高中数学 1.3.1函数的最大(小)值教案 新人教版必修1

1.3.1(2)函数的最大(小)值(教学设计)
教学目的: (1)理解函数的最大(小)值及其几何意义; (2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质; 教学重点:函数的最大(小)值及其几何意义. 教学难点:利用函数的单调性求函数的最大(小)值. 教学过程: 一、 复习回顾,新课引入 1、用定义证明函数的单调性: 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 2、画出下列函数的图象,并根据图象解答下列问题: 1 说出 y=f(x)的单调区间,以及在各单调区间上的单调性; ○ 2 指出图象的最高点或最低点,并说明它能体现函数的什么特征? ○ (1) f ( x) ? ?2 x ? 3 (3) f ( x) ? x 2 ? 2x ? 1 (2) f ( x) ? ?2 x ? 3 x ?[?1,2] (4) f ( x) ? x 2 ? 2x ? 1

x ?[?2,2]

二、师生互动,新课讲解: (一)函数最大(小)值定义 1.最大值 一般地,设函数 y=f(x)的定义 域为 I,如果存在实数 M 满足: (1)对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M; (2)存在 x0∈I,使得 f(x0) = M 那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值(Maximum Value) . 思考:仿照函数最大值的定义,给出函数 y=f(x)的最小值(Minimum Value)的定义. 设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I ,如果存在实数 M 满足: (1)对于任意的 x ? I ,都有 f ( x) ? M ; (2)存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? M . 那么,我们称 M 是函数 y ? f ( x) 的最小值(minimum value). 注意: 1 函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在 x0∈I,使得 f(x0) = M; ○ 2 函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M(f(x)≥M) . ○ 2.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法 (1) 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 (2)利用图象求函数的最大(小)值 (3)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值 1)如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b); 2)如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b); (二)典型例题 例 1. (课本 P30 例 3)利用二次函数的性质确定函数的最大(小)值. 解一: (顶点法) ;

解二: (配方法)y=-4.9(x-1.5) +29.025 说明 :对于具有实际背景的问题,首先要仔细审清题意,适当设出变量,建立适当的函数模型,然后利用二次函 数的性质或利用图象确定函数的最大(小)值. 变式训练 1:如图,把截面半径为 25cm 的圆形木头锯成矩形木料,如果矩形一边长为 x,面积为 y,试将 y 表示成 x 的函数,并画出函数的大致图象,并判断怎样锯才能使得 截面面积最大?

2

25

例 2: (课本 P31 例 4)求函数 y ? 分析:函数单调性求最值。 变式训练 2:求函数 y=

2 在区间[2,6]上的最大值和最小值. x ?1

1 在区间[2,6]上的最大值和最小值。 x ?1

例 3 观察下图,用函数的单调性研究以下问题: (1) 若函数 y ? f ( x) 的定义域为 x ??b, e? ,求最大值和最小值; (2) 若函数 y ? f ( x) 的定义域为 x ? ? a, e? ,求最大值和最小值; (3) 若函数 y ? f ( x) 的定义域为 x ??b, d ? ,求最大值和最小值;

解:(1) 在定义域 ?b, e? 上,函数 y ? f ( x) 在区间 ?b, c ? 上是增函数,在区间 ? c, d ? 上是减函数, 在区间 ? d , e? 上 是增函数,且 f (e) ? f (c) ,则函数 y ? f ( x) 在 ?b, e? 上的最大值为 f (c) ,最小值为 f ( d ) ; (2) 在定义域 ? a, e? 上,函数 y ? f ( x) 在区间 ? a, c ? 上是增函数,在区间 ? c, d ? 上是减函数, 在区间 ? d , e? 上是增 函数,且 f (a) ? f (d ) ,则函数 y ? f ( x) 在 ? a, e? 上的最大值为 f (c) ,最小值为 f ( a ) ; (3) 在定义域 ?b, d ? 上,函数 y ? f ( x) 在区间 ?b, c ? 上是增函数,在区间 ? c, d ? 上是减函数, 由于函数在 x ? d 处 没有定义,则函数 y ? f ( x) 在 ?b, d ? 上的最大值为 f (c) ,没有最小值. 思考:为什么要讨论 f (e) ? f (c) ? 说明:从本例中可以看出,在求函数的最值时,除了注意单调区间的变化之外,还要注意定义域的区间端点的函

数值. 变式训练 3:根据函数图象研究函数 y=x -2x-1 在下列区 间上的最值: (1)[-2,0]; (2)[-2,2]; (3)[0,2]; (3)[0,3]; (4)[2,4]
2

三、课堂小结,巩固反思: 函数的最大(小)值是一个函数在一段区间或者 整个定义域上的整体性质.一个函数可能存在最大值也可能不存 在最大值,最大值具有唯一性.对于最小值也一样. 我们经常利用函数的单调性求函数的最大(小)值. 四、布置作业: A 组: 1、 (课本 P39 习题 1.3A 组 NO:5)

2、求下列函数的最值: 2 2 2 (1)y= -x -4x+5; (2)y= -x -4x+5 ,x ? [-4,-3]; (3) y= -x -4x+5 ,x ? [-4,-1] 2 2 2 (4)y= -x -4x+5 ,x ? [-3,-1]; (5)y= -x -4x+5 ,x ? [-1,3];(6) y= -x -4x+5 ,x ? [0,4]

B 组: 1、 (课本 P39 习题 1.3B 组 NO:1)

2、 (课本 P39 习题 1.3B 组 NO:2)

C 组: 例 2.旅 馆 定 价 一个星级旅馆有 150 个标准房,经过一段时间的经营,经理得到一些定价和住房率的数据如下: 房价(元) 160 140 120 100 住房率(%) 55 65 75 85

欲使每天的的营业额最高,应如何定价? 解:根据已知数据,可假设该客房的最高价为 160 元,并假设在各价位之间,房价与住房率之间存在线性关系. 设 y 为 旅 馆 一 天 的 客 房 总收 入 , x 为 与 房 价 160 相比 降 低 的 房 价 , 因 此 当房 价 为 (160 ? x) 元 时 , 住 房 率 为

(55 ?

x ?10)% ,于是得 20

y =150· (160 ? x) · (55 ?
由于 (55 ?

x ?10)% . 20

x ?10)% ≤1,可知 0≤ x ≤90. 20 因此问题转化为:当 0≤ x ≤90 时,求 y 的最大值的问题. 2 将 y 的两边同除以一个常数 0.75,得 y 1=- x +50 x +176 00. 由于二次函数 y 1 在 x =25 时取得最大值,可知 y 也在 x =25 时取得最大值,此时房价定位应是 160-25=135(元) ,相
应的住房率为 67.5%,最大住房总收入为 13668.75(元) . 所以该客房定价应为 135 元. (当然为了便于管理,定价 140 元也是比较合理的)


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