高中数学典型例题解析:立体几何初步学案

第六章 立体几何初步
§6.1 两条直线之间的位置关系 一、知识导学 平面的基本性质.公理 1: 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理 2: 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.公 理 3:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.推论 1:经过一条直线和这条直线外的一点,,有且只有 一个平面.推论 2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论 3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. 空间两条直线的位置关系,包括:相交、平行、异面. 公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行.定理 4:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同, 那么这两个角相等.推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角) 相等. 异面直线.异面直线所成的角;两条异面直线互相垂直的概念;异面直线的公垂线及距离. 反证法.会用反证法证明一些简单的问题. 二、疑难知识导析 1.异面直线是指不同在任何一个平面内,没有公共点.强调任何一个平面. 2.异面直线所成的角是指经过空间任意一点作两条分别和异面的两条直线平行的直线所成的锐角(或直角).一般通 过平移后转化到三角形中求角,注意角的范围. 3.异面直线的公垂线要求和两条异面直线垂直并且相交, 4.异面直线的距离是指夹在两异面直线之间公垂线段的长度.求两条异面直线的距离关键是找到它们的公垂线. 5. 异面直线的证明一般用反证法、 异面直线的判定方法: 如图, 如果 b ? ? ,A ?? 且 A ? b ,a ? ? ? A ,则 a 与 b 异面. 三、经典例题导讲
1. 2. 3. 4. 5.

[例 1]在正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,O 是底面 ABCD 的中心,M、N 分别是棱 DD 1 、D 1 C 1 的 中点,则直线 OM( ). A .是 AC 和 MN 的公垂线. B .垂直于 AC 但不垂直于 MN. C .垂直于 MN,但不垂直于 AC. D .与 AC、MN 都不垂直. 错解:B. 错因:学生观察能力较差,找不出三垂线定理中的射影. 正解:A. [例 2]如图, 已知在空间四边形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,AD 的中点, G,H 分别是 BC,CD 上的点,且 GC
BG

?

DH HC

? 2 ,求证:直线 EG,FH,AC 相交于一点.
1

错解:证明:? E 、F 分别是 AB,AD 的中点,

? EF ∥BD,EF= 2
又 GC
BG

BD,

?

DH HC

? 2 ,?

GH∥BD,GH=

1 3 BD,

? ?

四边形 EFGH 是梯形,设两腰 EG,FH 相交于一点 T,
DH HC

? 2 ,F 分别是 AD.?AC 与 FH 交于一点.

? 直线 EG,FH,AC 相交于一点
正解:证明:? E 、F 分别是 AB,AD 的中点,

? EF

∥BD,EF=

1 2 BD,
1 / 20

又 GC

BG

?

DH HC

? 2,
1 3 BD,

?

GH∥BD,GH=

? 四边形 EFGH 是梯形,设两腰 EG,FH 相交于一点 T, ? EG ? 平面 ABC,FH ? 平面 ACD, ? T ? 面 ABC,且 T ? 面 ACD,又平面 ABC ? 平面 ACD=AC, ? T ? AC ,? 直线 EG,FH,AC 相交于一点 T.
[例 3]判断:若 a,b 是两条异面直线,P 为空间任意一点,则过 P 点有且仅有一个平面与 a,b 都平行. 错解:认为正确. 错因:空间想像力不够.忽略 P 在其中一条线上,或 a 与 P 确定平面恰好与 b 平行,此时就不能过 P 作平面与 a 平行. 正解:假命题. [例 4] 如图,在四边形 ABCD 中,已知 AB∥CD,直线 AB,BC,AD,DC 分别与平面 α 相交于点 E,G,H,F.求 证:E,F,G,H 四点必定共线(在同一条直线上). 分析:先确定一个平面,然后证明相关直线在这个平面内,最后证明四点共线. 证明 ∵ AB//CD, AB,CD 确定一个平面 β. 又∵AB ∩α=E,AB β ,? E ? α,E ? β, 即 E 为平面 α 与 β 的一个公共点. 同理可证 F,G,H 均为平面 α 与 β 的公共点. ∵ 两个平面有公共点,它们有且只有一条通过公共点的公共直线, ∴ E,F,G,H 四点必定共线. 点 评:在立体几何的问题中,证明若干点共线时,先证明这些点都是某两平面的公共点,而后得出这些点都在二 平面的交线上的结论.

[例 5]如图,已知平面 α ,β ,且 α ∩β = .设梯形 ABCD 中,AD∥BC,且 AB

l

α ,CD

β ,求证:AB,CD,

l 共点(相交于一点).
分析:AB,CD 是梯形 ABCD 的两条腰,必定相交于一点 M,只要证明 M 在 l 上,而 l 是两个平面 α ,β 的交 线,因此,只要证明 M∈α ,且 M∈β 即可. 证明: ∵ 梯形 ABCD 中,AD∥BC, ∴AB,CD 是梯形 ABCD 的两条腰. ∴ AB,CD 必定相交于一点, 设 AB ∩CD=M. 又∵ AB α ,CD β ,∴ M∈α ,且 M∈β . ∴ M∈α ∩β . 又∵ α ∩β = ,∴ M∈ , 即 AB,CD, 共点. 点 评:证明多条直线共点时,与证明多点共线是一样的. [例 6]已知:a,b,c,d 是不共点且两两相交的四条直线,求证:a,b,c,d 共面. 分析:弄清楚四条直线不共点且两两相交的含义:四条直线不共点,包括有三条直 线共点的情况;两两相交是指任何两条直线都相交.在此基础上,根据平面的性质, 确定一个平面,再证明所有的直线都在这个平面内. 证明 1? 若当四条直线中有三条相交于一点, 不妨设 a, b, c 相交于一点 线 d 和 A 确定一个平面 α . 2 / 20 A ∴ 直

l

l

l

又设直线 d 与 a,b,c 分别相交于 E,F,G, 则 A,E,F,G∈α . ∵ A,E∈α ,A,E∈a, ∴ a α . 同理可证 b α ,c α . ∴ a,b,c,d 在同一平面 α 内. 2? 当四条直线中任何三条都不共点时,如图. ∵ 这四条直线两两相交, 则设相交直线 a,b 确定一个平面 α . 设直线 c 与 a,b 分别交于点 H,K, 则 H,K∈α . 又∵ H,K∈c,∴ c α . 同理可证 d α . ∴ a,b,c,d 四条直线在同一平面 α 内. 点 评:证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是:首先由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再证明其 余的线(或点)均在这个平面内.本题最容易忽视“三线共点”这一种情况.因此,在分析题意时,应仔细推敲问题中每一 句话的含义. [例 7] 在立方体 ABCD-A1B1C1D1 中, (1)找出平面 AC 的斜线 BD1 在平面 AC 内的射影; (2)直线 BD1 和直线 AC 的位置关系如何? (3)直线 BD1 和直线 AC 所成的角是多少度? 解:(1)连结 BD, 交 AC 于点 O

? DD1 ? 平面AC,? BD就是斜线BD1在平面AC上的射影 .
(2)BD1 和 AC 是异面直线. (3)过 O 作 BD1 的平行线交 DD1 于点 M,连结 MA、MC,则∠MOA 或其补角即为异面直线 AC 和 BD1 所成的角. 不难得到 MA=MC,而 O 为 AC 的中点,因此 MO⊥AC,即∠MOA=90° , ∴异面直线 BD1 与 AC 所成的角为 90° . [例 8] 已知:在直角三角形 ABC 中, ? A 为直角,PA⊥平面 ABC,BD⊥PC,垂足为 D, 求证:AD⊥PC 证明:∵ PA ⊥平面 ABC∴ PA⊥BA 又∵ BA⊥AC ∴ BA⊥平面 PAC ∴ AD 是 BD 在平面 PAC 内的射影 又∵ BD⊥PC ∴ AD⊥PC.(三垂线定理的逆定理) 四、典型习题导练 1.如图, P 是△ABC 所在平面外一点,连结 PA、PB、PC 后,在包括 AB、BC、CA 的六条棱 所在的直线中,异面直线的对数为( ) A.2 对 B.3 对 C.4 对 D.6 对 2. 两个正方形 ABCD、ABEF 所在的平面互相垂直,则异面直线 AC 和 BF 所成角的大小 为 . 3. 在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 体对角线 DB1 与面对角线 BC1 所成的角是 , 它们的距离是 .
BC ? ,CD ? ,DD1 ? 5, 2 2 4.长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 2 14

则 A1C和B1 D1 所成角的大小为_ ___. 3 / 20

5.关于直角 AOB 在定平面α 内的射影有如下判断:①可能是 0°的角;②可能是锐角;③可能是直角;④可能是钝角; ⑤可能是 180°的角. 其中正确判断的序号是_____.(注:把你认为正确的序号都填上). 6.在空间四边形 ABCD 中,AB⊥CD,AH⊥平面 BCD, 求证:BH⊥CD 7.如图正四面体中,D、E 是棱 PC 上不重合的两点;F、H 分别是棱 PA、PB 上的点,且与 P 点 不重合.

求证:EF 和 DH 是异面直线.

§6.2 直线与平面之间的位置关系
一、知识导学 4 / 20

1.

掌握空间直线与平面的三种位置关系(直线在平面内、相交、平行). 直线和平面所成的角,当直线与平面平行或在平面内时所成的角是 0 ,当直线与平面垂直时所成的角是 9 0 ,当 直线与平面斜交时所成的角是直线与它在平面内的射影所成的锐角. 掌握直线与平面平行判定定理(如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和平面平行)和性 质定理(如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行). 直线与平面垂直的定义是:如果一条直线和一个平面内所有直线垂直,那么这条直线和这个平面垂直;掌握直线与 平面垂直的判定定理(如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面)和性质定理 (如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行). 直线与平面的距离(一条直线和一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫做这条直线和这个平 面的距离). 三垂线定理(在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂 直)、逆定理(在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在这个平面内的射影 垂直). 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中:①射影相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段也较长;② 相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段的射影也较长;③垂线段比任何一条斜线段都短.
? ?

2.

3.

4.

5.

6.

7.

二、疑难知识导析 1.斜线与平面所成的角关键在于找射影,斜线与平面所成的角,是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小 的角. 2.在证明平行时注意线线平行、线面平行及面面平行判定定理和性质定理的反复运用. 3.在证明垂直时注意线线垂直、线面垂直及面面垂直判定定理和性质定理的反复运用,同时还要注意三垂线定理及其 逆定理的运用.要注意线面垂直的判定定理中的“两条相交直线”,如果用“无数”或“两条”都是错误的. 4.直线与平面的距离一般是利用直线上某一点到平面的距离.“如果在平面的同一侧有两点到平面的距离(大于 0)相 等,则经过这两点的直线与这个平面平行.”要注意“同一侧”、“距离相等”. 三、经典例题导讲 [例 1]已知平面 ? ∥平面 ? ,直线 l ? 平面 ? ,点 P ? 直线 l ,平面 ? 、 ? 间的距离为 8,则在 ? 内到点 P 的距离为 10, 且到 l 的距离为 9 的点的轨迹是( ) A.一个圆 B.四个点 C.两条直线 D .两个点

[例 2] a 和 b 为异面直线,则过 a 与 b 垂直的平面( ). A.有且只有一个 B.一个面或无数个 C.可能不存在 D.可能有无数个 [例 3]由平面 ? 外一点 P 引平面的三条相等的斜线段,斜足分别为 A,B,C,O 为⊿ABC 的外心,求证: OP

?? .

[例 4]如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=3,AA1=4,M 为 AA1 的中点,P 是 BC 上一点,且由 P 沿棱柱侧面经过棱 CC1 到 M 点的最短路线长为 29 ,设这条最短路线与 C1C 的交点为 N, 求: (1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长; (2)PC 和 NC 的长; 5 / 20

(3)平面 NMP 和平面 ABC 所成二面角(锐角)的大小(用反三角函数表示)

[例 5] P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,Q 是 PA 的中点,求证:PC∥ 平面 BDQ .

[例 6] 在正方体 A1B1C1D1-ABCD 中,E、F 分别是棱 AB、BC 的中点,O 是底面 ABCD 的中点.求证:EF 垂直平面 BB1O. 证明 :

[例 7]如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 BB1 的中点,O 是底面正方形 ABCD 的中心,求证:OE ? 平面 ACD1 .

[例 8].如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 N 在 BD 上, 点 M 在 B1C 上,且 CM=DN,求证:MN∥平面 AA1B1B. 证明: 证法一.如图,作 ME∥BC,交 BB1 于 E,作 NF∥AD,交 AB 于 F,连 EF 则 EF ? 平面 AA1B1B. 6 / 20

? ?

ME BC

?

B1M B1C

,

NF AD
NF AD

?

BN BD

,

ME BC

?

BN BD

?

, ?ME=NF

又 ME∥BC∥AD∥NF,? MEFN 为平行四边形,

? MN∥EF. ? MN∥平面 AA1B1B.
证法二.如图,连接并延长 CN 交 BA 延长线于点 P,连 B1P,则 B1P ? 平面 AA1B1B.

? ?NDC ∽ ?NBP ,?
又 CM=DN,B1C=BD,

DN NB

?

CN NP

.

? CM MB1 ?

DN NB

? CN NP .

? MN ∥B1P.
? B1P ? 平面 AA1B1B, ? MN∥平面 AA1B1B.
证法三.如图,作 MP∥BB1,交 BC 于点 P,连 NP.
CM ? CP . ? MP∥BB1,? MB PB 1

? ?
CM MB1

BD=B1C,DN=CM,? B1M ? BN.

?

DN NB

,? CP PB ?

DN NB

.

? NP∥CD∥AB.? 面 MNP∥面 AA1B1B. ? MN∥平面 AA1B1B.
四、典型习题导练 1.设 a ,b 是空间两条垂直的直线,且 b∥平面 ? 情况中,能够出现的情况有( ). A.0 个 B.1 C.2 个 D.3 个 .则在“a∥平面 ? ”、“a ? ? ”、“a 与 ? 相交”这三种

2.一个面截空间四边形的四边得到四个交点,如果该空间四边形仅有一条对角线与这个截面平行,那么此四个交点围 成的四边形是( ). A.梯形 B.任意四边形 C.平行四边形 D.菱形 ).

3.若一直线和一个平面平行,夹在直线和平面间的两条线段相等,那么这两条线段的位置关系是( A.平行 B.相交 C.异面 D.平行、相交或异面

4.空间四边形的边 AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别是 E 、F 、G 、H ,若两条对角线 BD 、AC 的长分别为 2 和 4, 2 2 则 EG +HF 的值( ). A. 5 B.10 C.20 D.40

7 / 20

5.点 P 、Q 、R 、S 分别是空间四边形 ABCD 四边的中点,则:当 AC ? BD 时,四边形 PQRS 是______形;当 AC=BD 时,四边形 PQRS 是____形. 6.已知两个全等的矩形 ABCD 和 ABEF 不在同一平面内,M 、N 分别在它们的对角线 AC , BF 上,且 CM=BN ,

求证:MN∥ 平面 BCE . 7.如图,已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形,且

?C1CB ? ?C1CD ? ?BCD ? 60?.
(1) (2) 证明 C1C ? BD ; 当 CC1 的值为多少时,能使 A1C ? 平面 C1BD?请给出证明.

CD

§6.3 平面与平面之间的位置关系 一、基础知识导学 1.空间两个平面的位置关系(有交点的是相交;没交点的是平行). 2.理解并掌握空间两个平面平行的定义;掌握空间两个平面平行判定定理(如果一个平面内有两条相交直线都平行于 另一个平面,那么这两个平面平行)和性质定理(如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行). 3.理解并掌握空间两个平面垂直的定义(一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平 面垂直);判定定理(如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直)和性质定理(如果两个平面 垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面). 4.二面角的有关概念(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角)与运算; 二面角的平面角(以二面 角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角),二 面角的平面角的常见作法(定义法、三垂线定理及逆定理法、垂面法等). 二、疑难知识导析 1.两个平面的位置关系关系的判定关键看有没有公共点. 2. 面面平行也是推导线面平行的重要手段; 还要注意平行与垂直的相互联系, 如: 如果两个平面都垂直于同一条直线, 则这两个平面平行;如果两条直线都垂直于一个平面,则这两条直线平行等.在证明平行时注意线线平行、线面平行及面 面平行的判定定理和性质定理的反复运用. 3.对于命题“三个平面两两相交,有三条交线,则这三条交线互相平行或者相交于同一点.”要会证明. 4.在证明垂直时注意线线垂直、线面垂直及面面垂直的判定定理和性质定理的反复运用. 5.注意二面角的范围是 [0, ? ] ,找二面角的平面角时要注意与棱的垂直直线,这往往是二面角的平面角的关键所在 . 求二面角的大小还有公式 cos?=S S ,用的时候要进行交代.在二面角棱没有给出的情况下求二面角大小方法一:补充
/

棱;方法二:利用“如果 ? ? ?=l , 且? ? ?,? ? ?,则l ? ? ”;方法三:公式 cos?=S S 等,求二面角中解三角形
/

时注意垂直(直角)、数据在不同的面上转换. 三、经典例题导讲 [例 1]一直线与直二面角的两个面所成的角分别为α ,β ,则α +β 满足( 0 0 0 0 A.α +β <90 B.α +β ≤90 C.α +β >90 D.α +β ≥90 错解:A. 错因:忽视直线与二面角棱垂直的情况. 8 / 20

).

正解:B. [例 2].如图,△ABC 是简易遮阳棚,A,B 是南北方向上两个定点,正东方向射出的太阳光线与地面成 40°角,为了使遮 阴影面 ABD 面积最大,遮阳棚 ABC 与地面所成的角应为( ). A.90° B.60° C.50° D.45° 错解:A. 正解:C [例 3]已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 底面边长是 10,高是 12,过底面一边 AB,作与底面 ABC 成 60 角的截面面积是_____. 错解: 50 3 .用面积射影公式求解:S 底= 4
3
0

? 50 3 . ?100 ? 25 3, S 截= cos底 60 ?

S

错因:没有弄清截面的形状不是三角形而是等腰梯形. 正解: 48 3 . [例 4]点 O 是边长为 4 的正方形 ABCD 的中心, 点 E ,F 分别是 AD , BC 的中点.沿对角线 AC 把正方形 ABCD 折成直二面角 D-AC-B. (1)求 ?EOF 的大小; (2)求二面角 E ? OF

? A 的大小.

错解:不能认识折叠后变量与不变量.不会找二面角的平面角. 正解: (1)如图,过点 E 作 EG⊥AC,垂足为 G,过点 F 作 FH⊥AC,垂足为 H,则 EG D H E M O G A B F E M A G O B H F C D

?FH ? 2 ,GH ? 2 2



C

因为二面角 D-AC-B 为直二面角,

? EF 2 ? GH 2 ? EG 2 ? FH 2 ? 2EG ? FH cos90?
又在 ?EOF 中, OE ? OF ? 2 ,

? (2 2)2 ? ( 2)2 ? ( 2)2 ? 0 ? 12.

? cos ?EOF ?

OE 2 ? OF 2 ? EF 2 22 ? 22 ? (2 3)2 1 ? ?? . 2OE ? OF 2? 2? 2 2

??EOF ? 120? .
(2)过点 G 作 GM 垂直于 FO 的延长线于点 M,连 EM. ∵二面角 D-AC-B 为直二面角,∴平面 DAC⊥平面 BAC,交线为 AC,又∵EG⊥AC,∴EG⊥平面 BAC.∵GM⊥OF,由三 垂线定理,得 EM⊥OF. ∴ ?EMG 就是二面角 E ? OF ? A 的平面角. 在 Rt ? EGM 中, ?EGM ∴ tan ?EMG

? 90? , EG ? 2 , GM ? OE ? 1 ,

1 2

?

EG ? 2 .∴ ?EMG ? arctan 2 . GM

所以,二面角 E ? OF

? A 的大小为 arctan 2
9 / 20

[例 5]如图,平面 α ∥平面 β ∥平面 γ ,且 β 在 α 、γ 之间,若 α 和 β 的距离是 5,β 和 γ 的距离是 3,直线 l 和α 、 β 、 γ 分别交于 A、 B、 C, AC=12, 则 AB= , BC= . 解 :作 l ′ ⊥ α , ∵ α ∥β ∥γ ,∴

l′与β 、γ 也垂直,

l ′ 与 α 、 β 、 γ 分 别 交 于 A1、 B1、 C1.
因 此 , A1B1 是 α 与 β 平 面 间 的 距 离 , B1C1 是 β 与 γ 平 面 间 的 距 离 , A1C1 是 α 与 γ 之 间 的 距 离 . ∴ A1B1= 5, B1C1= 3, A1C1= 8, 又 知 AC= 12

AB ? AC

?

A 1B 1 A 1C1

,

5?12 ?A B = 8

?

15 2

AB , BC

?

A1B1 B1C1

, BC=

15 ?3 2

5

?

9 2

.

15 答 : AB= 2

, BC= 2

9

.

[例 6] 如图,线段 PQ 分别交两个平行平面α、β于 A、B 两点,线段 PD 分别交 α、β于 C、D 两点,线段 QF 分别交α、β于 F、E 两点,若 PA=9,AB=12,BQ=12, △ACF 的面积为 72,求△BDE 的面积. 解:∵平面 QAF∩α=AF,平面 QAF∩β=BE 又∵α∥β,∴ AF∥BE 同理可证:AC∥BD.∴∠FAC 与∠EBD 相等成互补
1 由 FA∥BE,得:BE:AF=QB:QA=12:24=1:2,∴BE= 2 AF 7 由 BD∥AC,得:AC:BD=PA:PB=9:21=3:7,∴BD= 3 AC

AF ? AC ? sin ?FAC =72 又∵△ACF 的面积为 72,即 1 2
BE ? BD ? sin EBD ? 1 ? 1 ? AF ? 7 AC ? sin ?FAC S ?DBE = 1 2 2 2 3

10 / 20

? 1 AF ? AC ? sin ?FAC ? 7 ? 72 ? 84, =7 6 2 6

答:△BDE 的面积为 84 平方单位. [例 7]如图,B 为 ? ACD 所在平面外一点,M、N、G 分别为 ? ABC、 ? ABD、 ? BCD 的重心. (1)求证:平面 MNG∥平面 ACD (2)求 S ?MNG :S ?ADC 解:(1)连结 BM、BN、BG 并延长交 AC、AD、CD 分别于 P、F、H ∵ M、N、G 分别为△ABC、△ABD、△BCD 的重心,

? 则有: BM MP

BN NF

?

BG GH

?2

连结 PF、FH、PH 有 MN∥PF 又 PF ? 平面 ACD ∴ MN∥平面 ACD 同理:MG∥平面 ACD,MG∩MN=M ∴ 平面 MNG∥平面 ACD. (2)由(1)可知:
MG PH

?

BG BH

?

2 3

AD PH ,又 PH= 1 ∴MG= 2 2 3

AD ∴MG= 1 3



AC, MN ? 1 CD , 同理:NG= 1 3 3

∴ △MNG∽△ACD,其相似比为 1:3
11 / 20

∴S ?MNG :S ?ADC =

1:9

[例 8]如图,平面 EFGH 分别平行于 CD、AB,E、F、G、H 分别在 BD、BC、AC、AD 上,且 CD =a,AB=b,CD⊥AB. (1)求证:EFGH 是矩形. (2)求当点 E 在什么位置时,EFGH 的面积最大. (1)证明:∵CD∥面 EFGH,而面 EFGH∩面 BCD=EF.∴CD∥EF 同理 HG∥CD.∴EF∥HG 同理 HE∥GF.∴四边形 EFGH 为平行四边形 由 CD∥EF,HE∥AB ∴∠HEF 为 CD 和 AB 所成的角或其补角, 又∵CD⊥AB.∴HE⊥EF.∴四边形 EFGH 为矩形. (2)解:由(1)可知在△BCD 中 EF∥CD,其中 DE=m,EB=n ∴

EF BE n ? ,? EF ? a CD DB m?n HE DE m ? , HE ? b AB DB m?n m n mn ·b· a= ab m?n m?n (m ? n) 2
2

由 HE∥AB ∴

又∵四边形 EFGH 为矩形 ∴S 矩形 EFGH=HE·EF=

∵m+n≥2 m n ,∴(m+n) ≥4mn ∴

1 mn ≤ ,当且仅当 m=n 时取等号,即 E 为 BD 的中点时, 2 4 (m ? n) 1 mn ab≤ ab, 2 4 (m ? n) 1 ab. 4

S 矩形 EFGH=

?

矩形 EFGH 的面积最大为

点评:求最值时经常转化为函数求最值、不等式求最值、导数求最值、线性规划求最值等. 四、典型习题导练 1. 山坡面α 与水平面成 30°的角,坡面上有一条公路 AB 与坡角线 BC 成 45°的角,沿公路向上去 1 公里时,路基升 高_____米. 2. 过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 PA⊥平面 ABCD,且 PA=AB,则平面 ABP 与平面 CDP 所成二面角(小于或等于 90°)的 度数是_____.

3. 在 60°二面角的棱上,有两个点 A、B,AC、BD 分别是在这个二面角的两个面内垂直于 AB 的 线段.已知:AB=4cm,AC=6cm,BD=8cm,求 CD 长.

12 / 20

4.如图,过 S 引三条长度相等但不共面的线段 SA、SB、SC, 且∠ASB=∠ASC=60°,∠BSC=90°. 求证:平面 ABC⊥平面 BSC.

5. 已知:如图,SA⊥平面 ABC,AB⊥BC,DE 垂直平分 SC,且分别交 AC、SC 于 D、E,又 SA=AB,SB=BC,求二面角 E-BD-C 的度数.

§6.4 空间角和距离
一、知识导学 1.掌握两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角,掌握上述三类空间角的作法及运算. 2.掌握给出公垂线的两条异面直线的距离、点到直线(或平面)的距离、直线与平面的距离及两平行平面间距离的求 法. 二、疑难知识导析 1.求空间角的大小时,一般将其转化为平面上的角来求,具体地将其转化为某三角形的一个内角. 2.求二面角大小时,关键是找二面角的平面角,可充分利用定义法或垂面法等. 3.空间距离的计算一般将其转化为两点间的距离.求点到平面距离时,可先找出点在平面内的射影(可用两个平面垂 直的性质),也可用等体积转换法求之.另外要注意垂直的作用.球心到截面圆心的距离由勾股定理得 d ?

R2 ? r 2

4.球面上两点间的距离是指经过这两点的球的大圆的劣弧的长,关键在于画出经过两点的大圆以及小圆. 5.要注意距离和角在空间求值中的相互作用,以及在求面积和体积中的作用. 三、经典例题导讲 [例 1] 平面 ? 外有两点 A,B,它们与平面 ? 的距离分别为 a,b,线段 AB 上有一点 P,且 AP:PB=m:n,则点 P 到平面 ? 的距离为_________________. 错解:

na ? mb . m?n
na ? mb mb ? na 或| | . m?n m?n

错因:只考虑 AB 在平面同侧的情形,忽略 AB 在平面两测的情况. 正解:

[例 2]与空间四边形 ABCD 四个顶点距离相等的平面共有______个. 错解:4 个. 错因:只分 1 个点与 3 个点在平面两侧.没有考虑 2 个点与 2 个点在平面两侧. 正解:7 个. [例 3]一个盛满水的三棱锥形容器,不久发现三条侧棱上各有一个小洞 D、E、F,且知 SD:DA=SE:EB=CF:FS=2:1, 若仍用这个容器盛水,则最多可盛原来水的( ) A.

23 29

B.

19 27

C.

30 31

D.

23 27

错解:A、B、C.由过 D 或 E 作面 ABC 的平行面,所截体计算而得. 正解:D. 当平面 EFD 处于水平位置时,容器盛水最多

?

VF ? SDE VC ? SAB

1 1 S ?SDE ? h1 ? SD ? SE ? sin ?DSE ? h1 3 3 ? ? 1 1 S ?SAB ? h2 ? SA ? SB ? sin ?ASB ? h2 3 3

13 / 20

?

SD SE h1 2 2 1 4 ? ? ? ? ? ? SA SB h2 3 3 3 27
4 23 ? 27 27

最多可盛原来水得 1-

[例 4]斜三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面是边长为 a 的正三角形,侧棱长等于 b,一条侧 0 棱 AA1 与底面相邻两边 AB、 AC 都成 45 角,求这个三棱柱的侧面积 . 错解:一是不给出任何证明,直接计算得结果;二是作直截面的方法不当,即“过 BC 作平面与 AA1 垂直于 M”;三是由条件“∠A1AB=∠A1AC ? ∠AA1 在底面 ABC 上的射影是 ∠BAC 的平分线”不给出论证. 正解:过点 B 作 BM⊥ AA1 于 M,连结 CM,在△ ABM 和△ ACM 中,∵ AB=AC, ∠ MAB=∠MAC=450,MA 为公共边,∴△ABM≌△ACM,∴∠AMC=∠AMB=900,∴AA1⊥面 BHC,即平面 BMC 为 直截面,又 BM=CM=ABsin450=

2 2 a,∴BMC 周长为 2x a+a=(1+ 2 )a,且棱长为 b,∴S 侧=(1+ 2 )ab 2 2 [例 5]已知 CA⊥平面α ,垂足为 A;AB α ,BD⊥AB,且 BD 与α 成 30°角;AC=BD=b,AB=a.求 C,D 两点间的距离. 解 : 本题应分两种情况讨论:
(1)如下左图.C,D 在α 同侧:过 D 作 DF⊥α ,垂足为 F.连 BF,则 ?DBF ? 30 , 于是
?

DF ? 1 2 BD ?

b 2 .

根据三垂线定理 BD⊥AB 得 BF⊥AB. 在 Rt△ABF 中, AF=

AB 2 ? BF 2 ? a ? 3 b2 4
b

过 D 作 DE ? AC 于 E, 则 DE=AF, AE=DF= 2 . b- 2 = 2 .故
b

所以 EC=AC-AE=

b

CD=

EC 2 ? DE ? EC 2 ? AF 2 ? ( b )2 ? a 2 ? 3 b2 ? a 2 ? b2 2 4

(2)如上右图.C,D 在α 两侧时:同法可求得 CD=

a2 ? 3b2

点 评: 本题是通过把已知量与未知量归结到一个直角三角形中, 应用勾股定理来 求解. [例 6]如图, 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,p 是侧棱 CC1 上的一点,

CP ? m .
(1)试确定 m ,使得直线 AP 与平面 BDD1 B1 所成角的正切值为 3 2 ; (2) 在线段 A1C1 上是否存在一个定点 Q , 使得对任意的 m , D1Q 在平面 APD 1 上的射影垂直于 AP . 并证明你的结论. 解:解法一(1)连 AC,设 AC 与 BD 相交于点 O,AP 与平面 BDD1B1 相交于点,,连结 OG,因为

14 / 20

PC∥平面 BDD1B1 ,平面 BDD1B1 ∩平面 APC=OG,
D1

C1 B1
G O P

1 m 故 OG∥PC,所以,OG= PC= . 2 2
又 AO⊥BD,AO⊥BB1,所以 AO⊥平面 BDD1B1 , 故∠AGO 是 AP 与平面 BDD1B1 所成的角.

A1

D

C

A

B

2 1 OA 在 Rt△AOG 中,tan ? AGO= ? 2 ? 3 2 ,即 m= . m 3 GO 2
所以,当 m=

1 时,直线 AP 与平面 BDD1B1 所成的角的正切值为 3 2 . 3

z

D1

C1
j

(2)可以推测,点 Q 应当是 AICI 的中点 O1,因为 D1O1⊥A1C1, 且 D1O1⊥A1A ,所以 D1O1⊥平面 ACC1A1, 又 AP ? 平面 ACC1A1,故 D1O1⊥AP. 那么根据三垂线定理知,D1O1 在平面 APD1 的射影与 AP 垂直。 解法二:(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(1,0,0),B(1,1, 0),P(0,1,m),C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1) 所以 BD ? (?1, ?1,0), BB1 ? (0,0,1), AP ? (?1,1, m), AC ? (?1,1,0). 又由 AC ? BD ? 0, AC ? BB1 ? 0 知, AC 为平面 BB1D1D 的一个法向量。
x

O1 A1 D B1

P

C

y

A

B

??? ?

????

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ????

????

??? ? ???? AP ? AC 2 设 AP 与 平 面 BB1D1D 所 成 的 角 为 ? , 则 s i n 。依题意有 ? ? c o s (? ? ? )??? ? ???? ? 2 AP ? AC 2 ? 2 ? m2

?

2 2 ? 2 ? m2

?

3 2 1 ? (3 2) 2

, 解得 m ?

1 1 。故当 m ? 时,直线 AP 与平面 BB1D1D 所成的角的正切值为 3 2 。 3 3

(2)若在 A1C1 上存在这样的点 Q,设此点的横坐标为 x ,则 Q(x,1- x ,1), D1Q ? ( x,1 ? x,0) 。依题意,对 任 意 的

???? ?

??? ? ???? ? 1 AP ? AP ? D1Q ? 0 ? ? x ? (1 ? x ) ? 0 ? x ? . 即 Q 为 A1C1 的中点时,满足题设要求。 2 [例 7]在梯形 ABCD 中,∠ADC=90°,AB∥DC,AB=1,DC=2, AD ? 2 ,P 为平面 ABCD 外一点,PAD 是正三角形,
且 PA⊥AB, 求:(1)平面 PBC 和平面 PAD 所成二面角的大小; (2)D 点到平面 PBC 的距离. 解: (1)设 AD∩BC=E,可知 PE 是平面 PBC 和平面 PA=AD=AE,则∠EPD=90°,PD⊥PE 又 PA⊥AB,DA⊥AB,故 AB⊥平面 PAD. 15 / 20

m

要 使

D1Q

在 平 面

APD1

上 的 射 影 垂 直 于

AP , 等 价 于

D1Q ⊥

PAD 的交线,依题设条件得

∵ DC∥AB,∴ DC⊥平面 PAD. 由 PE⊥PC 得 PE⊥PD, ∠DPC 是平面 PBC 与平面 PAD 所成二面角的平面角.PD ? DC=2, tan ?DPC ? 2,

DC ? 2, PD

?DPC ? arctan 2 .
(2)由于 PE⊥PD,PE⊥PC,故 PE⊥平面 PDC, 因此平面 PDC⊥平面 PBC, 作 DH⊥PC,H 是垂足,则 DH 是 D 到平面 PBC 的距离. 在 Rt△PDC 中, PD ?

2 ,DC=2, PC ? 6 , DH ?

PD ? DC 2 3 . ? PC 3 2 3 . 3

平面 PBC 与平面 PAD 成二面角的大小为 arctan 2 ,D 到平面 PBC 的距离为

? ? [例 8] 半径为 1 的球面上有 A、B、C 三点,A 与 B 和 A 与 C 的球面距离都是 2 ,B 与 C 的球面距离是 3 ,求过 A、
B、C 三点的截面到球心 O 距离. 分析 : 转化为以球心 O 为顶点,△ABC 为底面的三棱锥问题解决. 由题设知△OBC 是边长为 1 的正三角形,△AOB 和△AOC 是腰长为 1 的全等的 形. 取 BC 中点 D,连 AD、OD,易得 BC⊥面 AOD,进而得面 AOD⊥面 ABC,过 O 于 H,则 OH⊥面 ABC,OH 的长即为
AO?OD AD

等腰三角

作 OH⊥AD

所求,在 Rt ?ADB 中,AD=

7 2

,故在 Rt ?AOD ,OH=

?

21 7

点评: 本题若注意到 H 是△ABC 的外心,可通过解△ABC 和△AHO 得 OH.或利用体积法. 四、典型习题导练 1 .在平面角为 60 的二面角 ? ? l ? ? 内有一点 P , P 到 α 、 β 的距离分别为 PC=2cm , PD=3cm,则 P 到棱 l 的距离
0

为____________. 2.异面直线 a , b 所成的角为 60 ? ,过空间一定点 P,作直线 l ,使 l 与 a ,b 所成的角均为 60 ? ,这样的直线 l 有 条. 3.在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 AB 和 AD 的中点,则点 A1 到平面 EFB1D1 的距离为 4.二面角 ? - l - ? 内一点 P,分别作两个面的垂线 PA、PB,A、B 为垂 PB=2,∠APB=60°求 ? - l - ? 的大小及 P 到 l 的距离. 5.ABCD 是边长为 4 的正方形,CG⊥面 ABCD,CG = 2.E、F 分别是 AD、 到面 EFG 的距离. 6.如图: 二面角 α - l -β 为锐角, P 为二面角内一点, P到α 的 距 的距离为 4,到棱 l 的距离为 4 2 ,求二面角α - l -β 的大小. 7.如图,已知三棱柱 A1B1C1-ABC 的底面是边长为 2 的正三角形, 角,且 A1E⊥B1B 于 E,A1F⊥CC1 于 F. 16 / 20 侧棱 A1A 与 AB、 AC 均成 45° AB 的中点.求点 B 足.已知 PA=3,

离为 2 2 ,到面β

(1)求点 A 到平面 B1BCC1 的距离; (2)当 AA1 多长时,点 A1 到平面 ABC 与平面 B1BCC1 的距离相等.

§6.5 空间几何体及投影 一、知识导学 1. 了解投影(投影线通过物体,向选定的面透射,并在该面上 得到图形的方法)、 中心投影 (投射线交于一点的投影称为中心投影) 、 平行投影 (投影线互相平行的投影称为平行投影) 、 斜投影 (平 行投影投射方向不是正对着投影面的投影)、正投影(平行投影投射方向正对着投影面的投影)的概念. 2. 了解三视图的有关概念(视图是指将物体按正投影向投影面投 射所得到的图形.光线自物体的前面向后面投射所 得的投影称之为主视图或正视图,自上而下的称为俯视图,自左向右的称为左视图,用这三种视图刻画空间物体的 结构,称之为三视图);了解三视图画法规则,能作出物体的三视图. 3. 注意投影和射影的关系,以及在解题中的作用. 二、疑难知识导析 1.三视图间基本投影关系的三条规律:主视图与俯视图长对正,主视图与左视图高平齐,俯视图与左视图宽相等.概 括为“长对正,高平齐,宽相等”;看不见的画虚线. 2.主视图的上、下、左、右对应物体的上、下、左、右;俯视图的上、下、左、右对应物体的后、前、左、右;左视 图的上、下、左、右对应物体的上、下、后、前.

三、经典例题导讲 [例 1]如图,该物体的俯视图是( ).

错解:B. 错因:投影方向不对. 正解:C. [例 2] 如图所示的正方体中,E、F 分别是 AA1,D1C1 的中点,G 是正方形 BDB1D1 的中心,则空间四边形 AGEF 在该正方体面 上的投影不可能是( )

C1 A1

F B1

D1

G E C D

A

B

A 错解:C.

B

C

D

17 / 20

正解:D [例 3]水平放置的△ABC 有一边在水平线上,它的直观图是正△A1B1C1,则△ABC 是( A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 任意三角形 错解:B. 错因:不熟悉斜二侧画法的规则. 正解:C. [例 4] 正方体的全面积是 a ,它的顶点都在球面上,这个球的表面积是( ).
2



?a 2 A. 3
错解:A.

?a 2 B. 2

C. 2?a

2

D. 3?a

2

错因:对正方体和球的关系理解不清. 正解:B.正方体的对角线就是球的直径. [例 5]如图,在四面体 ABCD 中,截面 AEF 经过四 面都相切的球)球心 O,且与 BC,DC 分别截于 E、 成体积相等的两部分,设四棱锥 A-BEFD 与三棱 是 S1,S2,则必有( ) A.S1?S2 B.S1?S2 C.S1=S2 D.S1,S2 的大 解:连 OA、OB、OC、OD 则 VA-BEFD=VO-ABD+VO-ABE+VO-BEFD VA-EFC=VO-ADC+VO-AEC+VO-EFC 又 VA-BEFD= 高都是原四面体的内切球的半径,故 SABD+SABE SEFC 又面 AEF 公共,故选 C
A

面体的内切球(与四个 F,如果截面将四面体分 锥 A-EFC 的表面积分别
O D F

小关系不能确定

B

E C

VA-EFC 而每个三棱锥的 + SBEFD = SADC + SAEC +

[例 6]正三棱台 A1B1C1-ABC 的侧面与底面成 45°角,求侧棱与底 解:解法一 如图,设 O1,O 为上下底面正三角形的中心,连 AO 交 AB 于 D.连接 D1D.易证 A1O1⊥B1C1,AD⊥BC,D1D⊥BC,过 A1, ABC,D1F⊥底面 ABC,易证 E、F 在 AD 上. 因为正三棱台 A1B1C1-ABC 的侧面与底面成 45°的二面角,所以 A1E=O1O=D1F=FD.设该正三棱台上下底面的边长为 a,b,则 AD= 2 b,A1D1= 2 a.
1 A1E=O1O=D1F=FD= 3
3 3

面所成角的正切值. 接 O1O, A1O1 交 A1B1 于 D1, D1 分别作 A1E⊥底面

∠D1DA=45°.因此

所以
2

?

3 3 1 2 b- 3 ? 2
3 3 (b-a).

a

= 6

3

(b-a).

AE= 3

?

3 2

b? 2 ? 3

3 2

a?

18 / 20

所以

tan∠A1AE= AE

A1 E

?

1 2 .
一点 S.显然点 S 在 DD1 角,故∠SDA=45°.

解法二 如图,延长 AA1,BB1,CC1,则 AA1,BB1,CC1 相交于 的延长线上.由解法一得知,∠SDA 为二面角 S-BC-A 的平面 所以 在 RtΔ SOD 中,SO=OD,
SO

因为

AO=2·OD,所以

tan∠SAO= AO

?

OD AO

?

1 2.

点评:由此例可以看出,在解决棱台的问题时,“还台为锥”利用棱锥的性质来解决棱台问题是一种快捷方便的方法. [例 7] 粉碎机的下料斗是正四棱台形,如图所示,它的两底 mm,高是 200 mm,计算: (1)这个下料斗的体积; (2)制造这样一个下料斗所需铁板的面积(保留两个有效数 分析:要求下料斗所需铁板的面积,就是求正四棱台的侧面 面边长分别是 80 mm 和 440

字)? 积 . 正四棱台的侧面积公式

1 是 S 侧= (c+c')h'. 2
解:(1)因为 S 上=440 mm ,S 下=80 mm ,h=200 mm
2 2 2 2

1 所以V正四棱台= (S上+S下+ S上S下 )h 3 1 = (4402+802+440 ? 80) ? 200 3 47040000 = ? 1.6 ?107 (m m 3 ) 3
(2)下底面周长 c'=4×80=320mm, 下底面周长 c=4×440=1760mm,

440-80 2 2002+( ) ? 269 (m m ) 2 斜高 h'= 1 1 5 2 S 正棱台侧= 2 (c+c')h'= 2 (1760+320)×269≈2.8×10 (mm )
答:这个下料斗的体积约为 1.6×10 mm ,制造这样一个下料斗需铁板约 2.8×10 mm . 点评:对于实际问题,须分清是求几何体的表面积,还是求侧面积,还是求侧面积与一个底面面积的和,还是求体积. 四、典型习题导练 1.一个直立在水平面上圆柱体的主视图、俯视图、左视图分为( ) A.长方形、圆、矩形 B.矩形、长方形、圆 C.圆、长方形、矩形 D.长方形、矩形、圆 2.直角三角形绕它最长边(即斜边)旋转一周得到的几何体为( )
7 3 5 2

3.下列平面图中不能围成立方体的是( ).

19 / 20

4.从七边形的某个顶点出发,分别连接这个顶点与其余各顶点,可以把七边形分成_____个三角形. 5. 在球心同侧有相距 9cm 的两个平行截面,它们的面积分别为 49π cm2 和 400π cm2,求球的表面积.

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