2019年高考数学(人教版文)一轮复习课件:选修4-4 坐标系与参数方程1

考情分析 1.直角坐标系与极坐标系是历年高考命题的热点。 2.直线和圆的极坐标方程与直角坐标方程的相互转化是重 点。 [小题热身] 1.若曲线的极坐标方程为ρ=2sinθ+4cosθ,以极点为原 点,极轴为x轴正半轴建立直角坐标系,则该曲线的直角坐标方 程为____________________。 解析:∵ρ=2sinθ+4cosθ, ∴ρ2=2ρsinθ+4ρcosθ, ∴x2+y2=2y+4x, 即x2+y2-2y-4x=0。 答案:x2+y2-4x-2y=0 2.在极坐标系中,已知两点P PQ的长度为__________。 ? 5π? ?5, ? 4? ? ,Q ? π? ?1, ? 4? ? ,则线段 π 解析:P,Q在过极点且与极轴成 4 角的直线上,它们位于 极点的两侧,因此PQ=5+1=6。 答案:6 3.直角坐标方程x2+y2-8y=0的极坐标方程为 __________。 解析:因为x2+y2=ρ2,y=ρ sinθ,所以原方程可化为ρ2- 8ρsinθ=0。 所以ρ=0或ρ=8sinθ。 经检验,得所求的极坐标方程为ρ=8sinθ。 答案:ρ=8sinθ 4.极坐标方程ρ=6cos __________。 ? π? ?θ- ? 3? ? 的直角坐标方程为 π π 解析:原方程可化为ρ=6cosθcos3+6sinθsin 3, 方程两边同乘ρ,得ρ2=3ρcosθ+3 3ρsinθ, 由ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,ρ sinθ=y,得所求的直角坐标方 程为x2+y2-3x-3 3y=0。 答案:x2+y2-3x-3 3y=0 5.在极坐标系中,圆ρ=2cosθ的圆心的极坐标是 π __________,它与方程θ= 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐 标是__________。 π 解析:圆心的极坐标为(1,0),半径为1,θ= 4 与圆的交点的 ? π? 极坐标为? 2,4?。 ? ? ? π? 答案:(1,0),? 2,4? ? ? [知识重温] 一、必记3●个知识点 1.极坐标的概念 (1)极坐标系: 如图所示,在平面内取一个定点O,叫做①______ 极点 ,从O点 极轴 ,选定一个单位长度和角及其正 引一条射线Ox,叫做②______ 方向(通常取逆时针方向),这样就确定了一个平面极坐标系, 极坐标系 。 简称为③__________ (2)极坐标: 对于平面内任意一点M,用ρ表示线段OM的长, θ表示以 极径 ,θ叫做 Ox为始边、OM为终边的角度,ρ叫做点M的④______ 极角 ,有序实数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记作 点M的⑤______ M(ρ,θ)。 当点M在极点时,它的极径⑥______ ρ=0 ,极角θ可以取⑦ ______。 任意值 (3)点与极坐标的关系: 平面内一点的极坐标可以有无数对,当k∈Z时, (ρ,θ), 同一个点,而用平面直 (ρ,θ+2kπ),(-ρ,θ+(2k+1)π)表示⑧________ 角坐标表示点时,每一个点的坐标是唯一的。 如果规定ρ>0,0≤θ<2π,或者-π<θ≤π,那么,除极点 外,平面内的点和极坐标就一一对应了。 2.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把平面直角坐标系的原点作为极点,x轴的正 半轴作为极轴,建立极坐标系,并在两种坐标系中取相同的单 位长度,如图所示。 (2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标 是(x,y),极坐标是(ρ,θ)(ρ>0,θ∈[0,2π)),于是极坐标与直 角坐标的互化公式如表: x2+y2 y (x≠0) x 在一般情况下,由tanθ确定角时,可根据点M所在的象限取 最小正角。 ρcosθ ρsinθ 3.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 圆心在极点, 半径为r的圆 圆心为(r,0), 半径为r的圆 圆心为 ? π? ?r, ?, 2? ? 半径为r的圆 极坐标方程 ρ=r(0≤θ<2π) ?________________ ? π π? ρ=2rcosθ ?- ≤θ< ? ?________________ 2? ? 2 ρ=2rsinθ(0≤θ<π) ?________________ 过极点,倾斜 角 为α的直线 过点(a,0),与 极轴垂直的直 线 (1)θ=α(ρ∈R)或 θ=π+α(ρ∈R) (2)θ=α(ρ≥0)和 θ=π+α(ρ≥0) ?________________ ρcosθ=a ? π? 过点?a, ?,与 2? ? 极轴平行的直线 过点(a,0), 倾斜角为α 的直线 ? ________________ ρsinθ=a(0<θ<π) ? ρsin(α-θ)=asinα ________________ 二、必明3●个易误点 1.极坐标系的四要素:①极点;②极轴;③长度单位;④ 角度单位和它的正方向,四者缺一不可。 2.由极径的意义知ρ≥0,当极角θ的取值范围是[0,2π)时, 平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ,θ)(ρ≠0)建立一一对应关 系,约定极点的极坐标是极径ρ=0,极角可取任意角。 3.极坐标与直角坐标的重要区别:多值性。在直角坐标系 中,点与直角坐标是“一对一”的关系;在极坐标系中,由于 终边相同的角有无数个,即点的极角不唯一,因此点与极坐标 是“一对多”的关系,但不同的极坐标可以写出统一的表达 式。如果(ρ,θ)是点M的极坐标,那么(ρ,θ+2kπ)或(-ρ,θ+ (2k+1)π)(k∈Z)都可以作为点M的极坐标。 课堂设计 考点一 直角坐标系中的伸缩变换 【典例1】在同一平面直角坐标系中,已知伸缩变换φ: ? ?x′=3x ? ? ?2y′=y。 ?1 ? (1)求点A? ,-2?经过φ变换所得的点A′的坐标; ?3 ? (2)求直线l:y=6x,经过φ变换后所得的直线l′的方程。 ?x′=3x ? 解析:

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