CB= 3 ( C ). A. 2 B. 3 C.3 D.2 3

6. 数列{错误! 未找到引用源。 }满足错误! 未找到引用源。 ,则数列{错误! 未找到引用源。 } 的前 10 项和错误!未找到引用源。(A ) A.55 B.50 C.45 D.40 7.在△ABC 中,若 sin C(cosA+cosB) =sinA+sinB,则△ABC 的形状是 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形
2 8.函数 f ( x) ? x( x ? c) 在 x ? 2 处有极大值,则 c ? (

) D.2 或 6 ).

A. 2

B. 4

C. 6

9.如果△A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2 的三个内角的正弦值,则( D A.△A1B1C1 和△A2B2 C2 都是锐角三角形 B.△A1B1C1 和△A2B2C2 都是钝角三角形 C.△A1B1C1 是钝角三角形,△A2B2C2 是锐角三角形 D.△A1B1C1 是锐角三角形,△A2B2C2 是钝角三角形 10.等差数列 ?an ? 前 n 项和为 S n ,且 A. 1 B. 2

S2016 S2015 ? ? 1 ,则数列 ?an ? 的公差为(B. 2016 2015
C. 2015 D. 2016

).

5

11.根据下列条件解三角形:①∠B=30°,a=14,b=7;②∠B=60°,a=10,b=9.那 么,下面判断正确的是( ). B.①有两解,②也有两解. D.①只有一解,②有两解.

A.①只有一 解,②也只有一解. C.①有两解,②只有一解.

12.定义在区间(0,+∞)上的函数 f(x)使不等式 2f(x)<x f '( x) <3f(x)恒成立,其中 f '( x) 为 f(x)的导数,则(B A.8< ) C.3<

f (2) f (2) <16 B.4< <8 f (1) f (1)

f (2) f (2) <4 D.2< <3 f (1) f (1)

二、填空题(共 20 分) 13.若复数 z 满足

z ? i 2015 ? i2016 (i 为虚数单位),则复数 z= 1? i
?

14.在 ?ABC 中,已知 b ? 50 3,c ? 150 ,B ? 30 ,则边长 a ? 15. 已 知 函 数 g ( x) 满 足 g ( x) ? g ?(1)e
x ?1



? g (0) x ?

1 2 x , 若 存 在 实 数 x0 使 得 不 等 式 2

2m ? 1 ? g ( x0 ) 成立,则 m 的取值范围为
16.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边为 a, b, c , a ? 5 , b ? 4 ,又知 cos( A ? B) ? 则 ?ABC 的面积为 解 法 1 : 由 等 比 定 . 理

31 , 32


9 ? (sin A ? sin B) ? 1? (sin A ? sin B) ,
故 18sin

a b a ?b a ?b ? ? ? sin A sin B sin A ? sin B sin A ? sin B

A? B A? B A? B A? B A? B A? B ,即 tan . cos ? 2sin cos ? 9tan 2 2 2 2 2 2 A? B 1 ? tan 2 2 ,又根据 a ? b 知 A ? B ,所以 tan A ? B ? 7 ,从而 因为 cos( A ? B) ? A ? B 2 21 1 ? tan 2 2 A? B 3 7 C A?B 7 3 7 1 15 7 tan ? ? ,于是 tan ? cot ,sin C ? , S ? ab sin C ? . 2 7 2 2 3 8 2 4 ? ?CA1 A ? ?ABC ? A ? B .由条件 解法 2:在边 AB 内取点 A1 ,使 CA1 ?CA ? 4 ,则 ?ACB 1
及 余 弦 定 理 得 ,

A1B ? 42 ? 52 ? 2 ? 4 ? 5 ?

31 3 ? 32 2











cos A ? ? cos ?CA1B ? ?

CA12 ? A1B 2 ? BC 2 9 ? , 2CA1 ? A1B 16
2

1 15 7 9 3 ?9? 5 7 因此 c ? AA1 ? A1B ? 2 ? ? 4 ? ? 6 , hc ? 4 1 ? ? ? ? ,所以 S ? chc ? 2 4 4 16 2 ? 16 ?
三、解答题 (共 70 分)

6

17、已知 a,b 是实数,1 和 ?1是函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx 的两个极值点. (1)求求函数在( 2, f ( 2) )处的切线方程。

a 和 b 的值;
(2)设函数 g ( x) 的导函数 g ?( x) ? f ( x) ? 2 ,求 g ( x) 的极值;

18、设 ?ABC 中的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 a ? 2 ,

(a ? b)(sin A ? sin B) ? (c ? b)sin C.
(Ⅰ)若 b=2,求 c 边的长; (Ⅱ)求 ?ABC 面积的最大值,并指明此时三角形的形状。

18、(I) 由正弦定理得: (a ? b)(a ? b) ? (c ? b)c ,即 a ? b ? c ? bc --------3 分
2 2 2

因为 a ? 2 且 b ? 2 所以 c =2 (II) 由(I)知 cos A ?

---------------------5 分 ------------------7 分

b2 ? c2 ? a 2 1 ? ,则 A ? 60? 2bc 2

2 2 因为 a ? 2 ,?b ? c ? bc ? 4 ? 2bc ? bc ? bc ,

------------------10 分

1 1 ? S ?ABC ? bc sin A ? ? 4 ? sin 60 ? ? 3 ,此时三角形是正三角形 ---12 分 2 2
19 已知数列{错误!未找到引用源。}各项均为正数,其前 n 项和为错误!未找到引用源。, 且错误!未找到引用源。.(n 错误!未找到引用源。 (1)求数列{错误!未找到引用源。}的通项公式; (2)求数列{错误!未找到引用源。}的前 n 项和 Tn.

7

19、已知在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,且 b 、c 是关于 x 的一元二次方 程 x2 ? (a2 ? bc) x ? m ? 0 的两根. (1)求角 A 的值; (2)若 a ? 3 ,设角 B ? ? ,△ABC 周长为 y,求 y ? f (? ) 的最大值.

2

2

19、(1)解:在△ABC 中,依题意有: b2 ? c 2 ? a 2 ? bc b2 ? c 2 ? a 2 1 ∴ cos A ? ? 2bc 2

2分 4分 6分

? ) ,∴ A ? 又 A ? (0 ,

?

3

b c a ? ? ?2 3 sin B sin C sin A 2? 2? ∴ b ? 2sin B ? 2sin ? , c ? 2sin C ? 2sin( ? B) ? 2sin( ?? ) 3 3 2? 故 y ? a ? b ? c ? 3 ? 2sin ? ? 2sin( ?? ) 3
(2)解:由 a ? 3 , A? 及正弦定理得: 即 y ? 2 3 sin(? ? 分 由 0 ?? ? ∴当 ? ? 分 21 已知函数 f ? x ? ? ln x ?

?

8分

?

6

)? 3

10

?

2? ? ? 5? 得: ? ? ? ? 3 6 6 6 ?

?

6

2

,即 ? ?

?

3

时, ymax ? 3 3 .

12

1 2 ax ? ? a ? 1? x ? a ? R ? . 2

(I) a ? 1 时,求函数 y ? f ? x ? 的零点个数; (II)当 a ? 0 时,若函数 y ? f ? x ? 在区间 ?1, e? 上的最小值为 ?2 ,求 a 的值; (III)若关于 x 的方程 f ? x ? ?

1 2 ax 有两个不同实根 x1 , x2 ,求实数 a 的取值范围并证明: 2

x1 ? x2 ? e2 .

? x ?1? ? 0 . 1 1 21、解:(I)当 a ? 1 时 f ( x) ? ln x ? x 2 ? 2 x, f '( x) ? ? x ? 2 ? 2 x x
2

所以函数 y ? f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增;………………2 分 又因为

f (1) ? ?

3 ? 0, f ? 4 ? ? ln 4 ? 0 .所以函数 y ? f ( x) 有且只有一个零点………3 分 2

8

(II)函数 f ( x ) ? ln x ? 当 a ? 0 时, f '( x) ?

1 2 (0, ? ?) ax ? (a ? 1) x 的定义域是 . 2

1 ax 2 ? (a ? 1) x ? 1 ? ax ? (a ? 1) ? ( x ? 0) x x ax 2 ? (a ? 1) x ? 1 ( x ? 1)(ax ? 1) ? ? 0, x x

令 f ' ( x) ? 0 ,即 f '( x) ? 所以 x ? 1 或 x ? 当0 ?

1 .……………………4 分 a

1 ? 1 ,即 a ? 1 时, f ( x) 在[1,e]上单调递增, a 1 所以 f ( x) 在[1,e]上的最小值是 f (1) ? ? a ? 1 ? ?2 ,解得 a ? 2 ;…………5 分 2 1 1 1 1 ? 1 ? ?2 ,即 当 1 ? ? e ,即 ? a ? 1 时, f ( x) 在 ?1, e? 上的最小值是 f ( ) ? ? ln a ? e a 2a a 1 1 1 1 2a ? 1 1 ' ln a ? ?1 令 h(a ) ? ln a ? ? ? 0, 可得 , a ? , h (a) ? ? 2 2 2a 2a a 2a 2a 2
?1 1? ?1 ? ? h ? a ? 在 ? , ? 单调递减,在 ? ,1? 单调递增; ?e 2? ?2 ?
e 1 ? 1 , h(1) ? ? 1 ,不合题意; …………7 分 2 2 1 1 当 ? e 即 0 ? a ? 时, f ( x) 在 ?1, e? 上单调递减, e a 6 ? 2e 1 2 ? 0, 所以 f ( x) 在 ?1, e? 上的最小值是 f (e) ? 1 ? ae ? ( a ? 1)e ? ?2 ,解得 a ? 2e ? e 2 2 不合题意 综上可得 a ? 2 . …………8 分 1 2 (III) 因为方程 f ? x ? ? ax 有两个不同实根 x1 , x2 ,即 ln x ? ?a ?1 ?x ? 0 有两个不同实 2 ln x ' 1 ? ln x ln x ,? ? x ? ? 根 x1 , x2 ,得 a ? 1 ? ,令 ? ? x ? ? x x2 x ln x ?? ? x ? ? 在 ? 0, e ? 上单调递增, ? e, ?? ? 上单调递减 x 1 ln x 取得最大值 ,………………………9 分 ? x ? e 时,?? ? x ? ? e x
而 h ( ) ? ?1 ? 由 ? ?1? ? 0 ,得当 x ? ? 0,1? 时,? ? x ? ? 0 ,而当 x ? ?1, ?? ? ,? ? x ? ? 0 ,? ? x ? 图像如下

1 e

9

∴ a ? 1? ? 0, ? 即当 ?1 ? a ?

? ?

1? e?

1 1 ? 1 时 f ? x ? ? ax 2 有两个不同实根 e 2

x1 , x2 …………………10 分
满足 ln x1 ? ? a ? 1? x1 , ln x2 ? ? a ? 1? x2 两式相加得: ln x1x2 ? ? a ?1?? x1 ? x2 ? ,两式相减地 ln

x2 ? ? a ? 1?? x2 ? x1 ? x1

?

ln x1 x2 x1 ? x2 x ? x2 x .不妨设 x1 ? x2 ,要证 x1 ? x2 ? e2 ,只需证 ln x1 x2 ? 1 ? ? ln 2 ? 2 , x x2 ? x1 x2 ? x1 x1 ln 2 x1

?x ? 2 ? 2 ? 1? 2 ? x2 ? x1 ? x x 即证 ln 2 ? ? ? 1 ?, x x1 x1 ? x2 1? 2 x1
设t ?

2 ? t ? 1? 4 x2 ? ln t ? ? 2 ,………………………12 分 ? t ? 1? ,令 F ? t ? ? ln t ? 1? t t ?1 x1
2

? t ? 1? ? 0 ,∴函数 1 4 ? 则 F ?t ? ? ? F ? t ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增,而 F ?1? ? 0 . 2 2 t ? t ? 1? t ? t ? 1?
'

∴ F ? t ? ? 0 ,即 ln t ?

2 ? t ? 1? .? x1 ? x2 ? e 2 .………………………14 分 1? t
?x
2
,x∈(0,1).

22 已知 f ( x) ? x 2 ? ax ? sin

(1)若 f (x)在定义域内单调递增,求 a 的取值范围; (2)当 a ? ?2 时,记 f (x)的极小值为 f (x0),若 f (x1) = f (x2),求证:x1 + x2 > 2x0. 22、(1)解: f ?( x) ? 2 x ? a ?

?

2 2 ∵f (x)在定义域(0,1)内单调递增

cos

?

x

1分

∴ f ?( x) ≥ 0 在(0,1)内恒成立,即 a ≥ ?2 x ? 令 g ( x) ? 2 x ?

?
2

cos

?
2

在(0,1)内恒成立

2分

x 2 2 4 2 g ?(1) ? 0 ∵ g ?( x) 在(0,1)内单调递减,且 g ?(0) ? 0 , ∴ g ?( x) 在(0,1)上存在唯一零点 m
cos

?

?

x ,则 g ?( x) ? 2 ?

?2

sin

?

? ?a ≥ ? g (0) ? a≥? ∴g (x)在(0,m)上递增,在(m,1)上递减,∴ ? a ≥ ? g (1) 2 ?

4分

10

(2)证:当 a ? ?2 时, f ?( x) ? 2x ? 2 ? 令 h( x) ? 2 x ? 2 ?

?
2

cos

?
2

x

?

2 2 4 2 由(1)知, h?( x) 在(0,1)上存在唯一零点 m ∴ f ?( x) ? h( x) 在(0,m)上递增,在(m,1)上递减
∵ f ?(0) ? ?2 ?

cos

?

x ,则 h?( x) ? 2 ?

?2

sin

?

x

? 0 ,f ?(1) ? 0 ,∴ f ?(m) ? 0 2 ∵f (x)的极小值为 f (x0),∴ f ?( x0 ) ? 0 ,因此 0 ? x 0 ? m ? 1
∴f (x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,1)上单调递增 不妨设 x1 < x2,∵f (x1) = f (x2),∴ 0 ? x1 ? x0 ? x2 ? 1 令 F ( x) ? f ( x0 ? x) ? f ( x0 ? x) ,则 F ?( x) ? f ?( x0 ? x) ? f ?( x0 ? x) ? 4x0 ? 4 ? ? cos ∵ F ?( x ) 在(0,1)递减,∴ F ?( x) ? F ?(0) ? 0 ∴F (x)在(0,1)递减,∴F (x) < F (0) = 0, f ( x0 ? x) ? f ( x0 ? x) 分 又 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x0 ? ( x0 ? x2 )) ? f ( x0 ? ( x0 ? x2 )) ? f (2x0 ? x2 ) ∵ x0 ? x2 ? 1,∴ 0 ? 2 x0 ? x2 ? x0 ∵ 0 ? x1 ? x0 ,f (x)在(0,x0)上单调递减,∴ x1 ? 2 x0 ? x2 ,即 x1 ? x2 ? 2 x0 分

?

6分

8分

? x0
2

cos

?x
2
10

12

11


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