2019年人教版必修五高中数学2.5等比数列的前n项和(1)优质课课件_图文

等差数列 定义 an?1 ? an ? d 通项公式 an ? a1 ? (n ? 1)d 性质 an ? am ? (n ? m)d m?n? r ? s am ? an ? ar ? as n(a1 ? an ) Sn ? 2 n( n ? 1) Sn ? na1 ? d 2 等比数列 an ? 1 ?q an n -1 an ? a1q an ? am q n? m (m, n, r , s ? N * ) am an ? ar a s Sn 思考1:等比数列{an}中,q=2,a2+a3+a4+a5+a6 =100, 则a1+a2+a3+a4+a5=_________ ; 50 思考2:记S5=a1+a2+a3+a4+a5,能用a1和a6表示S5吗? S5 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 2S5 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? S5 ? 2S5 ? S5 ? a6 ? a1 ? a1 (q5 ? 1) 探究:已知等比数列{an}的首项为a1,公比为q, 如何确定等比数列的前n项和Sn? 等比数列的前n项和 设等比数列 a1 , a2 , a3 , , an , 它的前n项和是 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? an 即Sn ? a1 ? a1q ? a1q2 ? (1) ? q,得 2 a q ? a q ? qSn ? 1 1 ? a1qn?2 ? a1qn?1 (1) (2) ? a1qn?2 ? a1qn?1 ? a1qn a1 ? ? 1 ? q n ? (1) ? (2)得 n 1 ? q ? S ? a ? a q ? ? n 1 1 , 1? q 显然,当q ? 1时,Sn ? na1 由此得q ? 1时,Sn ? 错位相减法 二、基础知识讲解 1、等比数列的前n项和公式 注意: ( q ? 1) ? na1 ? Sn ? ? a1 ? ? 1 ? q n ? a1 ? anq ? ? 1? q ? 1? q ( q ? 1) 1、使用公式求和时,需注意对 q=1 和 q≠1 的情 况加以讨论; 2、推导公式的方法:错位相减法。 三、例题分析 例1、求下列等比数列前n项的和: 1 1 1 1 (1) , , , , 2 4 8 16 ; (2)a, a , a , a , 2 3 4 ( a ? 0) 1 1 解:(1) 依题意知a1 ? , q ? 2 2 1 1 n ? [1 ? ( ) ] 1 n 2 2 ? Sn ? ? 1? ( ) 1 2 1? 2 三、例题分析 例1、求下列等比数列前n项的和: 1 1 1 1 2 3 4 (1) , , , , ; (2)a, a , a , a , 2 4 8 16 解:(2)由题意可知a1 ? 1, q ? a ( a ? 0) a ? (1 ? a a)? (1 ? a n ) ? ? ?当 aS ?n 1 时,Sn ? 1? a 1? a 当a ? 1时,Sn ? na1 ? n n 三、例题分析 例1、求下列等比数列前n项的和: 1 1 1 1 (1) , , , , 2 4 8 16 ; (2)a, a , a , a , 2 3 4 ( a ? 0) 随堂练习:求和: ( a - 1) ? ( a 2 - 2) ? ( a n - n) n(1 ? n) 当a ? 0时,Sn ? ? 2 n(1 ? n) n(1 ? n) 当a ? 1时,Sn ? n ? ? 2 2 n a ? (1 ? a ) n(1 ? n) 当a ? 1且a ? 0时,Sn ? ? 1? a 2 三、例题分析 1 (1)a1 ? 27, a9 ? , 求S8 243 (2) a1 ? 2,S3 ? 14,求q和a3 5 (3) a1 ? a3 ? 10,a4 ? a6 ? ,求S5和a4 4 例2、在等比数列{an}中 三、例题分析 例2、在等比数列{an}中 1 (1)a1 ? 27, a9 ? , 求S8 243 1 1 8 8 解:(1)由a9 ? a1q 可得 ? 27 ? q ? q ? ? 243 3 1 8 27[1 ? ( ? ) ] 1 1640 3 ?当q ? ? 时,S8 ? ? 1 3 81 1 ? (? ) 3 1 8 27[1 ? ( ) ] 1 3280 3 当q ? 时,S8 ? ? 1 3 81 1? 3 三、例题分析 例2、在等比数列{an}中 (2) a1 ? 2,S3 ? 14,求q和a3 3 a ( 1 1- q ) 解:(2)由S3 ? ? a1 (1 ? q ? q 2 )可得 1- q q ?q?6?0 2 解得q ? ?3或2 当q ? ?3时,a3 ? a1q ? 2 ? 9 ? 18 2 当q ? 2时,a3 ? a1q ? 2 ? 4 ? 8 2 三、例题分析 5 (3) a1 ? a3 ? 10,a4 ? a6 ? ,求S5和a4 4 ? a1 ? a3 ? a1 ? aq 2 ? 10 ? 解:(3)由题意可得 ? 5 3 5 ? a4 ? a6 ? a1q ? aq ? ? 4 2 ?a ( ? 10 1 ? 1 1? q ) ? ?q ? 即? 3 2 5 解得 ? 2 ? ? a1q(1 ? q ) ? ? 4 ? a1 ? 8 1 5 8 ? [1 ? ( ) ] 5 a1 (1 ? q ) 31 3 2 ? a4 ? a1q ? 1, S5 ? ? ? 1 1? q 2 1? 2 例2、在等比数列{an}中 三、例题分析 1 (1)a1 ? 27, a9 ? , 求S8 243 (2) a1 ? 2,S3 ? 14,求q和a3 5 (3) a1 ? a3 ? 10,a4 ? a6 ?

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