lln5201314:242平面向量数量积的坐标表示,模,夹角22424-PPT精品文档_图文

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2.4.2

平面向量数量积的 坐标表示、模、夹角

复习

? ? 1、向量夹角的定义: OA ? a , OB ? b , 则 ? AO ? ? ? ? a 与 b 共起点,范 [ 0 , ? ]

?? ? ? ? b ? | a || b | cos ? 2、数量积的定义: a

规定0与任何向量的数量积为0 ? ? ? 3、投影: |b|cos ?叫做 b 在 a 方向上的投 4、数量积的几何意义:

? ? ? ? ? ? a?b 的长度 | a |与b 等于 a 在 a 方向上的投 ? |b|cos ? 的乘积。

5、数量积的重要性质 ? ? ? ? 方向相同的 e 是与 b 、 b是非零向量, 设a

? ? 单位向量, ? 是 a 与 e的夹角,则 ? ?? ?? ( 1 ) e ? a ? a ? e ? | a | cos ? ?? ? ( 2 ) a ? b ? a ? b ? 0 ? ?? ?? ? ( 3 ) 当 a 与 b 同向时, a ? b ? | a || b |; ? ? ?

?

? a?b (4 )cos ?? ? ? |a||b|

? ? ? 当 a 与 b 反向时, a ? b ? ? | a || b |; ? ? ?2 ? ?? 特别地, a ?a? |a | 或 |a | ?a ?a ?

? ?? ? ( 5 ) | a ? b | ? | a || b |

二、新课学习
1、平面向量数量积的坐标表示

如图, i 是x轴上的单位向量, j 是y 轴上的单位向量,

?所以 由于 a?b? a ? b c os
i ? i ?1 . j ? j ? 1 .
i ? j ? j ? i ?0 .
b

y A(x ,y ) 1 1
j

B(x2,y2)

a

o i

x

一.平面两向量数量积的坐标表示

a ? x , y , b ? x , y a , b 非 零 向 量 ? ? ? ? 1 1 2 2

?

?

a ? x i? yj ,b ? x i? yj 1 1 2 2
a ?? b ( x i ? y jx ) ( i ? y j ) 1 1 2 2
2 2 ? x x i ? x y i ? j ? x y i ? j ? y y j 1 2 1 2 2 1 1 2

i ? i ?1 ,

j ? j ?1 , i?j? j?i ? 0

? a ? b ? x x ? y y 12 12

故两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和。即 y A(x ,y )
1 1

a ?b ? x x y y . 1 2? 1 2

B(x2,y2)
b
j

a
i

o

x

根据平面向量数量积的坐标表示,向量 的数量积的运算可转化为向量的坐标运算。

2、向量的模和两点间的距离公式
2

( 1 ) a ?a ? a或 a? a ?a ;

(1)向量的模 设a ? ( x, y ),则 a ? x ? y , 或 a ?
2 2 2 2 2

x ?y ;

(2)两点间的距离公式 设A(x1 , y1 )、B( x2 , y2 ), 则 AB ? (x1 ? x2 ) ? (y1 ? y2 )
2 2

3、两向量垂直和平行的坐标表示 (1)垂直 a ? b ? a ? b ? 0

设 a? ( x ,y ), b?(x 则 1 1 2, y 2), a? b? x x 0 1 2 ?y 1y 2?
(2)平行 设 a? ( x ,y ), b?(x 则 1 1 2, y 2),

a // b? x x 0 1y 2? 2y 1?

4、两向量夹角公式的坐标运算
? 设 a 与 b 的夹角为 ?( 0? ?? ?180 ),

则 cos ??

a? b ab

设 a? ( x b? (x2, y2), 且 a 与 b 夹角为 ? , 1, y 1), (0 ?? ?180 )则 cos ??
? ? 2 1 2 1 2 2

x 1x 2 ?y 1y 2 x ?y ? x ?y
2 1 2 1 2 2 2 2 2 2

.

其中 x ? y ?0 , x ? y ?0.

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
例1

已 知 a ? ( ? 3 , 4 ) , b ? ( 6 , ? 8 ) , 求 a , b , a ? b , a ? b ? a ? b .

5 10 ?50 ? 75

?? ??

练习 1.设a =(2,3),b =(-1,-2),c=(2,1),求

( a ? bc ) ? ; ab ? (? c )
解: a ? b ? 2? (?1) ? 3? (?2) ? ?8
?(a ? b ) ? c ? ?8 ? (2,1) ? (?16, ?8) b ? c ? (?1) ? 2 ? (?2) ?1 ? ?4 ?a ? (b ? c ) ? ?4 ? (2,3) ? (?8, ?12)

1.处理向量垂直问题

已 知 a? ( 1 ,x ) ,b? ( 3 , 1 ) 例2 .

( 1 ) 当 x 为 何 值 时 , 2 a + b 与 a? 2 b 平 行 ?

( 2 ) 当 x 为 何 值 时 , 2 a + b 与 a? 2 b 垂 直 ?

1 ( 1) ? 3

3 (2) ? 3或 2

例3 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),
试判断?ABC的形状,并给出证明.
证明 : ? AB ? ( 2 ? 1 , 3 ? 2 ) ? ( 1 , 1 )

y B(2,3) A(1,2)

C(-2,5) AC ? ( ? 2 ? 1 , 5 ? 2 ) ? ( ? 3 , 3 )
? AB ? AC ? 1 ? ( ? 3 ) ? 1 ? 3 ? 0

? AB ?AC

0 ? 三角形 ABC 是直角三角形 .

x

变式

在△ABC中,AB =(2, 3), AC =(1, k),

且△ABC的一个内角为直角,求k值. 解:当A = 90?时,AB ? AC=0, ∴2×1+3×k=0 2 ? ∴k = 3 当B = 90?时, AB ? BC= 0,BC = A C ? AB = (?1, k?3)
11 ∴2×(?1) +3×(k?3) = 0 ∴k = 3

当C = 90?时, AC ? BC = 0,

3 ? 13 ∴?1 + k(k?3) = 0 ∴k = 2

3 11 3 ? 13 ? 或 或 综上所述 k? 2 3 2

在直角坐标系xoy中,i,j 分别是与x轴,y轴正方向 同向的单位向量,在Rt△ABC中,AB=2i+j, AC=3i+kj,则 k 的可能值个数是( )
A.1 B. 2 C. 3 D. 4

2.处理向量的夹角问题
,又c=2a+b,d=a+mb, 例4 设a=(1,2),b=(-2,-3) 0

若c与d的夹角为45 ,求实数m的值。 3 m ? 5 1.已知 a ? ( 1 , 2 ) , b ? ( ? 2 , ? 4 ) , || c ? 5 2 ? 5 若 (a ? b ) ? c ? ,则a与c的夹角为 3 2 13 0 0 2.已知 a ? ( c o s ? , s i n ? ) ( 0 ? ? ? 3 6 0 ) , b ? ( ? , ) 22 ? 则a+b与a-b的夹角为

2

3 : 若 向 量 b 与 向 量 a = ( 1 , 2 ) 的 夹 角
(-3,6) 为 1 8 0 , 且 | b | = 3 5 , 则 b = _ _ _ _ _
o

23 4 : 已 知 a= ( 3 mm , ) ( m<0 ) , b= ( 2 , ) , 3 则 a 与的 b 夹 角 ? 是 ( )A A6 0
o

B 9 0

o

C1 2 0 D由 m 的 取 值 确 定

o

3.处理向量模的问题

??? ( c o s , s i n ) , b ? ( 3 ,1 ? ) 1.向量 a 则 | 2 a - b | 的最大值,最小值分别是 4 , 0

? ? 1 3 0 0 2 . 已知 a? (cos ? ,sin ? )( 0? ??360 ), b? ( ? , ). 2 2 ? ? ? ? ( 1 )若 | 3 a? b|? | a? 3 b|, 求 ?的值。 ? ? ? ? ( 2 )求向量 a? b 与 a? b 的夹角。

? ( c o s ? , s i n ? ) ,( b ? c o s ? , s i n ? ) , 0 ? ? ? ? ? ? 3.已知 a (1)求证: a ? b 与 a ? b 互相垂直; (2)若 ka ? b 与 a ? kb 的长度相等, 求 β - α 的值. (k为非零的常数)

1.设向量 a 与 b 的夹角为 θ,且 a=(3,3),2b-a=(-1,1),求 sin θ
2

2.若 a=(2,3),b=(-4,7),求 a 在 b 方向上的投影。

3.a=(-4,3),b=(5,6),求 3|a| -4a· b
4.已知一次函数y=-x+a的图象交抛物线 y=x2的
2+5a 图象于A,B两点,O是坐标原点,若 O A? O B> 6

求实数a的取值范围。

5.已知向量 a= (- 3,2), b= (2,1),t∈ R. 求 |a+ tb|的最小值及相应的 t 值.

? ? ? 1 . 已知向量 a ? (cos ? , sin ? ), b ? (cos ? , sin ? ), c ? ( ? 1 , 0 ). ? ? ( 1 ) 求向量 b ? c 的长度的最大值。 ? ? ?? ( 2 ) 设 ? ? 且 a ? ( b ? c ) ,求 cos ? 的值。 4

? 1 3 ? 2 . 已知 a?( 3 ,? 1 ), b?( , ), 存在实数 k 和 t使得 2 2 2 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? k? t x?a?( t ? 3 ) b , y?? k a? tb ,且 x?y ,试求 t 的最小值。

平面向量的应用
一、证明不等式

1 . 证明:对于任意的 a ,b ,c ,d ? R ,不等式
2 2 2 2 2

( ac ? bd )? ( a? b)( c? d) 恒成立。 ? ? ? ? ?? 提示:构造向量 m , n , 利用不等 | m ? n | ? | m || n |

变式
2 . 设 ( x? y)( a? b)? ( ax ? by )( ab ? 0 ), x y 求证: ? a b
2 2 2 2 2

4 4 2 2 3 32 1 . 设 a ,b 为不等正数,求证: ( a ? b )( a ? b )? ( a ? b )

2 . 已知 x? y? 3 , a? b? 4 , x ,y , a , b ? R ,
2 2 2 2

求 ax ? by 的最值。

2 2 2 2 3 . 已知 a 1 ? b ? b 1 ? a ? 1 , 求证: a ? b ? 1

4 . 已知 y ? x? 1 ?( 1 ? x )? 4 ,求 y 的最小
2 2

例2.如图,连接平行四边形ABCD的一个顶点至AD、DC边 的中点E、F,BE、BF分别与AC交于R、T两点,你能发现 AR、RT、TC之间的关系吗? 解 : 设 A B ?? a , A D b , 则 A C ? a ? b , F C D A R ? n ( a ? b ) A RA 与 C 共 线 ,设 T 1 E 又 E B ? A BA ?E ? a ?b R
E R 与共 E B线 , 1 ? 设 E R ? m E B ? m ( a ?b ) 2
2

A

B

1 1 1 A R ? A E ? E R ? b ??? m ( ab ) m a ? ( 1 ? m ) b 2 2 2 1 n?m ? n ( a ? b ) ? m a ?( 1 ? m ) b ? 1 ? 2 解得n ? m ? ?? 1 1 3 ?AR ? AC ? n ? (1 ? m )

1 1 A RR TT ? C 同 理 T C ?A C ,R T ?A C ?? 3 3

3

?

2

练习: 已 知 直 角 三 角 形 的 两 直 角 边 长 为 4 和 6 , 试 用

向 量 方 法 求 两 直 角 边 中 线 所 成 钝 角 的 余 弦 值 .
解法一: 如 图 以 A BA , C 分 别 为 x 轴 ,

y 轴 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 , 则 A 0 ,,, 0 , B 4 0 , C 0 6 , ? ? ? ? ? ?

C
E

y

6
B

易 知 两 中 点 为 E 0 , 3 , F 2 , 0 , ? ? ? ?

? B E ? ? 4 , 3 , C F ? 2 ,6 ? ? ? ? ? O ?? B E C F ? 4 ? 2 ? 3 ? ? 62 ? ? 6 ?? ??
2 2 2 2

A

F 4

x

B E ? ? 4 ? 3 ? 5 , C F ?? 2 ? 62 ? 1 0 ?? ?? ? 2 6 1 3 B E C F ? ?? 1 0 ? c o s? B E ,C F ? ? 5 0 ? 21 0 B E ?C F 5

练习: 已 知 直 角 三 角 形 的 两 直 角 边 长 为 4 和 6 , 试 用

向 量 方 法 求 两 直 角 边 中 线 所 成 钝 角 的 余 弦 值 . 1 1 法二 设 A B ? a , A C ? b , 则 B E ? ? a ? b , C F ? ? b ? a 2 2 C 1? 1? ? ? ? B E C F ??? b ?? b a ?a 2 ? ? ? 2 6 ? ? ? ? E 12 12 ? ? a? b? ?? 81 8 ? ? 2 6 2 2 B A F 4 B E ? 5 ,C F ? 21 0

? 2 6 1 3 ? c o s? B E ,C F ? ? ? ?? 1 0 5 0 B E ?C F 5 ? 21 0
B E C F

练习1、证明直径所对的圆周角是直角 如图所示,已知⊙O,AB为直径,C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°
分析:要证∠ACB=90°,只须证向 A 量 AC ? CB ,即 AC ?CB ?0。 解:设 A 则 Oa ?, O C ? b
O

C B

A C ? a ? b , C B ? a ? b
A C ? C B ? abab ? ?
2 2 2 2

? ? ? ?

? a? b ?a ?b ?r ? r ?0
2 2

即 A ,∠ACB=90° C ? C B ? 0

例3. 已知正方形ABCD中,如图点P为对角线AC上任一 点,PE⊥AB于点E,PF ⊥BC于点F,连接DP、EF, C D 求证: DP⊥EF. 证明: 设 A B ? a , A D ? b , P F A ,P , C 三 点 共 线 , 则 设 A P ? ? A C ? ? ab ?

E P ? ? A D ? ? b ? A E ?? A B a , P F ? E B ? 1 ? a , ? ?

? D P ? A P ? A D ? a ? b ? b ? a ? ? 1 b ? ?
E F ??? E P P F b ? 1 ? a ? ?
2 2

??

? ?

? ? ? ? ? D P E F ? a ? ? 1 b b ? 1 ? a ? ? ? ? ? ? ? ?

?

? ? 1 ? ? a ? ? ? ? 1 b ? 0 基向量法 ? ? ? ? ab ? 0 ,a?b ? D P ? E F 即 D P ? E F .

? ? ??
?

? ?

? ? ?? ?

?

A

E

B

证明二: 如 图 以 A BA , D 分 别 为 x 轴 ,

y
C
F

y 轴 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 , P 不 妨 令 正 方 形 边 长 为 1 , 则 A 0 , 0 , B 1 , 0 , C 1 , 1 , D 0 , 1 ? ?? ??? ? ? 设 P , 则 E , 0 , F 1 ,? , ?, ? ? ? ? A E ? D P = ,? 1 , E F = 1 ? ,? , ? ? ?

D

? ? ? ? ? D P E F = ? , ? ? 1 1 ? ? , ? ? ? ? ?
建系坐标法

? ? ?

?

B

x

= ? 1 ? ? ? ? ? 1 ? ? 0 ? ? ? ? ? D P ? E F 即 D P ? E F .


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