2019年【课堂坐标】高中数学北师大版必修四学业分层测评:第2章 §5 从力做的功到向量的数量积 W

2019 年北师大版精品数学资料

学业分层测评
(建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.已知 a,b 为单位向量,其夹角为 60° ,则(2a-b)· b 等于( A.-1 C.1 B.0 D.2 )

【解析】 (2a-b)· b=2a· b-b2=2|a|· |b|· cos 60° -b2.又|a|=1,|b|=1,故(2a -b)· b=1-1=0. 【答案】 B

2.已知平面向量 a,b 满足|a|=3,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60° ,若(a-mb) ⊥a,则实数 m 的值为( A.1 C.2 ) 3 B.2 D.3

【解析】 因为(a-mb)⊥a,所以(a-mb)· a=a2-mb· a=32-m×2×3×cos 60° =9-3m=0. 所以 m=3. 【答案】 D )

3.已知 a,b 方向相反,且|a|=3,|b|=7,则|2a-b|=( A.1 C.2 【解析】 B.13 D.3 因为|2a-b|2=(2a-b)2=4a2-4a· b+b2

=4×32-4×3×7×cos 180° +72=169, 所以|2a-b|=13. 【答案】 B

→ → 4.(2015· 四川高考)设四边形 ABCD 为平行四边形,|AB|=6,|AD|=4.若点

→ → → → → → M,N 满足BM=3MC,DN=2NC,则AM· NM=( A.20 C.9 【解析】 B.15 D.6 如图所示,由题设知:

)

→ → → → 3→ AM=AB+BM=AB+4AD, → 1→ 1 → NM=3AB-4AD, → → ? → 3 → ? ?1 → 1 → ? ? AB-4AD? ∴AM· NM=?AB+4AD?· ? ? ?3 ? 1→ 3 → 1→ → 1→ → =3|AB|2-16|AD|2+4AB· AD-4AB· AD 1 3 =3×36-16×16=9. 【答案】 C

2 2 5.(2015· 重庆高考)若非零向量 a,b 满足|a|= 3 |b|,且(a-b)⊥(3a+2b), 则 a 与 b 的夹角为( π A.4 3π C. 4 【解析】 ) π B.2 D.π 由(a-b)⊥(3a+2b)得(a-b)· (3a+2b)=0,即 3a2-a· b-2b2=0.

2 2 8 2 2 又∵|a|= 3 |b|, 设 〈a, b〉 =θ, 即 3|a|2-|a|· |b|· cos θ-2|b|2=0, ∴3|b|2- 3 |b|2· cos 2 π θ-2|b|2=0,∴cos θ= 2 .又∵0≤θ≤π,∴θ=4. 【答案】 二、填空题 6.已知|a|=1,|b|=3,|a-b|=4,则|a+b|=________. A

【解析】

因为|a-b|2=(a-b)2=a2-2a· b+b2=1-2a· b+9=16.

所以 2a· b=-6,又|a+b|2=a2+2a· b+b2=1-6+9=4,即|a+b|=2. 【答案】 2

7.已知 a⊥b,c 与 a,b 的夹角均为 60° ,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则(a- 2b-c)2=________. 【解析】 (a-2b-c)2=|a|2+4|b|2+|c|2-4a· b-2a· c+4b· c.

∵a⊥b,∴a· b=0. 1 3 a· c=|a||c|cos 60° =1×3×2=2, 1 b· c=|b||c|cos 60° =2×3×2=3, 3 ∴原式=1+4×4+9-2×2+4×3=35. 【答案】 35

π 8.已知 a,b,c 为单位向量,且满足 3a+λb+7c=0,a 与 b 的夹角为3, 则实数 λ=________. 【导学号:66470056】 【解析】 由 3a+λb+7c=0,可得 7c=-(3a+λb),即 49c2=9a2+λ2b2+

π 6λa· b,而 a,b,c 为单位向量,则 a2=b2=c2=1,则 49=9+λ2+6λcos3,即 λ2 +3λ-40=0,解得 λ=-8 或 λ=5. 【答案】 三、解答题 9.已知|a|=3,|b|=4,且(a+2b)· (2a-b)≥4,求 a 与 b 的夹角 θ 的范围. 【解】 a· b≥6, 6 1 a· b a· b ∴cos θ=|a||b|= ≥ =2. 3×4 3×4 π? ? 又∵θ∈[0,π],∴θ∈?0,3?. ? ? 10.已知 a⊥b,且|a|=2,|b|=1,若有两个不同时为零的实数 k,t,使得 a +(t-3)b 与-ka+tb 垂直,试求 k 的最小值. 由(a + 2b)· (2a -b)= 2a2 - 2b2 + 3a· b= 2×32-2×42 + 3a· b≥4 ,得 -8 或 5

【解】

∵a⊥b,∴a· b=0,

又由已知得[a+(t-3)b]· [-ka+tb]=0, ∴-ka2+t(t-3)b2=0. ∵|a|=2,|b|=1, ∴-4k+t(t-3)=0, 1 1? 3? 9 ∴k=4(t2-3t)=4?t-2?2-16(t≠0). ? ? 3 9 故当 t=2时,k 取最小值-16. [能力提升] → → → → → → → 1. 已知平面上三点 A, B, C 满足|AB|=3, |BC|=4, |CA|=5, 则AB· BC+BC· CA → → +CA· AB的值等于( A.-25 C.-15 【解析】 ) B.-20 D.-10 → → → → → → → → → ∵ AB+BC+ CA=0 ,∴ |AB+ BC +CA|2 = |AB|2 + |BC|2+ |CA|2+

→ → → → → → → → → → → → 2AB· BC+2BC· CA+2AB· CA=9+16+25+2(AB· BC +BC· CA+ AB· CA)=0 ,∴ → → → → → → AB· BC+BC· CA+CA· AB=-25. 【答案】 A

2.已知向量 a,b 的夹角为 120° ,|a|=|b|=1,c 与 a+b 共线,则|a+c|的最 小值为( A.1 3 C.4 【解析】 ) 1 B.2 3 D. 2 ∵c 与 a+b 共线,∴c=λ(a+b),

∴|a+c|2=|a+λ(a+b)|2=|(λ+1)a+λb|2 =(λ+1)2+λ2+2λ(λ+1)a· b =2λ2+2λ+1+2λ(λ+1)×cos 120° ? 1? 3 =λ2+λ+1=?λ+2?2+4. ? ?

1 3 当 λ=-2时,|a+c|min= 2 . 【答案】 D

π 3.若 e1,e2 是夹角为3的两个单位向量,则 a=2e1+e2 与 b=-3e1+2e2 的 夹角为________. 【解析】 π 因为 e1,e2 是夹角为3的两个单位向量,

π 1 1 所以 e1· e2=|e1||e2|cos3=1×1×2=2,
2 |a|2=a2=(2e1+e2)2=4e1 +4e1· e2+e2 2

1 =4×12+4×2+12=7,
2 |b|2=b2=(-3e1+2e2)2=9e1 -12e1· e2+4e2 2

1 =9×12-12×2+4×12=7, a· b=(2e1+e2)· (-3e1+2e2)=-6e2 e2+2e2 1+e1· 2 1 7 =-6×12+2+2×12=-2, 设向量 a 与向量 b 的夹角为 θ, a· b cos θ=|a||b|= 7 -2 7× 7 1 =-2,

2π 又因为 θ∈[0,π],所以 θ= 3 . 【答案】 2π 3

4. 已知平面上三个向量 a, b, c 的模均为 1, 它们相互之间的夹角均为 120° . (1)求证:(a-b)⊥c; (2)若|ka+b+c|>1(k∈R),求 k 的取值范围. 【解】 (1)证明:因为|a|=|b|=|c|=1,且 a,b,c 之间的夹角均为 120° ,

所以(a-b)· c=a· c-b· c=|a||c|cos 120° -|b||c|cos 120° =0,所以(a-b)⊥c. (2)因为|ka+b+c|>1,所以(ka+b+c)2>1,即 k2a2+b2+c2+2ka· b+2ka· c +2b· c>1,所以 k2+1+1+2kcos 120° +2kcos 120° +2cos 120° >1,所以 k2-2k

>0,解得 k<0 或 k>2. 所以实数 k 的取值范围为{k|k<0 或 k>2}.


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