高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充与复数的概念课件新人教A版选修22_图文

新课标导学

数 学
选修2-2 ·人教A版

第三章

数系的扩充与复数的引入

? 十六世纪,人们在讨论一元二次方程、一元三次方程的根 时,为了研究问题的需要引入了复数.复数是由意大利米 兰学者卡当首先引入,经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高 斯等人的工作,此概念逐渐为数学家所接受.高斯把复数 与平面上的点一一对应使得复数与向量、解析几何、三角 函数等密切联系起来.复数有向量表示、三角表示,指数 表示等,满足四则运算等性质.它是复变函数论、解析数 论、傅里叶分析、分形、流体力学、相对论、量子力学等 学科中最基础的对象和工具.随着科学和技术的进步,复 数理论不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义,而 且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用,并在解 决堤坝渗水的问题中显示了它的威力,也为建立巨大水电 站提供了重要的理论.

3.1 数系的扩充与复数的概念
3.1.1 数系的扩充与复数的概念

1 2

自主预习学案

互动探究学案

3

课时作业学案

自主预习学案

2016 年 8 月,希望工程举行中学生夏令营,来到海滨城市青岛.一天,张明 与王华面对着广阔的大海,有一番耐人寻味的对话. 张明:海纳百川,心阔容海.海、心孰大? 王华:夸张的手法,不可比较. 张明:那么数 m,n 可否比较大小? 王华:未必. 同学们,你能准确回答张明的问题吗?

? ? ? ? ?

1.数系扩充的脉络、原则 复数系 脉络:自然数系→整数系→有理数系→ 实数系→_______ 原则:数系扩充时,一般要遵循以下原则: (1)增添新元素,新旧元素在一起构成新数集; (2)在新数集里,定义一些基本关系和运算,使原有的一些 依然 主要性质(如运算定律) _____适用; 保持不变 ? (3)旧元素作为新数集里的元素,原有的运算关系 _________; ? (4)新的数集能够解决旧的数集不能解决的矛盾.

2.对于方程 x2+2x+3=0,由于 Δ=-8,所以方程在实数范围内无解,若引 入一个新的数 i, 使得 i2=-1, 则此方程的解可写成 x1=-1- 2i, x2=-1+ 2i. 3.复数的定义:形如 a+bi(a、b∈R)的数叫做复数,其中 i 叫做虚数单位,

-1 . 满足 i2=______ 实部 与 这一表示形式叫做复数的代数形式, a 与 b 分别叫做复数 z 的 _____ 虚部 .全体复数构成的集合叫做________ 复数集 . _______

4.复数相等的充要条件

a=c且b=d . 设 a、b、c、d 都是实数,那么 a+bi=c+di?______________ a=0且b=0 ,a=0 是 z 为 5.复数 z=a+bi(a、b∈R),z=0 的充要条件是____________ 必要不充分 条件. 纯虚数的_____________
6.复数的分类

b≠0 ,z 为纯 b=0 ,z 为虚数?_______ (1)复数 z=a+bi(a、b∈R),z 为实数?_______
? ?a=0 虚数?? ? ?b≠0



? (2)集合表示:

1.(1+ 3)i 的实部与虚部分别是( C ) A.1, 3 C.0,1+ 3
[ 解析]

B.1+ 3,0 D.0,(1+ 3)i

(1+ 3)i 可看作 0+(1+ 3)i=a+bi,

所以实部 a=0,虚部 b=1+ 3.

? 2.若复数z=a2-3+2ai的实部与虚部互为相反数,则实 数a3的值为_________. 1或- ? [解析] 由条件知a2-3+2a=0,

? ∴a=1或a=-3. -3 2 ? 3.若复数z=(m+1)+(m -9)i<0,则实数m的值等于 2 ? _____. ?m -9=0
[ 解析] ∵z<0,∴? ? ?m+1<0 ,∴m=-3.

? 4.实数m分别取什么数值时,复数z=(m2+5m+6)+(m2 -2m-15)i [ 解析 ] 由 m2+ 5m是虚数; +6=0 得,m =- 2 或 m=-3,由 m 2- 2m-15=0 得 m= ? (1) 是实数; (2) (3) 是纯虚数; (4)是 0.
5 或 m=-3. (1)当 m2-2m-15=0 时,复数 z 为实数,∴m=5 或-3; (2)当 m2-2m-15≠0 时,复数 z 为虚数,∴m≠5 且 m≠-3.
2 ? ?m -2m-15≠0, (3)当? 2 ? ?m +5m+6=0. 2 ? m ? -2m-15=0, (4)当? 2 ? ?m +5m+6=0.

时,复数 z 是纯虚数,∴m=-2.

时,复数 z 是 0,∴m=-3.

互动探究学案

命题方向1 ?复数的概念
2 典例 1 (1)给出下列三个命题:①若 z∈C,则 z ≥0;②2i-1 虚部是 2i;

③2i 的实部是 0.其中真命题的个数为( B ) A.0 C.2 B.1 D.3

(2)(2017· 启东高二检测)已知复数 z=a2-(2-b)i 的实部和虚部分别是 2 和 3, 则实数 a,b 的值分别是± 2,5.

? (3)判断下列命题的真假. ? ①若x,y∈C,则x+yi=1+2i的充要条件是x=1,y=2 ; ? ②若实数a与ai对应,则实数集与纯虚数集一一对应;

? ③实数集的补集是虚数集.
? [解析] (1)对于①,当z∈R时,z2≥0成立,否则不成立,

如z=i,z2=-1<0,所以①为假命题;

? 对于②,2i-1=-1+2i,其虚部为2,不是2i,所以②为 假命题;

? 『规律总结』 判断与复数有关的命题是否正确的方法 ? (1)举反例:判断一个命题为假命题,只要举一个反例即可 ,所以解答这类型题时,可按照“先特殊,后一般,先否 定,后肯定”的方法进行解答. ? (2)化代数式:对于复数实部、虚部的确定,不但要把复数 化为a+bi的形式,更要注意这里a,b均为实数时,才能 确定复数的实、虚部. ? 特别提醒:解答复数概念题,一定要紧扣复数的定义,牢 记i的性质.

? ? ? ? ? ? ? ? ?

〔跟踪练习1〕 ①1+i2=0; ②若a,b∈R,且a>b,则a+i>b+i; ③若x2+y2=0,则x=y=0; ④两个虚数不能比较大小. B 其中,正确命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 [解析] 选B.对于①,因为i2=-1,所以1+i2=0,故① 正确. ? 对于②,两个虚数不能比较大小,故②错.

命题方向2 ?复数的分类
m2-m-6 典例 2 m 取何实数时,复数 z= +(m2-2m-15)i. m+3 (1)是实数? (2)是虚数? (3)是纯虚数?
[ 思路分析] 在本题是复数的标准形式下,即 z=a+bi(a,b∈R),根据复数

的概念,只要对实部和虚部分别计算,总体整合即可.

[ 解析]

2 ? ?m -2m-15=0, (1)由条件得? ? ?m+3≠0,

? ?m=5或m=-3, ∴? ? ?m≠-3.

∴当 m=5 时,z 是实数.
2 ? ?m -2m-15≠0, (2)由条件得? ? ?m+3≠0.

? ?m≠5且m≠-3, ∴? ? ?m≠-3.



∴当 m≠5 且 m≠-3 时,z 是虚数.

?m2-m-6=0, ? (3)由条件得?m+3≠0, ?m2-2m-15≠0, ? ?m=3或m=-2, ? ∴?m≠-3, ?m≠5且m≠-3. ? ∴当 m=3 或 m=-2 时,z 是纯虚数.

? 『规律总结』 1.判断一个含有参数的复数在什么情况 下是实数、虚数、纯虚数,首先,参数的取值要保证复数 有意义,然后按复数表示实数、虚数、纯虚数等各类数的 充要条件求解. ? 2.对于复数z=a+bi(a、b∈R),既要从整体的角度去认 识它,把复数z看成一个整体,又要从实部与虚部的角度 分解成两部分去认识它. ? 3.形如bi的数不一定是纯虚数,只有限定条件b∈R 且 b≠0时,形如bi的数才是纯虚数.

? 〔跟踪练习2〕 ? 实数k为何值时,复数z=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i是(1) 实数?(2)虚数?(3)零?
[ 解析] (1)当 k2-5k-6=0,即 k=6 或 k=-1 时,z 是实数.

(2)当 k2-5k-6≠0,即 k≠6 且 k≠-1 时,z 是虚数.
2 ? k ? -3k-4=0, (3)当? 2 ? ?k -5k-6=0,

即 k=-1 时,z 是零.

命题方向3 ?复数相等的条件

?

已知x是实数,y是纯虚数,且满足(3x-10)+ i=y-3i,求x与y. ? [思路分析] 因为y是纯虚数,所以可设y=bi(b∈R,b≠0) 代入等式,把等式的左、右两边都整理成a+bi的形式后 [ 解析] 设 y=bi(b∈R 且 b≠0)代入(3x-10)+i=y- 3i, ,可利用复数相等的充要条件得到关于 x与 b的方程组,求 解后得 xx与 b的值. 整理得(3 -10) +i=bi-3i,
典例 3
? ?3x-10=0, 由复数相等的充要条件得? ? ?1=b-3,

10 ? ?x= , 3 解得? ? ?b=4,

10 ∴x= 3 ,y=4i.

? 『规律总结』 一般利用复数相等的充要条件,可由一个 复数等式得到两个实数等式组成的方程组,从而可确定两 个独立参数.复数相等是实现复数向实数转化的桥梁.

? 〔跟踪练习3〕 ? 已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i} 1P 或 2 P,则实数m的值为______. ,若M∪ = ? [思路分析] 由M∪P=P知,M是P的子集,从而可知(m2 -2m)+(m2+m-2)i=-1或4i,利用复数相等的条件可 求得m的值.

[ 解析]

∵M∪P=P,∴M?P.

由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,
2 ? ?m -2m=-1, 得? 2 ? ?m +m-2=0.

解之得 m=1.

由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,
2 ? ?m -2m=0, 得? 2 ? ?m +m-2=4.

解之得 m=2.

综上可知 m=1 或 m=2.

根据复数的大小求参数的值

? 两个复数能比较大小时,这两个复数必为实数,从而这两 个复数的虚部为0.
1 典例 4 如果 log (m+n)-(m2-3m)i≥-1,求自然数 m,n 的值. 2

[ 思路分析]

1 由虚数不能比较大小知本题中的 log2(m+n)-(m2-3m)i 必为实

1 数,所以 m2-3m=0.故原不等式转化为 log2(m+n)≥-1.

[ 解析]

1 ∵log2(m+n)-(m2-3m)i≥-1,

1 ? ? ?log ?m+n?≥-1, ?0<m+n≤2, ∴? 2 ∴? ? 2 ?m=0或m=3. ? - ? m - 3 m ? = 0 , ? ∵m,n∈N, ∴m=0,n=1 或 n=2.

『规律总结』

已知两个复数的大小求参数值时,一般先由复数的虚部为0

求得参数的值,再进一步检验复数的大小关系即可.

? 〔跟踪练习4〕 ? (1)已知复数z=k2-3k+(k2-5k+6)i(k∈R),且z<0,则k =2. ? (2)若m为实数,z1=(m2+1)+(m3+3m2+2m)i,z2=(4m +2)+(m3-5m2+4m)i,那么使z1>z2的m值的集合是什 么?使z1<z2的m值的集合又是什么? ? [解析] (1)∵z<0, ? ∴z∈R.故复数的虚部k2-5k+6=0,即(k-2)(k-3)=0 , ? ∴k=2或k=3.

(2)当 z1∈R 时,m3+3m2+2m=0, 解得 m=0,-1,-2, 当 z2∈R 时,m3-5m2+4m=0, 解得 m=0,1,4, 上面 m 的公共值为 m=0,此时,z1 与 z2 同时为实数,此时 z1=1,z2=2. ∴当 z1>z2 时,m 值的集合为空集; 当 z1<z2 时,m 值的集合为{0}.

要准确掌握复数的概念

? 在下列命题中,正确命题的个数是( ) 典例 5 ? ①两个复数不能比较大小; ? ②若z1和z2都是虚数,且它们的虚部相等,则z1=z2; ? ③若a、b是两个相等的实数,则(a-b)+(a+b)i是纯虚数 . ? A.0 B.1 ? C.2 D.3

? [错解] 两个复数不能比较大小,故①正确;

? ? ? ? ? ?

设z1=mi(m∈R),z2=ni(n∈R) ∵z1与z2的虚部相等,∴m=n,∴z1=z2,故②正确. 若a、b是两个相等的实数,则a-b=0, 所以(a-b)+(a+b)i是纯虚数,故③正确. 综上可知:①②③都正确,故选D. [辨析] 两个复数当它们都是实数时,是可以比较大小的 ,错解①中忽视了这一特殊情况导致错误;而错解②将虚 数与纯虚数概念混淆,事实上纯虚数集是虚数集的真子集 ,在代数形式上,纯虚数为bi(b∈R且b≠0)虚数为a+bi(a ,b∈R,且b≠0).③中要保证a+b≠0才可能是纯虚数.

? [正解] A 两个复数当它们都是实数时,是可以比较大小 的,故①是不正确的; ? 设z1=a+bi(a,b∈R,b≠0),z2=c+di(c,d∈R且d≠0) ,∵b=d,∴z2=c+bi. ? 当a=c时,z1=z2,当a≠c时,z1≠z2,故②是错误的,③ 当a=b≠0时,a-b+(a+b)i是纯虚数,当a=b=0时,a -b+(a+b)i=0是实数,故③错误,因此选A. ? [点评] 复数有许多与实数不同的性质,在引用实数的一 些结论时,一定要考虑在复数集中是否还成立,如两个实 数可以比较大小,但不全为实数的两个复数就不能比较大 小.

2 m?m+4? -3 1.若复数 z= +(m+2)i 的实部与虚部相等,则 m 的值为_____. m-1

[ 解析]
2

m?m+4? 由条件知 =m+2, m-1
2

2 ∴m +4m=m +m-2,∴m=-3.

2.已知 A={1,2,(a2-3a-1)+(a2-5a-6)i},B={-1,3},A∩B={3},

-1 . 则实数 a 的值为______
[ 解析] 以 A∩B={3}为解题突破口,按题意 a2-3a-1+(a2-5a-6)i=3, 解得 a=-1.

2 ? ?a -3a-1=3, ∴? 2 ? ?a -5a-6=0.

1 3.设 z=log2(m-1)+ilog2(5-m)(m∈R). (1)若 z 是虚数,求 m 的取值范围; (2)若 z 是纯虚数,求 m 的值.
[ 解析 ] ?m-1>0, ? ?5-m>0, ?5-m≠1, ? (1) 因为 z 是虚数,故其虚部 log2(5 - m)≠0 , m 应满足的条件是

解得 1<m<5,且 m≠4.

1 (2)因为 z 是纯虚数,故其实部 log2(m-1)=0,虚部 log2(5-m)≠0, ?m-1=1, ? m 应满足的条件是?5-m>0, ?5-m≠1, ?

解得 m=2.


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