2013届新课标高中数学(理)第一轮总复习第4章第25讲任意角的三角函数_图文

第25讲

, , 内 与的 终 边 相 同 的 角 有   9 9 9 3
?

1 . 已 知 角 ? 的 终 边 与的 终 边 相 同 , 则 在 区 间 [ 0 ,2 ? ] 3 ? 7? 13?

?

2? 为 3

2 . 半 径 为 ? c m , 中 心 角 为 1 2 0 ? 的 扇 形 的 弧 长
2

  c m  
2

2 ? 2 ? 解 析 : l ? | ? | ? r ? ? ? ? ? c m . ? 3 3

3 . 已 知 角的 ? 终 边 过 点 P 1 ,2 , 则 c o s ? ?? ? 的 值 为?
5 5

 
2 2

解 析 : 因 为 r? ( -1 ) +2 ? 5 , 5 所 以 cos? ?? ?? 5 5 1

t a n ? ? 3 ? s i n 5 正 4 . 的 符 号 为 c o s 8
解 析 : 因 为 t a n ? 3 0 , s i n 5 ? 0 , c o s 8 ? 0 , ? ?? t a n ? ? 3 ? s i n 5 所 以 为 正 . c o s 8

5.若?是第三象限的角,则180°-?是第 四 象限角. _____ 解析:因为?是第三象限的角, 所以k· 360°+180°< ? <k· 360°+270°, 则-k· 360°-90°<180°- ? <-k· 360°,

故180°- ?是第四象限角.

角的概念
【 例 1 】 已 知 ?是 第 二 象 限 的 角 , 试 分 别 确 定 2 ? ,

?

的 终 边 所 在 的 位 置 . 2

【解析】因为?是第二象限的角, 所 以 k ? 3 6 0 ?+ 9 0 ? ? ? ? ? 3 6 0 ?+ 1 8 0 ? ( k ? Z ), 则 2 k ? 3 6 0 ?+ 1 8 0 ? ? 2 ? ? 2 k ? 3 6 0 ?+ 3 6 0 ? ( k ? Z ). 故 2? 的 终 边 落 在 第 三 、 四 象 限 或 y 轴 的 负 半 轴 上 .

? 又 k ? 1 8 0 ?+ 4 5 ? ? ? k ? 1 8 0 ?+ 9 0 ? ( k ? Z ), 2 ? 所 以 , 当 k为 奇 数 时 , 的 终 边 落 在 第 三 象 限 ; 2 ? 当 k为 偶 数 时 , 的 终 边 落 在 第 一 象 限 . 2

本 题 考 查 区 间 角 的 概 念 . 已 知 ?为 某 象 限 的

? 角 , 要 能 快 速 确 定 (n ? 2 , n ? N * )所 在 的 象 限 . n ? ?1 ? 所 在 的 象 限 问 题 : 2 作出各个象限的角平分线,它们与坐标轴把
周 角 等 分 成 8 个 区 域 , 从 x轴 的 非 负 半 轴 起 , 按 逆 时 针 方 向 把 这 8个 区 域 依 次 循 环 标 上 号 码 1、 2、 3、 4, 则 标 号 是 几 的 两 个 区 域 , 就 是 ?为 第 几 象 限 的 角 时 , ? ? 的终边落在的区域,此时 所在的象限就可以直 2 2 观 地 看 出 , 如 图1所 示 .

? (2) 所 在 的 象 限 问 题 : 3 作出三等分各个象限的从原点出发的射线,
它 们 与 坐 标 轴 把 周 角 等 分 成12 个 区 域 , 从 x 轴 的 非 负 半 轴 起 , 按 逆 时 针 方 向 把 这 12 个 区 域 依 次 循 环 标 上 号 码1 、、、, 2 3 4 则标号是几的区域,就是?

? ? 为第几象限的角时, 的终边落在的区域,此时 3 3 所 在 的 象 限 就 可 以 直 观 地 看 出 , 如 图2所 示 .

? * 3 ( n ? 2 , n ? N )所 在 的 象 限 问 题 : ? ? n ? 一 般 地 , 要 确 定 ( n ? 2 , n ? N * )所 在 的 象 限 , 可 n 以 作 出 n等 分 各 个 象 限 的 从 原 点 出 发 的 射 线 , 它 们
与 坐 标 轴 把 周 角 等 分 成 4 n个 区 域 , 从 x轴 的 非 负 半 轴 起 , 按 逆 时 针 方 向 把 这 4 n个 区 域 依 次 循 环 标 上 号 码1、 2 、、 3 4, 则 标 号 是 几 的 区 域 , 就 是 ? 为 第 几 象 限 ? ? * 的 角 时 , ( n ? 2 , n ? N )的 终 边 落 在 的 区 域 , 此 时 n n ( n ? 2 , n ? N * )所 在 的 象 限 就 可 以 直 观 地 看 出 .

【 变 式 练 习 1 】 若 ?是 第 四 象 限 角 , 且| cos

?

则 是 第 几 象 限 角 ? 2 ? 【 解 析 】 若 ?是 第 四 象 限 角 , 则 的 终 边 落 在 2
第 二 象 限 或 第 四 象 限 , 但| cos = - cos , 2 2 故 是 第 二 象 限 角 . 2

?

|??cos , 2 2

?

?

?

?

扇形的弧长、面积 公式的应用
【例2】 已知一扇形的圆心角是α,所在圆的半径 是R. (1) 若 α = 60°, R = 10 cm ,求扇形的弧 长及该弧所在的弓形面积; (2)若扇形的周长是一定值 c(c>0),当α为 多少弧度时,该扇形有最大面积?

【 解 析 】? 1 ? 设 弧 长 为 l, 弓 形 面 积 为 S 弓 .

? 10 ? 因 为 ? = , R=10, 所 以 l= ? ? R= ? cm ? , 3 3 1 1 2 所 以 S 弓= S 扇- S V= lR- R sin ? 2 2 1 10 ? 1 = ? ? 10- ? 10 2 ? sin60 ? 2 3 2 ? 3 2 = 50( - ) ? cm ? . 3 2

c?l ? 2 ? 方 法 1 : 由 已 知 2 R + l= c , 所 以 R = ?l ? c ?, 2 1 1 c?l 所 以 S 扇 = R l= l 2 2 2 2 1 1 c c = ( c l - l 2 )= - ( l - ) 2 + 4 4 2 16 c 2? c l l 2l 2 = 2时 , 当 l= , 即 ? = = = = c?l c?l c 2 R c? 2 2 c2 扇 形 面 积 有 最 大 值 . 16 c2 所 以 , 当 ?= 2时 , 扇 形 面 积 有 最 大 值 . 16

方 法 2 : 因 为 扇 形 的 周 长 是 c= 2 R+ l= 2 R+ ? R, c 1 2 所 以 R= , 所 以 S 扇= ? ? R 2?? 2 1 c 2 c2 ? c2 1 c2 = ?( ) ? = ? , 2 2 2?? 2 4 ? 4? ? ? 2 4 ? ? ? 4 16 ? 4 当 且 仅 当 ? = , 即 ? = 2(? = - 2 舍 去 )时 , 等 号 成 立 . ? c2 所以扇形面积有最大值 . 16

合理选择参数,运用函数思 想、转化思想解决扇形中的有关

最值问题.方法 1 运用二次函数
配方法求最值,方法 2 运用基本 不等式求最值.

【变式练习2】 一个扇形的周长为 20 ,求它的半径、圆 心角各取何值时,此扇形的面积最大?

【 解析】 设扇形的半径为 r,面积为 S,圆 心角为 ?,则扇形的弧长为20-2 r . 1 所以 S= (20-2 r ) ? r=-( r-5) 2+25. 2 20 ? 10 所以,当 r=5 , ?= =2 时, 5 扇形的面积 S 最大,且最大值 为25.

三角函数的定义
【 例】 3 已 知 角 ?的终边上一点P(- 3 , y), y 且 sin?= , 求 cos?和 tan?的 值 . 3

【 解 析 】 因 为 角 ? 的 终 边 上 一 点 P (- 3 , y ), 所 以 r= 3 ? y .
2

由三角函数的定义知, s in ? ? y ? , 解 得 y= 0 或 y= ? 3 ? y2 3 y 6.

当 y= 0 时 , r= 3 , c o s ? =

3 = 1, ta n ? = 0 ; 3 6 3 = - 2;

3 当 y= 6 时 , r= 3, cos? = - , ta n ? = - 3

3 ? 6 当 y= - 6 时 , r= 3, cos? = - , ta n ? = = 2. 3 ? 3

本题根据三角函数的定义,利 用已知条件列出方程,解出 y ,再

利 用 三 角 函 数 的 定 义 求 得 cosα 和
tanα的值,但需要讨论.本题容易 忽视“y=0”的情况.

【变式练习3】

已知角α的终边在直线y=3x上,求角α
的正弦、余弦和正切值.

【 解 析 】? 1 ? 当 角 ? 的 终 边 在 第 一 象 限 时 , 可 在 终 边 上 取 点 A ? 1, 3 ? , 则 r = 1 0 , 3 3 10 1 10 s in ? = = , cos ? = = ,ta n ? = 3 . 10 10 10 10 ? 2 ?当 角 ? 的 终 边 在 第 三 象 限 时 , 可 在 终 边 上 取 点 B (- 1, - 3 ), 则 r = 1 0 , ?3 3 10 s in ? = =? , 10 10 ?1 10 cos ? = =? ,ta n ? = 3 . 10 10

第三 象 1.若sin?<0且tan?>0是,则?是第______ 限角.

解析:sin?<0,则a是第三、四象限角;
tan?>0,则?是第一、三象限角;所以?是 第三象限角.

2. 如果点 P(sinθ· cosθ , 2cosθ) 位于第 三象限,那么角θ所在的象限是 第二象限 _______________ 【解析】由已知得 sinθ>0 , cosθ<0 ,

因此,角θ在第二象限.
3. 若扇形 OAB 的面积是 1 cm2 ,它的

周 长 为 4 cm , 则 它 的 圆 心 角 是 2sin1 2弧度 ,弦AB的长是_________cm. ________

4 . 已 知 角 ? 的 终 边 经 过 点 P ( ? 4 m ,, ? 3 ) 且 4 1   c o s ? ? ?, 则 m 的 值 为   . 5
x ? 4 m 4 解 析 : c o s ?? ? ? ?, 2 2 r 5 ? ? 4 m ?? ? ?? 3 且 m ? 0 , 所 以 9 m? 9 , 所 以 m ? 1 .
2

5. 如右图,半径为 1 的圆的圆心位于坐标 原点,点 P 从点 A(1,0) 出发,依逆时针方

向等速沿单位圆周旋转.已知点 P 在 1 秒
钟内转过的角度为 θ(0 < θ < π) ,经过 2 秒 钟到达第三象限,经过 14 秒钟后又恰好 回到出发点A,求θ的大小.

【 解 析 】 因 为 0< ? < ? , 3? 2k? + ? < 2?< 2k? + ( k ? Z ), 2 ? 3 所 以 k= 0, 则 < ? < ? . 2 4 又 1 4 ? = 2 n ? ( n ? Z ), n? ? n? 3 所 以 ?= , 从 而 < < ?, 7 2 7 4 7 21 故 < n< , 其 中 n ? Z, 2 4 4 5 所 以 n= 4 或 5 , 则 ? = ? 或 ? . 7 7

本节内容主要从两方面考查,

一是考查角的概念的推广和弧度
与角度之间的互相转化; 二是考查任意角的三角函数.在 这两方面注意使用数形结合、分类讨 论等思想解决问题.

(1) 准确区分锐角、 0°~ 90°范围 内的角、小于 90°的角、第一象限角等 概念.第一象限角不一定是锐角,小于

90°的角也不一定是锐角.
(2)引入弧度制后,角的表示要么采 用弧度制,要么采用角度制,两者不能 混用.如 {α|α = 2kπ + 30°, k∈Z} 写法 不正确.

l ?3? 用 公 式 ? = 求 圆 心 角 时 , 应 r 注意其结果是圆心角的弧度数的绝对 值,具体应用时既要注意大小还要注 意正负.

?4?判 断 三 角 函 数 值 的 符 号 时 , 应
特别注意角的终边所在象限的确定, 不要忽略终边落在坐标轴上的情况.

? 5 ?由 三 角 函 数 的 定 义 可 知 , 若 已
知 角 ?的 终 边 上 一 点 的 坐 标 , 便 可 求 出 y x y 其各个三角函数值.必须弄清 , , r r x 这 三 个 比 值 的 大 小 都 与 点 P在 角 的 终 边 上的位置无关,而只与角的大小有关, 即它们都是以角为自变量,以比值为函 数值的函数.


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