指数函数和对数函数复习(有详细知识点和习题详解)(1)

一、指数的性质

(一)整数指数幂

1.整数指数幂概念: an ? a???a?????? a (n ? N ? )

n个a

? ? a?n

?

1 an

a ? 0, n ? N ?

2.整数指数幂的运算性质:(1)am ? an ? am?n ?m, n?Z ?

a0 ?1?a ? 0?
? ? (2) am n ? amn ?m, n ? Z ?

(3) ?ab?n ? an ?bn ?n ? Z ?

其中 am ? an ? am ? a?n ? am?n ,

? ? ?
??

a b

?n ??

?

a ? b?1

n

?

an

? b?n

?

an bn



3. a 的 n 次方根的概念

? ? 一般地,如果一个数的 n 次方等于 a n ? 1, n ? N ? ,那么这个数叫做 a 的 n 次方根,

? ? 即: 若 xn ? a ,则 x 叫做 a 的 n 次方根, n ? 1, n ? N ?

例如:27 的 3 次方根 3 27 ? 3 , ? 27 的 3 次方根 3 ? 27 ? ?3 , 32 的 5 次方根 5 32 ? 2 , ? 32的 5 次方根 5 ? 32 ? ?2 .
说明:①若 n 是奇数,则 a 的 n 次方根记作 n a ; 若 a ? 0 则 n a ? 0 ,若 a ? o 则 n a ? 0 ;

②若 n 是偶数,且 a ? 0 则 a 的正的 n 次方根记作 n a , a 的负的 n 次方根,记作: ? n a ;(例如:8 的平方根 ? 8 ? ?2 2 16 的 4 次方根 ? 4 16 ? ?2 )

③若 n 是偶数,且 a ? 0 则 n a 没意义,即负数没有偶次方根;

? ? ④? 0n ? 0 n ? 1, n ? N ?

∴ n 0 ? 0;

? ? ⑤式子 n a 叫根式, n 叫根指数, a 叫被开方数。 ∴ n a n ? a .

. 4. a 的 n 次方根的性质

一般地,若 n 是奇数,则 n an ? a ;

若 n 是偶数,则 n

an

?

a

?

?a ??? a

5.例题分析:

例 1.求下列各式的值:

? ? (1) 3 ? 83

( 2 ) ??10?2

a?0 . a?0
( 3 ) 4 ?3 ? ? ?4

(4)

?a ? b?2 ?a ? b?解:略。

例 2.已知 a ? b ? 0, n ? 1, n ? N ? , 化简: n ?a ? b?n ? n ?a ? b?n .

解:当 n 是奇数时,原式 ? (a ? b) ? (a ? b) ? 2a

当 n 是偶数时,原式 ?| a ? b | ? | a ? b |? (b ? a) ? (?a ? b) ? ?2a

所以, n

?a ? b?n

?n

?a ? b?n

? 2a ? ???2a

n为奇数 . n为偶数

例 3.计算: 7 ? 40 ? 7 ? 40

解: 7 ? 40 ? 7 ? 40 ? ( 5 ? 2)2 ? ( 5 ? 2)2 ? 2 5

例 4.求值: 5 ? 9 ? 5 . 24

解: 5 ? 9 ? 5 ? 5 ? 9 ? 4 5 ? 5 ? ( 5 ? 2)2

24

2

4

2

4

?

5?

5?2 ?

6?2

5

( ?

5 ? 1)2 ?

5 ?1

22

4

4

2

(二)分数指数幂

10
1.分数指数幂: 5 a10 ? a2 ? a 5 ?a ? 0?

12
3 a12 ? a4 ? a 3 ?a ? 0?

即当根式的被开方数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式;

? ? 如果幂的运算性质(2) ak n ? akn 对分数指数幂也适用,

?2 例如:若 a ? 0 ,则 ? a 3

3
? ?

2?3
? a3

?

a2

? ,?

a

5 4

4
? ?

5?4
? a4

? a5 ,

∴3

a2

2
? a3

??

??

4
4 a5 ? a5 .

即当根式的被开方数不能被根指数整除时,根式也可以写成分数指数幂的形式。

m
? ? 规定:(1)正数的正分数指数幂的意义是 a n ? n am a ? 0, m, n ? N?, n ? 1 ;

? ? m
(2)正数的负分数指数幂的意义是 a? n

?

1
m

an

?

1 n am

a ? 0, m, n ? N ?, n ? 1 .

2.分数指数幂的运算性质:整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用



?1? aras ? ar?s ?a ? 0, r, s ?Q?

? ? ?2?

ar

s
?

? ar s

a? 0 , r, s?

?Q

?3??ab?r ? arbr ?a ? 0b, ? 0r,?Q?
说明:(1)有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用; (2)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没意义。

3.例题分析:
例 1. 用分数指数幂的形式表示下列各式 ?a ? o? :

a2 ? a , a3 ? 3 a2 ,

a a.

解: a2 ?

a

1
= a2 ?a2

?

2? 1
a2

?

5
a2



2

11

a3 ? 3 a2 = a3 ? a 3 ? a 3 ;

1

1

a

a

?1 =?a?a2

?2 ?

?3 ? ?a2

?2 ?

?

3
a4



? ? ??

例 2.计算下列各式的值(式中字母都是正数).

? 2 1 ?? 1 1 ? ? 1 5 ? (1) ? 2a3b2 ? ? ?6a 2b3 ? ? ? ?3a6b6 ? ;

?

??

??

?

? ? 1 ?3 8 (2) ? m4 n 8 ? ;

?

?

? 2 1 ?? 1 1 ? ? 1 5 ? 解(1) ? 2a3b2 ? ? ?6a 2b3 ? ? ? ?3a6b6 ?

?

??

??

?

? ? ? ? 2?1?1 1?1?5
= ??2? ?6 ? ?3 ?? a3 2 6b2 3 6

= 4ab0 ? 4a ;

(2)

? 1 ?3 ?m4n 8 ?

8
??

1

? =?m4

??

8
??

?3

? ?n 8

??

8

? ?

= m2n?3

?

?

m2 n3



例 3.计算下列各式:

? ? (1) 3 5 ? 125 ? 4 5

(2) a2 ?a ? 0? .
a 3 a2

? ? ? 2 3? 1 2 1 3 1
解:(1) 3 5 ? 125 ? 4 5 = ? 53 ? 52 ? ? 54 = 53 ? 54 ? 52 ? 54

?

?

5

5

= 512 ? 54 = 12 55 ? 54 5 ;

(2)

a2 a 3 a2

a2
= 12
a2a3

5
? a6

?

6 a5



(三)综合应用

例 1.化简: 5x?1 ? 5x ? 5x?1 .

解: 5x?1 ? 5x ? 5x?1 = 5x?1(1? 5 ? 25) = 31? 5x?1 = 31? 5x . 5

1

1

1

1

例 2.化简: (x 2 ? y 2 ) ? (x 4 ? y 4 ) .

1

1

1

1

1

11

1

1

1

1

1

解: (x 2 ? y 2 ) ? (x 4 ? y 4 ) ? (x 4 ? y 4 )(x 4 ? y 4 ) ? (x 4 ? y 4 ) ? x 4 ? y 4 .

1

1

评述:此题注重了分子、分母指数间的联系,即 (x 4 )2 ? x 2 ,由此联想到平方差公式的特点,

进而使问题得到解决。



3.已知

x

?

x?1

?

3,求下列各式的值:(1)

1
x2

?

?1
x2

;(2)

3
x2

?

?3
x2

.

解:(1)

1
(x2

?

?
x

1 2

)2

?

1
(x2 )2

1 ?1
? 2x2x 2

?

(

x

?

1 2

)

2

? x1 ? x?1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 5,

1

?1

∴ x2 ? x 2 ? ? 5 ,

又由 x ?

x?1

? 3得 x

1
? 0 ,∴ x2

?

?1
x2

?

0,

1

?1

所以 x 2 ? x 2 ?

5.

(2)(法一)

3
x2

?

?3
x2

1
=(x 2 )3

?

(

x

?

1 2

)3

?

1
(x2

?

x

?

1 2

)[(

x

1 2

)

2

?

1 ?1
x2x 2

?

(

x

?

1 2

)2

]

?

1
(x2

?

?1
x2

)[( x

?

x ?1 )

?1]

?

5(3 ?1) ? 2 5 ,

(法二)

[(

x

3 2

)

?

(

?
x

3 2

)]2

?

3
(x2

)2

?

?3
(x 2

)2

?

?3
2x 2

?3
x2

? x3 ? x?3 ? 2

而 x3 ? x?3 ? (x ? x?1)(x2 ? x?2 ?1)

? (x ? x?1)[(x ? x?1)2 ? 3] ? 3? (32 ? 3) ? 18

3
∴ (x2

?

x

?

3 2

)2

?

20



又由

x?

x?1

?

3?

0得

x

?

3
0 ,∴ x 2

?

?3
x2

?

0,

3

?3

所以 x2 ? x 2 ? 20 ? 2 5 .

二、指数函数
1.指数函数定义:
一般地,函数 y ? ax ( a ? 0 且 a ? 1)叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数定义域是 R .

2.指数函数 y ? ax 在底数 a ?1及 0 ? a ? 1这两种情况下的图象和性质:

a ?1

0? a ?1

图 象

(1)定义域: R 性 (2)值域: (0, ??) 质 (3)过点 (0,1) ,即 x ? 0 时 y ? 1
(4)在 R 上是增函数

(4)在 R 上是减函数

例 1.求下列函数的定义域、值域:

1
(1)y ? 82x?1

(2)y ? 1? ( 1 )x 2

(3)y ? 3? x

(4)y ? ax ?1 (a ? 0, a ? 1) . ax ?1

解:(1) 2x ?1? 0 ∴ x ? 1 原函数的定义域是{x x ? R, x ? 1},

2

2

令 t ? 1 则 t ? 0,t ? R 2x ?1

∴ y ? 8t (t ? R,t ? 0) 得 y ? 0, y ? 1 ,

所以,原函数的值域是{y y ? 0, y ? 1}.

(2) 1? (1)x ? 0 ∴ x ? 0 原函数的定义域是?0, ??? ,
2 令 t ? 1? (1)x (x ? 0) 则 0 ? t ?1,
2
y ? t 在?0,1? 是增函数 ∴ 0 ? y ? 1,

所以,原函数的值域是?0,1? .

(3)原函数的定义域是 R , 令t ?? x 则t ?0,

y ? 3t 在 ???,0? 是增函数, ∴ 0 ? y ? 1,

所以,原函数的值域是 ?0,1? .

(4)原函数的定义域是 R ,



y

?

ax ax

?1 (a ?1

?

0, a

? 1)

得 ax

?

?

y y

?1 , ?1

ax ? 0

∴? y ?1 ? 0, y ?1

∴ ?1 ? y ? 1 ,

所以,原函数的值域是 ??1,1? .

说明:求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域。



2.当

a

? 1 时,证明函数

y

?

ax ax

?1 ?1

是奇函数。

证明:由 ax ?1 ? 0 得, x ? 0 ,

故函数定义域{x x ? 0}关于原点对称。

f

(?x)

?

a?x a?x

?1 ?1

?

(a?x (a?x

? 1)a x ? 1)a x

? 1? ax 1? ax

? ? f (x)

∴ f (?x) ? ? f (x)

所以,函数 y ? ax ?1 是奇函数。 ax ?1



3.设

a

是实数,

f

(x)

?

a

?

2

2 x?

1

(

x

?

R)



(1)试证明:对于任意 a, f (x) 在 R 为增函数;

(2)试确定 a 的值,使 f (x) 为奇函数。

分析:此题虽形式较为复杂,但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。还应要求学生

注意不同题型的解答方法。

(1)证明:设 x1, x2 ? R, x1 ? x2 ,则

2

2

f

(x1) ?

f

(x2 )

?

(a

?

2x1

) ? (a ? ?1

2x2

) ?1

?

2 2x2 ?1

?

2 2x1 ?1

?

2(2x1 ? 2x2 ) (2x1 ?1)(2x2 ?1)



由于指数函数 y ? 2x 在 R 上是增函数,且 x1 ? x2 ,所以 2x1 ? 2x2 即 2x1 ? 2x2 ? 0 , 又由 2x ? 0 ,得 2x1?1 ? 0 , 2x2 ?1 ? 0 , 所以, f (x1) ? f (x2 ) ? 0 即 f (x1) ? f (x2 ) . 因为此结论与 a 取值无关,所以对于 a 取任意实数, f (x) 在 R 为增函数。

评述:上述证明过程中,在对差式正负判断时,利用了指数函数的值域及单调性。
(2)解:若 f (x) 为奇函数,则 f (?x) ? ? f (x) ,



a

?

2?

2 x?

1

?

?(a

?

2

2 x?

) 1

变形得: 2a

?

2 ? 2x (2?x ?1) ? 2x

?

2 2x ?1

?

2(2x ?1) 2x ?1



解得: a ?1, 所以,当 a ?1时, f (x) 为奇函数。

三、对数的性质

1.对数定义:一般地,如果 a ( a ? 0且a ? 1)的 b 次幂等于 N, 就是 ab ? N ,那么数 b
叫做 a 为底 N 的对数,记作 loga N ? b ,a 叫做对数的底数,N 叫做真数。
即 ab ? N , loga N ? b

a

N

b

指数式 ab ? N

底数



指数

对数式 loga N ? b

对数的底数

真数

对数

说明:1.?在指数式中幂 N > 0,∴在对数式中,真数 N > 0.(负数与零没有对数)

2.?对任意 a ? 0 且 a ? 1, 都有 a0 ? 1 ∴ loga 1 ? 0 ,同样: loga a ? 1.

3.如果把 ab ? N 中的 b 写成 loga N , 则有 aloga N ? N (对数恒等式).
2.对数式与指数式的互换

例如: 42 ?16 l o g4 1?6 2 1 02 ? 1 0 0 log10 100 ? 2

1
42 ? 2

l o g4

2? 1 2

例 1.将下列指数式写成对数式:

1 0?2 ? 0 . 0 1 log10 0.01 ? ?2

(1) 54 ? 25 ; (2) 2?6 ? 1 ; (3) 3a ? 27 ;
64

(4)

? ??

1 3

m
? ??

?

5.37



解:(1)log5 625 ? 4 ;

(2)log2

1 64

?

?6

;(3)log3

27

?

a



3.介绍两种特殊的对数:

(4)log1 5.37 ? m .
3

①常用对数:以 10 作底 log10 N 写成 lg N

②自然对数:以 e 作底为无理数, e = 2.71828…… , loge N 写成 ln e .

例 2.(1)计算: log9 27 , log354 625 .

解:设 x ? log9 27

则 ax ? 27 ,

32x ? 33 ,

∴x? 3; 2

? ? 令 x ? log354 625,

x
∴ 3 54 ? 625 ,

4x
53

?

54 ,

∴x ?5.

(2)求

x

的值:① log3

x??3 4



? ? ② log???2x2?1??? 3x2 ? 2x ?1 ? 1.

?3
解:① x ? 3 4 ?

1



4 27

② 3x2 ? 2x ?1 ? 2x2 ?1? x2 ? 2x ? 0 ? x ? 0, x ? ?2

? 2x2 ?1 ? 0

但必须:

? ?

2x2 ?1 ?1



??3x2 ? 2x ?1 ? 0

∴ x ? 0 舍去 ,从而 x ? ?2.

(3)求底数:①

log

x

3

?

?

3 5





log

x

2

?

7 8



?3

?5 ?3

?5

解:① x 5 ? 3 ? (3 3 ) 5 ∴ x ? 3 3 ;

7

7

? 8 ?8

② x8 ? 2 ? ??? 27 ??? ,

∴ x ? 2.

4.对数的运算性质:

如果 a > 0 , a ? 1, M > 0 ,N > 0, 那么

(1) loga (MN ) ? loga M ? loga N ;

(2) loga

M N

? loga M

- loga

N;

(3) loga M n ? n loga M (n ? R) .

例 3.计算:

(1)lg14 ? 21g 7 ? lg 7 ? lg18 ; (2) lg 243 ;

3

lg 9

(3) lg 27 ? lg 8 ? 3lg 10 . lg 1.2

解:(1)解法一: lg14 ? 2 lg 7 ? lg 7 ? lg18 3
? lg(2? 7) ? 2(lg 7 ? lg 3) ? lg 7 ? lg(32 ? 2)

? lg 2 ? lg 7 ? 2lg 7 ? 2lg 3 ? lg 7 ? 2lg 3 ? lg 2 ? 0 ;

解法二: lg14 ? 2lg 7 ? lg 7 ? lg18 3
? lg14 ? lg(7)2 ? lg 7 ? lg18 3
= lg 14 ? 7 ? lg1 ? 0 ; (7)2 ?18 3

(2) lg 243 ? lg 35 ? 5lg 3 ? 5 ; lg 9 lg 32 2lg 3 2

(3) lg

27 ? lg 8 ? 3lg lg 1.2

10

1
lg(33 )2
=

1
? lg 23 ? 3lg102
lg 3? 22

?

3 (lg 3 ? 2 lg 2 ?1) 2
lg 3 ? 2 lg 2 ?1

?

3 2



10

5.换底公式: loga

N

?

logm logm

N a

( a > 0 , a ? 1 ; m ? 0, m ? 1)

证明:设 loga N ? x ,则 ax ? N ,

两边取以 m 为底的对数得: logm ax ? logm N ,∴ x logm a ? logm N ,

从而得: x ? log m N , log m a
说明:两个较为常用的推论:



log a N

? log m N . log m a

(1) loga b ? logb a ? 1 ;

(2) logam

bn

?

n m

loga

b

( a 、 b ? 0 且均不为 1).

证明:(1)

log a

b ? log b

a

?

lg b lg a

?

lg a lg b

?1;

(2)

logam

bn

?

lg bn lg am

?

n lg b m lg a

?

n m

loga

b



例 4.计算:(1) 51?log0.2 3 ;

(2) log4 3?log9 2 ? log2 4 32 .

解:(1)原式 =

5 5log0.2 3

?

5

5log5

1 3

?

5 1 3

? 15 ;

(2) 原式 =

1 2

log 2

3?

1 2

log 3

2

?

5 4

log 2

2

?

1 4

?

5 4

?

3 2



例 5.已知 log18 9 ? a ,18b ? 5 ,求 log36 45 (用 a, b 表示).

解:∵ log18 9 ? a ,
∴ log18 2 ? 1? a , 又∵18b ? 5 ,



log18

18 2

?

1

?

log18

2

?

a



∴ log18 5 ? b ,

∴ log 36

45

?

log 18 log 18

45 36

?

log18 9 ? log18 1 ? log18 2

5

?

a 2

?b ?a



例 6.设 3x ? 4 y ? 6z ? t ? 1 ,求证: 1 ? 1 ? 1 . z x 2y

证明:∵ 3x ? 4 y ? 6z ? t ? 1,

∴ x ? lg t ,y ? lg t ,z ? lg t ,

lg 3

lg 4

lg 6

∴ 1 ? 1 ? lg 6 ? lg 3 ? lg 2 ? lg 4 ? 1 . z x lg t lg t lg t 2 lg t 2 y

例 7.若 log8 3 ? p , log3 5 ? q ,求 lg 5 .

解:∵ log8 3 ? p ,

∴ log 2 3 ? 3p ? lg 3 ? 3p lg 2 ? 3p(1? lg 5) ,

又∵

log 3

5

?

lg lg

5 3

?

q



∴ lg 5 ? q lg 3 ? 3pq(1? lg 5) ,

∴ (1? 3pq) lg 5 ? 3pq

∴ lg 5 ? 3 pq . 1? 3pq

四、对数函数

1.对数函数的定义:函数 y ? log a x (a ? 0且a ? 1) 叫做对数函数。
2.对数函数的性质:
(1)定义域、值域:对数函数 y ? loga x (a ? 0且a ? 1) 的定义域为 (0,??) ,值域为

(??,??) .
(2)图象:由于对数函数是指数函数的反函数,所以对数函数的图象只须由相应的指数
函数图象作关于 y ? x 的对称图形,即可获得。 同样:也分 a ? 1 与 0 ? a ? 1两种情况归纳,以 y ? log 2 x (图 1)与 y ? log 1 x (图 2)为
2
例。

y ? 2x y? x

1

y ? log2 x

1

(图 1)

y ? (1)x 2

y? x
1 1
y ? log1 x
2

(图 2)

(3)对数函数性质列表:
a ?1

0? a ?1

x ?1 y ? loga x
图 象
(1, 0)

x ?1
(1, 0) y ? loga x

(1)定义域: (0, ??) 性 (2)值域: R 质 (3)过点 (1, 0) ,即当 x ? 1时, y ? 0
(4)在(0,+∞)上是增函数 (4)在 (0, ??) 上是减函数

例 1.求下列函数的定义域:
(1) y ? log a x 2 ; (2) y ? log a (4 ? x) ; (3) y ? log a (9 ? x 2 ) .

分析:此题主要利用对数函数 y ? log a x 的定义域 (0, ??) 求解。

解:(1)由 x 2 >0 得 x ? 0 ,
? ? ∴函数 y ? log a x2 的定义域是 x x ? 0 ;
(2)由 4 ? x ? 0 得 x ? 4,
? ? ∴函数 y ? log a (4 ? x) 的定义域是 x x ? 4 ;
(3)由 9- ? x2 ? 0 得-3 ? x ? 3,

? ? ∴函数 y ? log a (9 ? x 2 ) 的定义域是 x ? 3 ? x ? 3 .
例 2.比较下列各组数中两个值的大小:
(1) log2 3.4 , log2 8.5 ; (2) log0.3 1.8 , log0.3 2.7 ; 解:(1)对数函数 y ? log2 x 在 (0, ??) 上是增函数,
于是 log2 3.4 ? log2 8.5 ; (2)对数函数 y ? log0.3 x 在 (0, ??) 上是减函数,
于是 log0.3 1.8 ? log0.3 2.7 ;

(3) loga 5.1 , loga 5.9 .

(3)当 a ?1时,对数函数 y ? loga x 在 (0, ??) 上是增函数,

于是 loga 5.1 ? loga 5.9 ,

当 o ? a ? 1时,对数函数 y ? loga x 在 (0, ??) 上是减函数,

于是 loga 5.1 ? loga 5.9 .

例 3.比较下列比较下列各组数中两个值的大小:

(1) log6 7 , log7 6 ;

(2) log3 ? , log2 0.8 ;

(3)1.10.9 , log1.1 0.9 , log0.7 0.8 ;

(4) log5 3 , log6 3 , log7 3 .

解:(1)∵ log6 7 ? log6 6 ? 1 ,

log7 6 ? log7 7 ? 1,

∴ log6 7 ? log7 6 ;

(2)∵ log3 ? ? log3 1 ? 0 ,

log2 0.8 ? log2 1 ? 0 ,

∴ log3 ? ? log2 0.8 . (3)∵1.10.9 ? 1.10 ? 1,

log1.1 0.9 ? log1.11 ? 0 , 0 ? log0.7 1 ? log0.7 0.8 ? log0.7 0.7 ? 1, ∴1.10.9 ? log0.7 0.8 ? log1.1 0.9 .

(4)∵ 0 ? log3 5 ? log3 6 ? log3 7 , ∴ log5 3 ? log6 3 ? log7 3 .
例 4.已知 logm 4 ? logn 4 ,比较 m , n 的大小。

解:∵ logm 4 ? logn 4 ,

∴1 ?1, log4 m log4 n

当 m ? 1, n ?1时,得 0 ? 1 ? 1 , log4 m log4 n

∴ log4 n ? log4 m, ∴ m ? n ?1.

当 0 ? m ?1, 0 ? n ? 1时,得 1 ? 1 ? 0 , log4 m log4 n

∴ log4 n ? log4 m, ∴ 0 ? n ? m ?1.

当 0 ? m ?1, n ?1时,得 log4 m ? 0 , 0 ? log4 n ,

∴0 ? m ?1,n ?1, ∴0 ? m?1? n .

综上所述, m , n 的大小关系为 m ? n ?1或 0 ? n ? m ?1或 0 ? m ?1? n .

例 5.求下列函数的值域:

(1)y ? log2 (x ? 3) ;(2)y ? log2 (3 ? x2 ) ;(3)y ? loga (x2 ? 4x ? 7)( a ? 0 且 a ? 1).

解:(1)令 t ? x ? 3 ,则 y ? log2 t ,

∵ t ? 0 , ∴ y ? R ,即函数值域为 R .

(2)令 t ? 3 ? x2 ,则 0 ? t ? 3 , ∴ y ? log2 3 , 即函数值域为 (??, log2 3] .
(3)令 t ? x2 ? 4x ? 7 ? (x ? 2)2 ? 3 ? 3 ,

当 a ?1时, y ? loga 3 , 即值域为[loga 3, ??) , 当 0 ? a ? 1时, y ? loga 3 , 即值域为 (??, loga 3] .

例 6.判断函数 f (x) ? log2( x2 ?1 ? x) 的奇偶性。 解:∵ x2 ?1 ? x 恒成立,故 f (x) 的定义域为 (??, ??) ,

f (?x) ? log2( x2 ?1 ? x)

? ? log2

1 x2 ?1 ? x

? ? log2 (

x2 ?1 ? x x2 ?1)2 ? x2

? ?log2 x2 ?1 ? x ? ? f (x) , 所以, f (x) 为奇函数。

例 7.求函数 y ? 2log1 (x2 ? 3x ? 2) 的单调区间。

3

解:令 u ? x2 ? 3x ? 2 ? (x ? 3)2 ? 1 在[ 3 , ??) 上递增,在 (??, 3] 上递减,

2 42

2

又∵ x2 ? 3x ? 2 ? 0 , ∴ x ? 2 或 x ?1,

故 u ? x2 ? 3x ? 2 在 (2, ??) 上递增,在 (??,1) 上递减, 又∵ y ? 2 log1 u 为减函数,

3

所以,函数 y ? 2log1 (x2 ? 3x ? 2) 在 (2, ??) 上递增,在 (??,1) 上递减。

3

例 8.若函数 y ? ? log2 (x2 ? ax ? a) 在区间 (??,1? 3) 上是增函数, a 的取值范围。

解:令 u ? g(x) ? x2 ? ax ? a ,

∵函数 y ? ? log2 u 为减函数, ∴ u ? g(x) ? x2 ? ax ? a 在区间 (??,1? 3) 上递减,且满足 u ? 0 ,



? ? ?

a 2

?

1

?

3

,解得 2 ? 2 3 ? a ? 2 ,

??g(1? 3) ? 0

所以, a 的取值范围为[2 ? 2 3, 2] .


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