吉林省东北师范大学附属中学2015-2016学年高中数学 2.3第04课时 椭圆的简单几何性质教案 理


课题:

椭圆的简单几何性质

课时:04 课型:新授课 教学目标: 1.知识与技能目标 了解用方程的方法研究图形的对称性;了解椭圆的第二定义,准线及焦半径的概念 理解椭圆的范围、对称性及对称轴,对称中心、离心率、顶点的概念; 2.过程与方法目标 引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点,在本节中不仅要注意 通过对椭圆的标准方程的讨论, 研究椭圆的几何性质的理解和应用, 而且还注意对这种研究 方法的培养. 3.情感、态度与价值观目标 在合作、互动的教学氛围中,通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探 究,教学相长的教学活动情境,结合教学内容,培养学生科学探索精神、审美观和科学世界 观,激励学生创新. 教学过程: (1) 复习和预习: 知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质. 提问:研究曲线的几何特征有什么意义?从哪些方面来研究? 通过对曲线的范围、 对称性及特殊点的讨论, 可以从整体上把握曲线的形状、 大小和位置. 要 从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质. (2)椭圆的简单几何性质 ①范围:由椭圆的标准方程可得,

y2 x2 ? 1 ? ? 0 ,进一步得: ? a ? x ? a ,同理 b2 a2

可得: ?b ? y ? b ,即椭圆位于直线 x ? ? a 和 y ? ?b 所围成的矩形框图里; ②对称性:由以 ?x 代 x ,以 ? y 代 y 和 ?x 代 x ,且以 ? y 代 y 这三个方面来研究椭 圆的标准方程发生变化没有,从而得到椭圆是以 x 轴和 y 轴为对称轴,原点为对称中心; ③顶点:先给出圆锥曲线的顶点的统一定义,即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点 叫做圆锥曲线的顶点.因此椭圆有四个顶点,由于椭圆的对称轴有长短之分,较长的对称轴 叫做长轴,较短的叫做短轴; ④ 离 心率 : 椭圆 的焦 距与 长 轴长 的比 e ?

c 叫 做 椭圆的 离 心率 ( 0 ? e ? 1 ) , a

?当e ? 1时,c ? a,,b ? 0 ?当e ? 0时,c ? 0,b ? a ;? . ? ?椭圆图形越扁 ?椭圆越接近于圆
(3)例题讲解与引申、扩展 例 4: 求椭圆 16 x ? 25 y ? 400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.
2 2

分析:由椭圆的方程化为标准方程,容易求出 a, b, c .引 导学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、焦点和顶点的定义即
1

可求相关量. 扩展:已知椭圆 mx ? 5 y ? 5m ? m ? 0? 的离心率为 e ?
2 2

10 ,求 m 的值. 5

解法剖析:依题意, m ? 0, m ? 5 ,但椭圆的焦点位置没有确定,应分类讨论:①当焦 点在 x 轴上, 即 0 ? m ? 5 时, 有 a ? 5, b ? ∴ m, c ? 5 ? m ,

5?m 5

?

2 5

, 得m ? 3 ;

② 当 焦 点 在 y 轴 上 , 即 m?5 时 , 有 a?

m , b ? 5 , c ?

m ?, 5 ∴

m?5 m

?

1 0 2 5 . ?m? 5 3

例 5: 如图, 一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分. 过对对称的截口 BAC 是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点 F1 上,片门位于另一个焦点 F2 上,由椭圆一个 焦点 F1 发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点 F2 .已知 BC ? F1 F2 ,

F1 B ? 2.8cm , F1 F2 ? 4.5cm .建立适当的坐标系,求截口 BAC 所在椭圆的方程.
解法剖析:建立适当的直角坐标系,设椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,算出 a, b, c 的 a 2 b2

值;此题应注意两点:①注意建立直角坐标系的两个原则;②关于 a, b, c 的近似值,原则上 在没有注意精确度时,看题中其他量给定的有效数字来决定. 引申:如图所示, “神舟”截人飞船发射升空,进入预定 轨道开始巡天飞行,其轨道是以地球的中心 F2 为一个焦点的椭 圆,近地点 A 距地面 200km ,远地点 B 距地面 350km ,已知 地球的半径 R ? 6371km .建立适当的直角坐标系,求出椭圆 的轨迹方程. 例 6:如图,设 M ? x, y ? 与定点 F ? 4,0? 的距离和它到直线 l : x ?

25 的距离的比是常数 4

4 ,求点 M 的轨迹方程. 5
分 析 : 若 设 点 M ? x, y ? , 则 M F ?

?

2 x ?4? ? y ,到直线 l : x ? 2

25 的距离 4

d ? x?

25 ,则容易得点 M 的轨迹方程. 4

引申: (用 《几何画板》 探究) 若点 M ? x, y ? 与定点 F ? c,0?

2

的距离和它到定直线 l : x ?

a2 c 的距离比是常数 e ? ? a ? c ? 0? ,则点 M 的轨迹方程是 a c a2 相应于 F 的准线;由椭圆的对称性,另 c

椭圆.其中定点 F ? c,0? 是焦点,定直线 l : x ?

一焦点 F ? ? ?c,0? ,相应于 F ? 的准线 l ? : x ? ? 课堂练习:第 49 页 6、7、8

a2 . c

课学小结:

课后作业:第 50 页 1、2、3

3


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