浙江省台州中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试卷

台州中学 2015 学年第一学期期中试题 高一
命题:周波

数学
审题:吴晓蕾

一、选择题(本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个选项是符合题目要求的) . 1.设集合 A ? ?1, 2 ,3? , B ? ?2 ,3 ,4? ,则 A∪B 等于( A. ?3? B. ?3 ,4? C. ?1, 2 , 3? ) D. y ? ) D. ?1, 2 , 3 ,4?

2.下列函数中,与函数 y ? x 相同的函数是( A. y ?

x2 x

B. y ? x

C. y ? ln e x ) C. ?1, ???

? x?

2

3.函数 f ( x) ? lg( x ? 1) 的定义域是( A. ? ?? ,1? B. ? ?? ,1?

D. ?1, ??? )

x 4.在同一坐标系中,函数 y ? 2 与 y ? ( ) 的图象之间的关系是 (

1 2

x

A.关于 y 轴对称 C.关于原点对称

B.关于 x 轴对称 D.关于直线 y = x 对称 )

5.已知函数 f ( x ) 由下表给出,则 f ? f (3)? 等于(

x
f ( x)
A.1

1 3

2 2

3 4

4 1 C.3 D.4 ) D. y ? x
3

B.2

6.下列函数中是奇函数,且在 ? 0 , ? ? ? 上单调递增的是( A. y ?

1 x
x

B. y ? x

C. y ? 2

x

7.函数 f ( x) ? 2 ? x 的零点在区间( A. ? ?2 , ?1?
?3

) C. ? 0 ,1? D. ?1, 2 ? )

B. ? ?1,0 ?

2 ?1? 8.已知 a ? ? ? , b ? ? 0.3? , c ? log 1 3 ,则 a , b , c 的大小关系是( ? 3? 2

A. a ? b ? c

B. a ? c ? b

C. b ? a ? c

D. c ? b ? a

9. 集合 P ? {x | 0 ? x ? 4}, Q ? { y | 0 ? y ? 2} ,下列对应不表示从 P 到 Q 的函数 是( ) B. f : x ? y ? D. f : x ? y ?

A. f : x ? y ?

1 x 3 1 C. f : x ? y ? x 2

2 x 3

x

10.函数 f ( x) ? x2 ? 2(a ?1) x ? 2 在区间 ? ?? ,1? 上是减函数,则实数 a 的取值范 围是( ) B. ? ?? , 2? C. ?1, ??? D. ?2 , ???

A. ? ?? ,1?

11.已知函数 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) (其中 a ? b )的图象 f (x) 如右图所示,则函数 g ( x) ? a x ? b 的图象是( )

A.

B.

C.

D.

12.对于区间[a,b]上有意义的两个函数 f ( x ) 与 g ( x) ,如果对于区间 ?a , b? 中的 任意数 x 均有 f ( x) ? g ( x) ? 1 ,则称函数 f ( x ) 与 g ( x) 在区间 ?a , b? 上是密切 函数, ?a , b? 称为密切区间.若 m(x)=x2-3x+4 与 n(x)=2x-3 在某个区间上 是“密切函数”,则它的一个密切区间可能是 ( A. ?3 , 4? 13.函数 f ( x ) ? ln A. 0 14.设函数 f ( x) ? B. ?2 , 3? ) D. ?1, 4? )

C. ?2 , 4?

e ? ex ,的最大值为 M,最小值为 m ,则 M ? m =( 1? x
B. 1 C. 2 D. 4

2x ( x ? R) ,区间 A ? ?m , n? (m ? n) , 集合 1? x
) B. 2 个 C. 3 个 D.无数多个

A ? B 成立的实数对 ? m , n ? 有 ( B ? ? y y ? (f )x, ? x ? ,则使 A
A. 1 个

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) . 15.函数 y ? x ( x ? 0) 的值域为________.
2

16.函数 f ( x) ? a x?1 ( a ? 0 且 a ? 1 )的图象必过定点 17.设 f ( x) ? ?

. .

? ? x ? 2 , ( x ? 5) 则 f (1) 的值为 ? ? f ? f ( x ? 6)? , ( x ? 5)

18. 已知函数 y ? f ( x) 在 R 上为奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ? 2x ,则当 x ? 0 时, f ( x) 的解析式是 .

19.已知 y= loga (2-ax)在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是_____. 20.求“方程 ( ) ? ( ) ? 1 的解”有如下解题思路:设 f ( x) ? ( ) ? ( ) ,则 f ( x )
x x x x

3 5

4 5

3 5

4 5

在 R 上单调递减,且 f (2) ? 1 ,所以原方程有唯一解 x ? 2 .类比上述解题思 路,方程 x6 ? x2 ? ( x ? 2)3 ? x ? 2 的解集为 三.解答题(本大题共 5 小题,共 40 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) . 21. (本题满分 6 分) (1)求值: 0.064
? 1 3 3 7 2 2 ? ? ( )0 ? ? ( ? 2) ? 2log2 7 ? ? 8

(2)解方程: (lg x) ? lg x ? 3 ? 0
2 2

22. (本题满分 8 分)已知 A ? ?x | ?1 ? x ? 3? , B ? ?x | m ? x ? 1 ? 3m? (1)当 m ? 1 时,求 A ? B ; (2) 若 B ? CR A ,求实数 m 的取值范围.
2 23.(本题满分 8 分) 已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x 且

f(0) ? . 1
(1)求 f ( x ) 的解析式; (2)当 x ?[?1,1] 时,方程 f ( x) ? 2 x ? m 恒成立,求实数 m 的范围. 24.(本题满分 8 分) 已知函数 f ( x) ? lg (1)若 f ( x) 为奇函数,求 a 的值; (2)若 f ( x) 在 ? ?1,5? 内有意义,求 a 的取值范围;

a?x , 1? x

(3)在(2)的条件下,判断并证明 f ( x) 的单调性. 25.(本题满分 10 分)对于函数 f ? x ? ,若在定义域内存在实数 x ,满足 称为“局部奇函数” (I)已知二次函数 f ? x ? ? ax2 ? 2x ? 4a ? a ? R ? ,试判断 f ? x ? 是否为“局部 奇函数”,并说明理由; (II)若 f ? x ? ? 2x ? m 是定义在区间 ??1,1? 上的“局部奇函数”,求实数 m 的 取值范围; (III)若 f ? x ? ? 4 ? m ? 2
x x?1

f ? ? x? ? ? f? ? x,则

? m2 ? 3 为定义域为 R 上的“局部奇函数”,求实

数 m 的取值范围;

台州中学 2015 学年第一学期期中试题答案 高一 数学

一、选择题(本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个选项是符合题目要求的) . 1 D 2 C 3 C 4 A 5 A 6 D 7 B 8 A 9 B 10 D 11 A 12 B 13 C 14 C

14 题解析:3 个; ?- 1, 0 ?; ?- 1, 1? ; ?0, 1? 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) . 15. ? 0 , ? ? ? 16. ?1,1? 17. 3 18. ? x ? 2 x
2

19. ?1, 2 ?

20. ??1, 2?

2 4 2 20 题:解: x ( x ? 1) ? ? ?( x ? 2) ?1? ? ( x ? 2) (*)

构造函数 f ( x) ? x( x ? 1) ? x ? x ,易得函数在定义域 R 上单调递增,
2 3

则(*)式方程可写为 f ( x ) ? f ( x ? 2)
2

三.解答题(本大题共 5 小题,共 40 分) . 21.(1)

5 2

——(3 分)

(2)1000 或

1 10

——(3 分)

22. (1) A ? B ? x ?1 ? x ? 4 (2) m ? ?

?

?

——(4 分) ——(4 分) ——(4 分)

2 或m ?3 3

23. (1) f ( x) ? x2 ? x ? 1

(2)由题意得: m ? x2 ? 3x ? 1 x ???1 ,1? 令 g ( x) ? x2 ? 3x ?1 x ???1 ,1? ? g ( x) ???1 , 3? ? m ? ?1 ——(4 分)

24. (1) a ? 1 ; (2) a ? 5

——(2 分) ——(3 分)

(3)当 a ? 5 时,f(x)在定义域上为减函数 由

a?x ? 0, a ? 5 ,得 f(x)定义域为(-1, a ) ,令 ? 1 ? x1 ? x2 ? a 1? x

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? lg
∵ ? 1 ? x1 ? x2 ? a ∴

a ? x1 a ? x2 a ? x1 1 ? x2 a ? x1 1 ? x2 ? lg ? lg ? ? lg ? 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x1 a ? x2 a ? x2 1 ? x1
∴ a ? x1 ? a ? x2 ? 0

1 ? x2 ? 1 ? x1 ? 0

a ? x1 1 ? x2 a ? x1 1 ? x2 a ? x1 1 ? x2 ? 1, ? 1 ,∴ ? ? 1 ,∴ lg ? ?0 a ? x2 1 ? x1 a ? x2 1 ? x1 a ? x2 1 ? x1
∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 )

∴ f ( x1 ) 在(-1, a )为减函数 25.(1)由题意得: f (? x) ? f ( x) ? 2ax ? 8a ? 2a( x ? 2)( x ? 2)
2

——(3 分)

当 x ? 2 或 x ? ?2 时, f (? x) ? f ( x) ? 0 成立, 所以 f ? x ? 是“局部奇函数 (2)由题意得: f (? x) ? f ( x) ? 2 ? 2
x ?x

——(3 分)

? 2m ? 0

? x ?? ?1,1? ,? 2x ? 2? x ? 2m ? 0 在 ? ?1,1? 有解。
所以 m ? ?

1 x ? 2 ? 2? x ? x ? ? ?1 , 1? 2

令 t ? 2x ? ?

1 ? 1? ?1 ? , 2? 则 m ? ? ? t ? ? 2? t ? ?2 ?
1 t

设 g (t ) ? t ? , g (t ) 在 ?

?1 ? , 1? 单调递减,在 ?1 ,2? 单调递增, ?2 ?
——(3 分)

? 5? ? 5 ? ? g (t ) ? ? 2 , ? ,? m ? ?? , ? 1? ? 2? ? 4 ?
(3) .有定义得:? f (? x) ? f ( x) ? 0

?4x ? 4? x ? 2m(2x ? 2? x ) ? 2m2 ? 6 ? 0
即 (2x ? 2? x )2 ? 2m(2x ? 2? x ) ? 2m2 ? 8 ? 0 有解。 设 p ? 2 ? 2 ??2 , ???
x ?x

所以方程等价于 p2 ? 2mp ? 2m2 ? 8 ? 0 在 p ? 2 时有解。 设 h(t ) ? p2 ? 2mp ? 2m2 ? 8 ,对称轴 p ? m ① 若 m ? 2 ,则 ? ? 4m2 ? 4(2m2 ? 8) ? 0 ,即 m ? 8 ,??2 2 ? m ? 2 2 ,
2

此时 2 ? m ? 2 2 ② 若m? 2时

?m ? 2 ?m ? 2 ? ? 则 ? g (2) ? 0 ,即 ?1 ? 3 ? m ? 1 ? 3 ?? ? 0 ? ? ??2 2 ? m ? 2 2
此时 1 ? 3 ? m ? 2 综上得: 1 ? 3 ? m ? 2 2 ——(4 分)


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