llh62077:2019最新人教A版高中数学复习3.7正弦定理和余弦定理(·数学文·四川专用)优质课件_图文

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第七节正弦定理和余弦定理

正弦定理与余弦定理

定理 内容

正弦定理

a

b

=_s_in_A____ sinB

c

=__s_i_nC___=2R(R是

△ABC外接圆的半

径)

余弦定理
在△ABC中,有 a2=__b_2+_c_2_-_2_b_c_c_o_s_A___; b2=_c_2_+_a_2_-_2_c_a_c_o_s_B___; c2=_a_2_+_b_2_-_2_a_b_c_o_s_C___

定理
变形 公式

正弦定理

余弦定理

①a=_2_R_s_i_n_A__,b=_2_R_s_i_n_B__,

c=__2_R_s_i_n_C__;

②sinA∶sinB∶sinC =_a_∶__b_∶__c_;

b2 ? c2 ? a2
cosA=_____2_b_c___;

b
③sinA=sinaB=, ____, 2R
2R
c
sinC=__2_R_;

④ a ?b?c
sin A sin B sin C

?

a?b?c

sin A ? sin B ? sin C

a2 ? c2 ? b2
cosB=______2_ac____;
a2 ? b2 ? c2
cosC=_____2_a_b____

定理

正弦定理

余弦定理

解决的 问题

①已知两角和任一边, 求其他边和角 ②已知两边和其中一边 的对角,求其他边和角

①已知三边,求各角 ②已知两边和它们的 夹角,求第三边和其他 角

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)在△ABC中,A>B必有sinA>sinB.() (2)正弦定理对钝角三角形不成立.() (3)在△ABC中共有三个角、三个边六个量,可以已知三个量求 另外三个量.() (4)余弦定理对任何三角形均成立.() (5)正弦定理可以实现边角互化,但余弦定理不可以.()

【解析】(1)正确.∵A>B,∴a>b,
? a >1, b
由正弦定理可得 a ? sinA>1.
b sinB
又sinB>0,
∴sinA>sinB.
(2)错误.正弦定理对任意三角形均成立.
(3)错误.当已知三个角时不能求三边.

(4)正确.由余弦定理推导过程可知对任意三角形均适用. (5)错误.余弦定理可以实现角化边,也能实现边化角. 答案:(1)√(2)×(3)×(4)√(5)×

1.在△ABC中,a=3,A=30°,B=60°,则b等于()

?A?3 3????????????????B? 3????????????????C? 3????????????????D?2 3
2
【解析】选A.由正弦定理得

b

?

asinB sinA

?

3? sin60? sin30?

?

3? 3 2
1

?3

3.

2

2.在△ABC中,a=4,Cb=?320°3,,则边c等于()
?A? 3???????????B?2???????????C?2 3???????????D?3
【解析】选B.由余弦定理得
c2 ? a2 ? b2 ? 2abcosC ? 16 ?12 ? 2? 4? 2 3 ? 3 ? 4,?c ? 2. 2

3.△ABC满足acosB=bcosA,则△ABC的形状为() (A)直角三角形 (B)等边三角形 (C)等腰三角形 (D)等腰直角三角形

【解析】选C.由acosB=bcosA及正弦定理得, sinAcosB=sinBcosA, 即sinAcosB-cosAsinB=0, 故sin(A-B)=0. ∵A,B为△ABC的内角, ∴A-B=0,∴A=B, 所以△ABC是等腰三角形.

4.在△ABC中,B=30°,C=120°,则a∶b∶c=____. 【解析】A=180°-30°-120°=30°, 由正弦定理得,a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC =1∶1∶ 3. 答案:1∶1∶ 3

5.在△ABC中,已知a2=b2+bc+c2,则角A等于_____.

【解析】由已知得b2+c2-a2=-bc,

∴cosA= b2+c2-a2 =-1,

2bc

2

又∵0<A<π,?A=2? .
3

答案: 2?

3

考向1正弦定理的应用

【典例1】(1)(2013·唐山模拟)在△ABC中,A=a=?1, ,b=

2,

6

则B=()

?A? ???????????????????B? 3?????????

4

4

?C? ? 或 3??????????D? ? 或 5?

44

66

(2)(2013·惠阳模拟)已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C

所对的边,若a=1,b=A+3C,=2B,则sinC等于()

?A?1?????????B? 1????????C? 3????????D? 3

2

2

3

(3)(2013·岳阳模拟)如图,在△ABC中,点D在BC边上,

AD ? 33,sin?BAD ? 5 ,cos?ADC ? 3.

13

5

①求sin∠ABD的值;

②求BD的长.

【思路点拨】(1)利用正弦定理求解即可. (2)先由A+B+C=π及条件得B,再利用正弦定理得A,进而得 sinC. (3)①利用∠ABD=∠ADC-∠BAD及两角差的正弦公式求解;②利 用正弦定理求解.

【规范解答】(1)选C.由正弦定理可得,

sinB ? b ? sinA ?

2?1 2?

2.

a

1

2

又 0<B<5? ,?B ? ? 或 3? .

6

44

(2)选A.由A+C=2B且A+B+C=π得 B ? ? .
3

由a

?

b

得sinA ? a ?sinB ? 1?

3 2 ? 1.

sin A sinB

b

32

又 a<b,?A<B,

?A ? ? ,?C ? ? ? A ? B ? ? ,

6

2

∴sinC=1.

(3)①因为cos?ADC ? 3, 5
所以sin?ADC ? 1? cos2?ADC ? 4 . 5
因为sin?BAD ? 5 , 13
所以cos?BAD ? 1? sin2?BAD ? 12 . 13
因为?ABD ? ?ADC ? ?BAD,

所以sin?ABD ? sin(?ADC ? ?BAD)

? sin?ADCcos?BAD ? cos?ADCsin?BAD

? 4 ? 12 ? 3 ? 5 ? 33 . 5 13 5 13 65
②在 ABD中,由正弦定理,

得 BD ? AD , sin?BAD sin?ABD

所以BD

?

AD ? sin?BAD sin?ABD

?

33? 5 13
33

?

25.

65

【拓展提升】1.三角形解的情况 已知两边和其中一边的对角,解三角形时,注意解的情况.如已 知a,b,A,则有两解、一解、无解三种情况.

A为锐角

A为钝角或直角

图形

关系 a<bsinA 式
解的 情况 无解

a=bsinA 一解

bsinA<a <b
两解

a≥b 一解

a>b a≤b 一解 无解

2.解三角形中的常用公式和结论

(1)A+B+C=π.

(2)0<A,B,C<π,

sin A ? B ? sin ? ? C ? cos C,

2

2

2

cos A ? B ? cos ? ? C ? sin C,

2

2

2

sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,

tan(A+B)=-tanC.

(3)三角形中等边对等角,大边对大角,反之亦然;三角形中任意 两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.

【变式训练】在△ABC中,aB=?453°,b.?求角2, A,C和边c.

【解析】由正弦定理得, 3 ? 2 ,?sin A ? 3 .

sinA sin45?

2

∵a>b,∴A=60°或A=120°.

当A=60°时,C=180°-45°-60°=75°,

c ? bsinC ? 6 ? 2;

sinB

2

当A=120°时,C=180°-45°-120°=15°,

c ? bsinC ? 6 ? 2 .

sinB

2

考向2余弦定理的应用

【典例2】(1)(2013·台州模拟)在△ABC中,(2a-c)cosB

=bcosC,则角B等于()

?A? ????????B? ????????C? ????????D? 5?

6

4

3

12

(2)(2013·济南模拟)已知△ABC中,sinA∶sinB∶

sinC=3∶2∶4,则cosC等于()

?A? 1???????B? ? 1??????C? 1??????D? ? 1

4

4

3

3

(3)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足 则co边s aA=?()2 5 ,AB? AC ? 3,b ? c ? 6,
25
?A?2 2???????B?2 3???????C?2 5???????D?4

【思路点拨】(1)利用余弦定理代入整理转化可求. (2)利用已知条件及正弦定理得a,b,c的关系,再利用余弦定理 可求. (3)利用已知可得cosA及b,c的值,从而利用余弦定理可求a.

【规范解答】(1)选C.由(2a-c)cosB=bcosC得

?2a ? c? ? a2 ? c2 ? b2 ? b ? a2 ? b2 ? c2 ,

2ac

2ab

得a2 ? c2 ? b2 ? ac,? cos B ? a2 ? c2 ? b2 ? 1 ,

2ac

2

又 0<B<?,? B ? ? . 3

(2)选B.由sinA∶sinB∶sinC=3∶2∶4,

及sinA ? a ,sinB ? b ,sinC ? c 得

2R

2R

2R

a∶b∶c=3∶2∶4.

故设a=3k,则b=2k,c=4k,

故cosC ? a2 ? b2 ? c2 ? 9k2 ? 4k2 ?16k2 ? ? 1 .

2ab

2?3k ? 2k

4

?3?选C.因为cos A ? 2 5 ,所以cosA ? 3 ,

25

5

由AB ? AC ? 3, 得bccosA ? 3,所以bc ? 5.

由bc=5,且b+c=6,解得

?b ??c

? 5,或 ? 1,

?b ??c

? ?

1, 5.

由余弦定理得a2 ? b2 ? c2 ? 2bccosA ? 20,

故a ? 2 5.

【互动探究】若将本例题(3)中的“AB? AC ? 3,b ? c ? 6”

改为“sin B cos B ? b ”,如何求a ? 2 24

【解析】由cos A ? 2 5 得cos A ? 3,故sin A ? 4 .

25

5

5

又由sin B cos B ? b 得b ? 4sin B cos B ? 2sin B,

2 24

22

故 b ? 2,? a ? b ,即a ? 2? 4 ? 8 .

sin B

sin A sin B

55

【拓展提升】正、余弦定理的相互转化 正、余弦定理在应用时,应注意灵活性,尤其是其变形应用时 可相互转化.如a2=b2+c2-2bccosA可以转化为sin2A=sin2B+ sin2C-2sinBsinCcosA,利用这些变形可进行等式的化简与证 明.

【变式备选】在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边, 且 cos B ? ? b .
cos C 2a ? c
(1)求角B的大小.
(2)若求ba?,c1的3,值a .? c ? 4,

【解析】(1)由余弦定理知:

a2 ? c2 ? b2

a2 ? b2 ? c2

cos B ?

, cos C ?

.

2ac

2ab

将上式代入 cos B ? ? b 得: cos C 2a ? c

a2

? c2 ? b2 2ac

? a2

2ab ? b2 ? c2

?

?b, 2a ? c

整理得:a2 ? c2 ? b2 ? ?ac.

a2 ? c2 ? b2 ?ac 1

?cos B ?

? ?? .

2ac

2ac 2

B为三角形的内角,? B ? 2 ?. 3

?2? 将b ? 13,a ? c ? 4, B ? 2 ?代入b2 ? a2 ? c2 ? 2accos B,
3
得b2 ? ?a ? c?2 ? 2ac ? 2accos B,

?13 ? 16 ? 2ac(1? 1 ),?ac ? 3. 2

由 ???aac??c 3?

4,得

?a ??c

? ?

1,或 3

?a ??c

? ?

3, 1.

故a ? 1, c ? 3或a ? 3, c ? 1.

考向3利用正、余弦定理判断三角形的形状 【典例3】(1)(2013·哈尔滨模拟)在△ABC中,若sinA= 2sinBcosC,则△ABC是() (A)锐角三角形(B)等腰三角形 (C)钝角三角形(D)直角三角形

(2)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且 2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC. ①求A的大小; ②若sinB+sinC=1,试判断△ABC的形状.

【思路点拨】(1)将sinA转化为sin(B+C)展开可求. (2)①利用正弦定理角化边转化,再结合余弦定理可解; ②利用C=π-(A+B)转化为关于角B的关系式求解角B可判断.

【规范解答】(1)选B.由sinA=sin(B+C)得 sin(B+C)=2sinBcosC, 即sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC, 即sinBcosC-cosBsinC=0,得sin(B-C)=0. 又B,C为△ABC的内角, 故B-C=0,即B=C,故△ABC为等腰三角形.

(2)①由已知,根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,

即a2=b2+c2+bc,

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,

故cosA=A=?1210, °.
2
②由①得sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC.

又sinB+sinC=1,得sinB=sinC=

1.

2

因为0°<B<90°,0°<C<90°,

故B=C=30°,所以△ABC是等腰的钝角三角形.

【互动探究】若将本例题(1)中条件改为“sinB= cosAsinC”,则△ABC的形状如何? 【解析】由sinB=cosAsinC得 sin(A+C)=cosAsinC, 即sinAcosC+cosAsinC=cosAsinC, 故sinAcosC=0.又0<A<π,故sinA>0, 所以cosC=0,故C=因?而. △ABC是直角三角形.
2

【拓展提升】1.三角形形状的判断思路 (1)边与边的关系主要看是否有等边,是否符合勾股定理等. (2)角与角的关系主要是看是否有等角,有无直角或钝角等. 2.判定三角形形状的两种常用途径 (1)通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得出三 角形内角之间的关系进行判断. (2)利用正弦定理、余弦定理,化角为边,通过代数恒等变换, 求出边与边之间的关系进行判断.

【提醒】在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一,并注重 挖掘隐含条件.另外,在变形过程中要注意角A,B,C的范围对 三角函数值的影响.

【变式备选】(1)在△ABC中,acos( ?-A)=bcos( ?-B),

2

2

则△ABC的形状为()

(A)直角三角形(B)等腰三角形

(C)等边三角形(D)等腰直角三角形

(2)△ABC中,已知a-b=ccosB-ccosA,则△ABC的形状

为()

(A)等腰三角形(B)直角三角形

(C)等腰直角三角形(D)等腰或直角三角形

(3)△ABC中,若b=asinC,c=acosB,则△ABC的形状为()

(A)等腰三角形(B)直角三角形

(C)等腰直角三角形(D)等腰或直角三角形

【解析】(1)选B.方法一:

∵acos(-? A)=bcos(-B?),∴asinA=bsinB.

2

2

由正弦定理可得: a ? a =b ? b ,
2R 2R

∴a2=b2,∴a=b,∴△ABC为等腰三角形.

方法二:∵acos(-?A)=bcos(-B)?,

2

2

∴asinA=bsinB.

由正弦定理可得:2Rsin2A=2Rsin2B,即sinA=sinB,

∴A=B.(A+B=π不合题意舍去)

故△ABC为等腰三角形.

(2)选D.由已知结合余弦定理可得 a ? b ? c ? a2 ? c2 ? b2
2ac
整?c理? b得2 ?(ac2-?b)a(2 , a2+b2-c2)=0,∴a=b或a2+b2
2bc
=c2,∴△ABC为等腰或直角三角形.

(3)选C.由b=asinC可知由bc=?ascinosCB可? s知in B,

a

sin A

整c 理? a得? ab22?+cc22=?ab22,,即三角形一定是直角三角形,

2ac

A=90°,∴sinC=sinB,

∴B=C,∴△ABC为等腰直角三角形.

【满分指导】解答正、余弦定理的综合题 【典例】(12分)(2012·江苏高考)在△ABC中,已知
AB? AC ? 3BA ? BC.
(1)求证:tanB=3tanA. (2)若cosC=求A5的, 值.
5

【思路点拨】

已知条件
AB? AC ? 3BA ? BC

条件分析 利用向量数量积转化为边角 关系,再利用正弦定理转化 为角的关系

cosC ? 5 5

可得tanC,再将tanB转化为 tan(A+C)整理可解

【规范解答】(1)由AB? AC ? 3BA? BC得
| AB | ? AC cos A ? 3 | BA | ? BC cos B,
即为cbcosA=3cacosB,………………………………2分 bcosA=3acosB,由正弦定理得sinBcosA=3sinAcosB,① ……………………………………………………………3分 两边同除cosAcosB得tanB=3tanA. 即tanB=3tanA成立.…………………………………5分

(2)因cosC=所以5C,为锐角,所以tanC=2,
5
由(1)tanB=3tanA,且A+B+C=π,
得tan[π-(A+C)]=3tanA,②…………………………6分
即-tan(A+C)=3tanA? ? tanA ? tanC ? 3tanA,
1? tanAtanC
即=3tatnaAn?A,2……………………………………8分
2tanA ?1
所以tanA=1或tanA=……? 1…. ………………………10分
3
因tanB=3tanA,由内角和为π知两角均为锐角,③
故tanA=应?舍1去.
3
所以tanA=1,所以…A…?…?…. ……………………12分
4

【失分警示】(下文①②③见规范解答过程)

1.(2012·湖南高考)在△ABC中,BACC=?2,B7=,60°,则BC边上的高 等于()

?A? 3???????????B? 3 3???????????C? 3 ? 6????????????D? 3 ? 39

2

2

2

4

【解析】选B.设AB=c,BC边上的高为h. 由余弦定理得AC2=c2+BC2-2BC·ccos60°, 即7=c2+4-4ccos60°,即c2-2c-3=0,
?c ? 3.又h ? c ?sin 60? ? 3? 3 ? 3 3 . 22

2.(2012·广东高考)在△ABC中,若A=60°,B=45°,BC ? 3 2, 则AC=()

?A?4 3???????????B?2 3???????????C? 3????????????D? 3
2
【解析】选B.在△ABC中,由正弦定理知 AC ? BC ,
sin B sin A

?AC ? BCsin B ? 3

2?

2 2 ?2

3.

sin A

3

2

3.(2012·湖北高考)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a, b,c,若三边的长为连续的三个正整数,且A>B>C, 3b=20acosA,则sinA∶sinB∶sinC为() (A)4∶3∶2(B)5∶6∶7 (C)5∶4∶3(D)6∶5∶4

【解析】选D.由题意知:a=b+1,c=b-1,∴3b=20acosA=

20?b ?1? b2

? c2 ? a2 2bc

b2 ? 20(b ?1) ?

? ?b ?1?2 ? ?b ?1?2 2b?b ?1?

,

整理得:7b2-27b-40=0,解之得b=5或(b舍? 去? 8),可知
7

a=6,c=4.结合正弦定理sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c

=6∶5∶4.

4.(2013·济宁模拟)在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b, c,且bcosC=3acosB-ccosB.若则△BAABC? BC ? 2,b ? 2 2, 的形状是_____. 【解析】由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC, 又bcosC=3acosB-ccosB, ∴sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB, 即sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB,

∴sin(B+C)=3sinAcosB,∴sinA=3sinAcosB, 又sinA≠0,∴cosB= 1 .
3 由BA ? BC ? 2得accos B ? 2, 又cos B ? 1,?ac ? 6.
3 由b2 ? a2 ? c2 ? 2accos B, b ? 2 2可得a2 ? c2 ? 12,
??a ? c?2 ? 0,即a ? c,?a ? c ? 6.
故三角形ABC为等腰三角形.
答案:等腰三角形

1.在△ABC中,若2acosB=c,则2cos2+sAinB-1的取值范围
2
是()

?A[? ? 2, 2] ?C?(1, 2]

?B?(?1, 2] ?D[? 1, 2]

【解析】选C.由2acosB=c得2sinAcosB=sinC=sin(A+B),

即2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB,

即sinAcosB-cosAsinB=0,

即sin(A-B)=0,

故A ? B.又cos B ? c >0,故B为锐角. 2a

所以2cos2 A ? sin B ?1 ? cos A ? sin B ? sin B ? cos B 2

? 2sin(B ? ? ). 4

0<B<? ,? ?<B ? ?<3? ,

24

44

? 2sin(B ? ? ) ? (1, 2]. 4

2.△ABC中,三个内角满足sinA∶sinB∶sinC=5∶11∶13,则 △ABC() (A)一定是锐角三角形 (B)一定是直角三角形 (C)一定是钝角三角形 (D)可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形

【解析】选C.由sinA∶sinB∶sinC=5∶11∶13得

a∶b∶c=5∶11∶13.

设a=5k,则b=11k,c=13k,

故cos C ? a2 ? b2 ? c2 ? 25k2 ?121k2 ?169k2 ? ?23<0.

2ab

2?5k ?11k

110

又0<C<π,

故<? C<π,所以C为钝角,
2
故△ABC为钝角三角形.


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