人类寿命生存函数曲线图示例1_图文

生命表理论

第二章

生命表函数

生命表 理论

参数寿命分布 生命表的构造 有关分数年龄的假设

本章中英文单词对照

? ? ? ? ? ? ?

死亡年龄 生命表 剩余寿命 整数剩余寿命 死亡效力 极限年龄 选择与终极生命表

? ? ? ? ? ? ?

Age-at-death Life table Time-until-death Curtate-future-lifetime Force of mortality Limiting ate Select-and-ultimate tables

第二章

生命表函数

生命表 理论

参数寿命分布 生命表的构造 有关分数年龄的假设

生存函数

? 定义

S ( x) ? Pr( X ? x)

? 意义:新生儿能活到 x 岁的概率。 ? 与分布函数的关系: S ( x) ? 1 ? F ( x) ? 与密度函数的关系: f ( x) ? ?S ?( x) ? 新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率:

Pr( x ? X ? z) ? s( x) ? s( z)

人类寿命生存函数曲线图示
1 0.8
生存函数

0.6 0.4 0.2 0 1 21 41 年龄 61 81 101

例2.1
? 假设某人群的生存函数为
S ( x) ? 1 ?
x 100

x , 0 ? x ? 100 100

S ( x) ? 1 ?

? 求:
? ? ? ? 一个刚出生的婴儿活不到50岁的概率; 一个刚出生的婴儿寿命超过80岁的概率; 一个刚出生的婴儿会在60~70岁之间死亡的概率; 一个活到30岁的人活不到60岁的概率。

解2.1
100 ? 50 1 (1) Pr( X ? 50) ? F (50) ? 1 ? S (50) ? ? 100 2 100 ? 80 1 (2) Pr( X ? 80) ? S (80) ? ? 100 5 (3) Pr(60 ? X ? 70) ? Pr( X ? 60) ? Pr( X ? 70) ? S (60) ? S (70) ? Pr(30 ? X ? 60) S (30) ? S (60) 3 (4) Pr( X ? 60 X ? 30) ? ? ? Pr( X ? 30) S (30) 7 1 10

剩余寿命

? 定义:已经活到x岁的人(简记(x)),还能
继续存活的时间,称为剩余寿命,记作T(x)。 ? 分布函数 t qx :
t

qx ? Pr (T ( X ) ? t ) ? Pr ( x ? X ? x ? t X ? x) S ( x) ? S ( x ? t ) ? S ( x)

剩余寿命

? 定义:已经活到x岁的人(简记(x)),还能
继续存活的时间,称为剩余寿命,记作T(x)。

剩余寿命与寿命变量图示

剩余寿命

? 剩余寿命的生存函数t px
t

px ? Pr(T ( x) ? t ) ? Pr( X ? x ? t X ? t ) S(x ? t) ? S ( x)

? 特别
x

p0 ? S ( x)

生存函数与剩余寿命生存函 数的对比图示

剩余寿命基本函数

? px :x岁的人至少能活到x+1岁的概率
p x ? 1 px

? qx :x岁的人将在1年内去世的概率 ? t u qx :X岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之间去
世的概率
tu

qx ? 1 qx

qx ? t ?u qx ? t qx ? t px ? t ?u px

剩余寿命的期望与方差

? 期望剩余寿命:( x) 剩余寿命的期望值(均值),简记 e x
ex ? E (T ( x)) ? ? td (1 ? t px ) ? ? t px dt
0 0 o ? ?

o

? 剩余寿命的方差
Var (T ( x)) ? E (T ( x)2 ) ? E (T ( x))2 ? 2? t ? t px dt ? ex
0 ? o 2

整值剩余寿命

剩余寿命与整值剩余寿命的比较图示

整值剩余寿命
( x )未来存活的完整年数,简记 K ( x) ? 定义:
K ( X ) ? k, k ? T ( x) ? k ? 1, k ? 0,1,

? 概率函数
Pr( K ( X ) ? k ) ? Pr( k ? T ( x) ? k ? 1) ?
k ?1

qx ? k qx ? k px ? k ?1 px

? k px ? qx ? k ? k qx

整值剩余寿命的期望与方差
( x ) 整值剩余寿命的期望值(均 ? 期望整值剩余寿命:
值),简记

ex
? ? x ?1
k ?0

ex ? E ( K ( x)) ?

? k?

k

px ? qx ? k ?

? ? x ?1

?
k ?0

k ?1

px

? 整值剩余寿命的方差
Var ( K ( x)) ? E ( K 2 ) ? E ( K ) 2 ?
? ? x ?1

?
k ?0

(2k ? 1) ? k ?1 px ? ex 2

死亡效力

? 定义: ( x) 的瞬时死亡率,简记 ?x
S ?( x) f ( x) ?x ? ? ? ? ? ln[ S ( x)]? S ( x) S ( x)

? 死亡效力与生存函数的关系
S ( x) ? exp{? ? ? s ds}
0 t x

px ? exp{? ? ? s ds}
x

x ?t

人类的死亡效力曲线图示
0.05 0.04

死亡效力

0.03 0.02 0.01 0 1 21 41 年龄 61

人类死亡效力的规律
? 人类的死亡效力曲线类似于一个两头高、中间低的盆状结
构, 被称为“浴盆曲线”。 ? 人类的“浴盆曲线”意味着:
? 刚出生的婴儿是脆弱的,死亡效力非常高。这是因为各种先天性 的不足都会在这个时期暴露。经过淘汰先天不足的孩子,死亡效 力逐渐下降。 ? 青壮年时期是人类死亡效力最低的时期。在这段时间里,身体各 部位都属于良好运作阶段,身体属于“偶然失效期”。 ? 中老年时期属于人类的加速死亡时期。在这段时间里,身体各器 官逐渐老化,开始罹患各种疾病。在可靠性理论中,称这段时期 为加速失效期。

死亡效力
? 死亡效力与密度函数的关系

f ( x) ? S ( x ) ? ? x
? 死亡效力表示剩余寿命的密度函数 g (t )
S ( x) ? S ( x ? t ) G (t ) ? 1 ? t px ? S ( x) d d ? S ( x) ? S ( x ? t ) ? S ( x ? t ) ? x ?t g (t ) ? G (t ) ? ? ? ? t px ? ? x ?t ? dt dt ? S ( x) S ( x) ?

例2.2

? 已知给出生存函数
S (x) ? 100 ? x 20

, 0 ? x ? 100

? 请计算 F (75), f (75) 和

? (75)

解2.2

100 ? 75 F (75) ? 1 ? S (75) ? 1 ? ? 0.75 20 1 1 f ( x) ? ? S ?( x) ? ; f (75) ? 0.005 40 100 ? x f (75) ? (75) ? ? 0.02 S (75)

1

qx?1 ? 0.090, 2 qx?1 ? 0.170, qx?3 ? 0.250.

例2.3

? 已知

1 2

qx ?1 ? 0.090 qx ?1 ? 0.170

qx ?3 ? 0.250

? 计算
qx?1 ? qx?2

解2.3
? ? 2 qx ?1 ? px ?1 ? px ? 2 ? qx ?3 ? 0.170 ? ? ? qx ?3 ? 0.025

? ? px ?1 ? 0.770 ? px ?1 px ? 2 ? 0.680 ?? ?? qx ?1 ? px ?1 ? q x ? 2 ? 0.090 ?qx ? 2 ? 0.117 1 ? ?
? qx?1 ? qx?2 ? 0.230 ? 0.117 ? 0.347

例2.4
? 如果40岁以前死亡效力恒定为0.04,40岁
之后死亡效力提高到0.06,求25岁的人在 未来25年内的期望存活时间

解2.4
? 在常数死亡力下, t px ? e
? ?t

,则

? 25岁的人在未来25年内的期望存活时间为
e25:25 ? ? ??
0 25 t 0 15

?0.04 t ? , 0 ? t ? 15 ?e t p25 ? ? ?0.04?15 ?0.06( t ?15) , t ? 15 ? e ? 15 p25 ? t ?15 p40 ? e .

p25 dt
?0.04 t

0

e

dt ? e

?0.04?15 25 15

? e

?0.06( t ?15)

dt

? 11.28 ? 4.13 ? 15.41

解2.4(方法二)
? 25岁的人在未来25年内的期望存活时间为
e 25:25 ? ? ? t d t p25 ? 25 25 p25
0 0 25

? ? ? td e
0

15

?0.04 t

?e
15 0

?0.04?15 25

?

15

td e

?0.06( t ?15)

? 25e

?0.04?15

?e

?0.06?10

? te

?0.04 t 0 15

??
15

e

?0.04 t

dt ? e

?0.04?15

? te

?0.06( t ?15) 15 25

?e

?0.04?15 25

? e

?0.06( t ?15)

dt ? 25e

?0.04?15

?e

?0.06?10

? ?8.23 ? 11.28 ? 0.70 ? 4.13 ? 7.53 ? 15.41

第二章

生命表函数

生命表 理论

参数寿命分布 生命表的构造 有关分数年龄的假设

有关寿命分布的参数模型

? De Moivre模型(1729)
?x ?
1 ??x x

S ( x) ? 1 ?

?

,

0? x ??

? Gompertze模型(1825)
? x ? Bc x
S ( x) ? exp{? B(c x ? 1) / ln c} , B ? 0,c ? 1,x ? 0

有关寿命分布的参数模型

? Makeham模型(1860)
? x ? A ? Bc x
S ( x) ? exp{? Ax ? B(c ? 1) / ln c} , B ? 0,A ? -B,c ? 1,x ? 0
x

? Weibull模型(1939)
? x ? kx
n

S ( x) ? exp{?kx n?1 /(n ? 1)} , k ? 0, n ? 0, x ? 0

参数模型的问题
? 至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。
这四个常用模型的拟合效果不令人满意。 ? 使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很 大的误差 ? 寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布,而是 使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分 布。 ? 在非寿险领域,常用参数模型拟合物体寿命的分 布。

第二章

生命表函数

生命表 理论

参数寿命分布 生命表的构造

有关分数年龄的假设

生命表起源
? 生命表的定义
? 根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每 个年龄死亡率所组成的汇总表.

? 生命表的发展历史
? 1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写 过《生命表的自然和政治观察》。这是生命表的最早起源。 ? 1693年,Edmund Halley,《根据Breslau城出生与下葬统计表 对人类死亡程度的估计》,在文中第一次使用了生命表的形 式给出了人类死亡年龄的分布。人们因而把Halley称为生命表 的创始人。

? 生命表的特点
? 构造原理简单、数据准确(大样本场合)、不依赖总体分布 假定(非参数方法)

生命表的构造
? 原理
? 在大数定理的基础上,用观察数据计算各年龄人群 的生存概率。(用频数估计频率)

? 常用符号
? 新生生命组个体数:l0 ? 年龄:x ? 极限年龄:?

生命表的构造

? l0个新生生命能生存到年龄X的期望个数:l x

?

lx ? l0 ? S ( x)
个数: n dx 特别:n=1时,记作 d x
n

l0 个新生生命中在年龄x与x+n之间死亡的期望

d x ? l x ? l x ? n ? l x ? n qx

d x ? lx ? lx?1 ? lx ? qx

生命表的构造

?

l0 个新生生命在年龄x至x+t区间共存活年数: t Lx
t

Lx ? ?

x ?t

x

l y dy

?

l0 个新生生命中能活到年龄x的个体的剩余寿命总

Tx 数:

Tx ? ? l y dy ?
x

?

Tx ex ? lx
o

生命表的构造
? 中位死亡率
? 所谓X岁的中位死亡 率是指X岁的人平均 每存活一年会发生的 死亡数

? 平均生存年数
? 所谓X岁的平均生存 年数是指在年龄X~ X+1岁之间死亡的人, 在这一年中的平均生 存时间

dx mx ? Lx

Lx ? lx ?1 a ( x) ? dx

生命表实例(美国全体人口生命表)

年龄区 死亡比 间 例

期初生 存数

期间死亡 数

在年龄区间 共存活年数

剩余寿命总 数

期初存 活者平 均剩余 寿命

x ~ x ? t t qx


lx
100000
99537 99292 10000 98740 98648

t

dx
273

t

Lx

Tx
7387758
7387485 7385850 7387758 7288785 7190091

ex
73.88
74.22 74.38 73.88 73.82 72.89

0-1
1-7 7-28


.00463
.00246 .00139 .01260 .00093 .00065

463
245 138 1260 92 64

1635 5708 98973 98694 98617

0-1 1-2 2-3

例2. 5

? 已知

x lx ? 10000(1 ? ) 100
20

? 计算下面各值:
(1) d30 ,

p30 ,

30 30

q

,

10

q30

(2)20岁的人在50~55岁死亡的概率。 (3)该人群平均寿命。

解2.5
l50 ? ? 5/7 l30 l40 ? l41 ? ? 1/ 70 l30

1. d 30 ? l30 ? l31 ? 100
30

20

p30

q30

l30 ? l60 ? ? 3/ 7 l30 l50 ? l55 ? ? 1/16 l20

10

q30

2.

30 5

q20

3.

e

0

0

100 T0 x ? ? ? (1 ? ) dx ? 50 0 l0 100

例2.6
? 已知
X
lx

70 1000

71 800

72 400

73 100

74 0

假设死亡在年内均匀发生,求: (1)这群老人在70岁时的期望剩余寿命; (2)这群老人在71岁时的中位死亡率; (3)这群老人在72岁时的平均生存时间。

解2.6
(1) e70 ? l70 ? l71 ? l72 ? l73 1000 ? 800 ? 400+ 100 ? ? 2.3 l70 1000
1 1

(2) l71?t ? 800(1 ? t ) ? 400t ? L71 ? ? l71?t dt ? ? 800(1 ? t ) ? 400tdt ? 600
0 0

? m71 ? (3) a(72) ?

d 71 400 2 ? ? L71 600 3

1 2

选择-终极生命表

? 选择-终极生命表构造的原因
? 需要构造选择生命表的原因:刚刚接受体检的 新成员的健康状况会优于很早以前接受体检的 老成员。 ? 需要构造终极生命表的原因:选择效力会随时 间而逐渐消失

? 选择-终极生命表的使用

选择-终极表实例
[x] 选择表 终极表

q[ x ]
60 61 62 63 64 65 66 67 .0175 .0191 .0209 .0228 .0249 .0273 .0298 .0326

q[ x?1]
.0249 .0272 .0297 .0324 .0354 .0387 .0424 .0464

q[ x ?2] q[ x ?3]
.0313 .0342 .0374 .0409 .0447 .0489 .0535 .0586 .0388 .0424 .0463 .0507 .0554 .0607 .0664 .0727

q[ x ?4]
.0474 .0518 .0566 .0620 .0678 .0742 .0812 .0889

qx ? 5
.0545 .0596 .0652 .0714 .0781 .0855 .0936 .1024

x?5 65 66 67 68 69 70 71 72

例2.7
? 假定有两位老人今年都是65岁。甲老人是
今年刚刚体检合格购买的保险,乙老人是 10年前购买的保险,至今仍在保障范围内。 使用上面给出的选择-终极生命表估计两 位老人分别能活到73岁的概率。

甲老人的生命表轨迹
? 甲老人由于刚进入保障范围,所以前5年使用死亡率相对
较小的选择生命表,五年选择期满回归到终极生命表。

[x]
q[ x ]

选择表
q[ x ?1]
q[ x ? 2]

终极表
q[ x ?3] q[ x ? 4]
qx ?5

x?5
69 70 71 72

64 65 66 67

.0249 .0273 .0298 .0326

.0354 .0387 .0424 .0464

.0447 .0489 .0535 .0586

.0554 .0607 .0664 .0727

.0678 .0742 .0812 .0889

.0781 .0855 .0936 .1024

乙老人的生命表轨迹
[x]
q[ x ]

选择表
q[ x ?1]
q[ x ? 2]

终极表
q[ x ?3] q[ x ? 4]
qx ?5

x?5
66 67 68 69 70 71 72

60 61 62 63 64 65 66 67

.0175 .0249 .0313 .0388 .0474 .0545 65 .0191 .0209 .0228 .0249 .0273 .0298 .0326 .0272 .0297 .0324 .0354 .0387 .0424 .0464 .0342 .0374 .0409 .0447 .0489 .0535 .0586 .0424 .0463 .0507 .0554 .0607 .0664 .0727 .0518 .0566 .0620 .0678 .0742 .0812 .0889 .0596 .0652 .0714 .0781 .0855 .0936 .1024

解2.7
? 则甲老人能活到73岁的概率为
8

p[65] ? (1 ? q[65] )(1 ? q[66] )(1 ? q[67] )(1 ? q[68] )(1 ? q[69] )(1 ? q70 )(1 ? q71 )(1 ? q72 ) ? 0.575403

? 则乙老人能活到73岁的概率为
8

p65 ? (1 ? q65 )(1 ? q66 )(1 ? q67 )(1 ? q68 )(1 ? q69 )(1 ? q70 )(1 ? q71 )(1 ? q72 ) ? 0.52941

第二章

生命表函数

生命表 理论

参数寿命分布 生命表的构造 有关分数年龄的假设

有关分数年龄的假设

? 使用背景:
? 生命表提供了整数年龄上的寿命分布,但有时我们需要 分数年龄上的生存状况,于是我们通常依靠相邻两个整 数生存数据,选择某种分数年龄的生存分布假定, 估计 分数年龄的生存状况

? 基本原理:插值法 ? 常用方法
? 均匀分布假定(线性插值) ? 常数死亡力假定(几何插值) ? Balducci假定(调和插值)

三种假定
? 均匀分布假定(线性插值)

S ( x ? t ) ? (1 ? t )S ( x) ? tS ( x ? 1) , 0 ? t ? 1
? 常数死亡力假定(几何插值)

S ( x ? t ) ? S ( x)

(1?t )

? S ( x ? 1)

t

, 0 ? t ?1

? Balducci假定(调和插值)

1 1? t t ? ? S ( x ? t ) S ( x) S ( x ? 1)

, 0 ? t ?1

分数期死亡均匀分布的生存函数图示

三种假定下生存函数比较图示

三种假定下的生命表函数
Ballucci
t ? qx 1 ? (1 ? t ) ? qx

函数
t t

均匀分布

常数死亡力

qx px

tq x
1 ? tqx
yqx 1 ? tq x qx 1 ? tq x

1? e

? ut

e ? ut

y q x ?t

1? e

? ut

? x ?t

?
? e ?ut u

px 1 ? (1 ? t )qx yqx 1 ? (1 ? y ? t )qx qx 1 ? (1 ? t )qx
px ? qx [1 ? (1 ? t ) qx ]2

fT (t )

qx

例2.8

? 已知

x lx ? 10000(1 ? ) 100

? 分别在三种分数年龄假定下,计算下面各
值:

(1)

0.5 30

q

(2) 5.25 q50 (3) ?30.5

解2.8(1)
l30 ? l31 1 69 ?u q30 ? ? ? e ? p30 ? l30 70 70 1 0.5 q30 UDD 0.5q30 ? 140 69 ? 1? 0.5 q30 CF 1 ? e 70 0.5q30 1 ? 0.5 q30 Balducci p30 ? 0.5q30 139
?0.5u

解2.8(2)
5.25

q50 ? 5 q50 ? 5 p50 ? 0.25 q55
5

5

q50 ? 0.1

p50 ? 0.9

1 q55 ? 45

1 ? 5.25 q50 UDD 0.1 ? 0.9 ? 0.25 ? 0.105 45 0.25 44 ) ? 0.1050422 5.25 q50 CF 0.1 ? 0.9 ? (1 ? 45 0.25 ? 0.1050847 5.25 q50 Balducci 0.1 ? 0.9 44 ? 0.25

解2.8(3)
q30 1 ?30.5UDD ? 1 ? 0.5q30 69.5 69 ?30.5 CF ? ? ? ln( p30 ) ? ? ln( ) 70 q30 1 ?30.5 Balducci ? p30 ? 0.5q30 69.5

本章重点

? 生命表函数
? 生存函数 ? 剩余寿命 ? 死亡效力

? 生命表的构造
? ? ? ? 有关寿命分布的参数模型 生命表的起源 生命表的构造 选择与终极生命表

? 有关分数年龄的三种假定


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