高中数学选修1-2(人教A版)第一章统计案例1.2知识点总结含同步练习及答案

高中数学选修1-2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 统计案例 1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用

一、学习任务 了解独立性检验的基本思想方法及其简单应用. 二、知识清单
独立性检验

三、知识讲解
1.独立性检验 描述: 独立性检验概念
取不同的“值”表示个体所属不同类别的变量称为分类变量.通过对样本的每个分类变量的不同类别的事件发生 的频率大小比较,来分析分类变量之间是否有关联关系. 如下表为 2 × 2 列联表:
B n 11 n 21 n +1 ?? ? B n 12 n 22 n +2

合计
n 1+ n 2+ n

合计

A ?? ? A

根据表中这 4 个数据来检验上述两种状态是否有关,这一检验问题就称为 2 × 2 列联表的独立性检验. 独立性检验的基本思想 ①假设事件 H 0 为 A 与 B 没有关系,若 H 0 成立,即 A 与 B 没有关系,统计量
χ2 = n(n 11 n 22 ? n 12 n 21 ) 2 n 1 + n 2 + n +1 n +2

(有时 χ2 也用 K 2 来表示),用它的大小可以决定是否拒绝统计假设 H 0 ,如果算出
χ2 ,也就是拒绝“事件 A 与 B 无关”,从而就认为它们是有关的了.

的 χ2 值较大,就拒绝

②两个临界值:3.841 与 6.635 .经过对 χ2 统计量分布的研究,已经得到两个临界值:3.841 与 6.635 .当根据 具体的数据算出的 χ2 > 3.841 时,有 95% 的把握说事件 A 与 B 有关;当 χ2 > 6.635 时,有 99% 的把握说 事件 A 与 B 有关.当 χ2 ≤ 3.841 时,认为事件 A 与 B 是无关.

例题: 通过随机询问

110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:

男 爱好 不爱好 总计 由 K2 =
n(ad ? bc) 2 40 20 60


20 30 50

总计
60 50 110

(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)

算得,
2

K2 =

110 × (40 × 30 ? 20 × 20) 2 60 × 50 × 60 × 50

≈ 7.8

附表:
P (K 2 ? k) k 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828

参照附表,得到的正确结论是( A.在犯错误的概率不超过 B.在犯错误的概率不超过 C.有 D.有 解:C 由题意
K 2 = 7.8 > 6.635 ,有 99% 99% 0.1% 0.1%

) 的前提下,认为"爱好该项运动与性别有关" 的前提下,认为"爱好该项运动与性别无关"

以上的把握认为"爱好该项运动与性别有关" 以上的把握认为"爱好该项运动与性别无关"
0.01 = 1% 1%

的机会错误,即有

99%

以上的把握认为“爱好这项运动与性别有

关”.同时,在犯错误的概率不超过

的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”.

为研究不同的给药方式(口服或注射)和药的效果(有效与无效)是否有关,进行了相应的抽样调查,调查结果 如表所示.根据所选择的
193

个病人的数据,能否作出药的效果与给药方式有关的结论? 有效 口服 注射 合计
58 64 122

无效
40 31 71

合计
98 95 193

解:提出假设

H 0 :药的效果与给药方式没有关系.

由列联表中的数据,算出
χ2 = 193 × (58 × 31 ? 40 × 64) 2 122 × 71 × 98 × 95 ≈ 1.3896 < 3.841,

所以根据目前的调查数据,不能否定假设

H 0 ,即不能作出药的效果与给药方式有关的结论.

四、课后作业

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1. 如果有 95% 的把握说事件 A 和 B 有关系,那么具体计算出的数据是 ( A.K 2 > 3.841
答案: A

)
D.K 2 < 6.635

B.K 2 < 3.841

C.K 2 > 6.635

2. 下列说法中正确的是 (

).

①独立性检验的基本思想是带有概率性质的反证法; ②独立性检验就是选取一个假设 H 0 条件下的小概率事件,若在一次试验中该事件发生了,这是与实 际推断相抵触的"不合理"现象,则作出拒绝 H 0 的推断; ③独立性检验一定能给出明确的结论. A.①②
答案: A

B.①③

C.②③

D.①②③

3. 分类变量 X 和 Y 的列联表如下:

则下列说法中正确的是 (

y1 a x1 c x2 总计 a + c

总计 y2 b a+b d c+d b+d a+b+c+d

)

A.ad ? bc 越小,说明 X 与 Y 关系越弱 B.ad ? bc 越大,说明 X 与 Y 关系越强 C.(ad ? bc)2 越大,说明 X 与 Y 关系越强
答案: C

D.(ad ? bc)2 越接近于 0 ,说明 X 与 Y 关系越强

4. 通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表: 男 爱好 不爱好 总计 女 总计

40 20 60

20 30 50

60 50 110

由 K2 = 附表:

n(ad ? bc)2 110 × (40 × 30 ? 20 × 20)2 算得 K 2 = ≈ 7.8 60 × 50 × 60 × 50 ( a + b ) ( c + d ) ( a + c) ( b + d ) P (K 2 ? k) 0.050 0.010 k

0.001

3.841 6.635 10.828

参照附表,得到的正确结论是 (

)

A.在犯错误的概率不超过 0.1% 的前提下,认为"爱好该项运动与性别有关" B.在犯错误的概率不超过 0.1% 的前提下,认为"爱好该项运动与性别无关" C.有 99% 以上的把握认为"爱好该项运动与性别有关" D.有 99% 以上的把握认为"爱好该项运动与性别无关"
答案: C 解析: 由题意

K 2 = 7.8 > 6.635 ,有 0.01 = 1% 的机会错误,即有 99% 以上的把握认为“爱好这项运 动与性别有关”.同时,在犯错误的概率不超过 1% 的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”;

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