江都市大桥中学1213学年高一下学期期中考试数学试题(附答案)

大桥中学 2012-2013 学年高一下学期期中考试数学试题 一、填空题 1.在平行四边形 ABCD 中, 点 E 是 AD 的中点, BE 与 AC 相交于点 F , 若 EF ? mAB ? nAD(m, n ? R) , 则 ??? ? ??? ? ??? ? m 的值为 n ; 2.电流强度 I(安)随时间 t(秒)变化的函数 I ? A sin(?t ? 图所示,则当 t ? ? 6 )( A ? 0, ? ? 0) 的图象如 1 时,电流强度是 50 。 3.如果一弧度的圆心角所对的弦长为 2,那么这个圆心角所对的弧长是________. 4.某小组有三名女生,两名男生,现从这个小组中任意选出一名组长,其中女生当选为组 长的概率是___________。 ?log3 x ( x ? 0) 1 f ( x) ? ? x f [ f ( )] 2 ( x ? 0 ) 9 的值是________ ? 5.若函数 ,则 bn ? (a1 ? a2 ? ? ? an ) n 6.若数列 ?a n ? 是等差数列,对于 ,则数列 ?bn ?也是等差数列。类 比上述性质,若数列 ?c n ?是各项都为正数的等比数列,对于 d n ? 0 ,则 d n = 列 ?d n ? 也是等比数列。 时,数 1 ? ? ? OA ? a , OB ? b , OC ? c 7. 已知空间四边形 OABC , 点 M , N 分别为 OA, BC 的中点, 且 , 用 a , b , c 表示 MN ,则 MN =_______________。 8.中心在原点,准线方程为 x ? ?4 ,离心率等于 ? ? ? 1 的椭圆方程是 2 . 9.函数 y ? f ( x) 是定义在 [ a, b] 上的增函数,其中 a, b ? R 且 0 ? b ? ? a ,已知 y ? f ( x) 无零点,设函数 F ( x) ? f 2 ( x) ? f 2 (? x) ,则对于 F ( x) 有以下四个说法: ①定义域是 [?b, b] ;②是偶函数;③最小值是 0;④在定义域内单调递增. 其中正确的有_____________(填入你认为正确的所有序号) 10.若 a =(2,1), b =(-3,-4),则向量 a 在向量 b 方向上的正射影的坐标___________. 11.若对于任意 x ? 0 ,不等式 ? ? ? ? x ? a 恒成立,则实数 a 的取值范围是 x ? 3x ? 1 2 . 1? i 12.关于 z 的方程 ? i 1? i 0 1 2 0 z ,则方程的解 z ? i ? 2 ? i 2013 (其中 i 是虚数单位) . z ?1 13. 在下面的程序框图中,输出的 y 是 x 的函数,记为 y ? f ( x) ,则 f 1 ( )? 2 . 14.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出 7 名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满 分 100 分)的茎叶图如图,其中甲班学生的平均分是 85,乙班学生成绩的中位数是 83,则 x ? y 的值为 二、解答题 15 .如图,三棱锥 P — ABC 中,平面 PAC ⊥平面 BAC , AP=AB=AC=2 ,∠ BAC= ∠ PAC=120°。 (I)求棱 PB 的长; (II)求二面角 P—AB—C 的大小。 16. (理)如图,P—ABCD 是正四棱锥, ABCD ? A1B1C1D1 是正方体,其中 AB ? 2, PA ? 6 (1)求证: PA ? B1D1 ; (2)求平面 PAD 与平面 BDD1B1 所成的锐二面角 ? 的余弦值; ? 1 a? 17. (1) (本小题满分 5 分)选修 4-2:矩阵与变换。已知矩阵 A ? ? ? ?1 b ? ? ,A 的一个特征 ? ? ? 2? 值 ? ? 2 ,属于 λ 的特征向量是 ?1 ? ? ? ,求矩阵 A 与其逆矩阵. ?1? ? ? (2) (本小题满分 7 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知直线 l 的极坐标方程是 ? cos ? ? ? sin ? ? 1 ? 0 .以极点为平面直角坐标系的原点,极 ? x ? ?1 ? cos ? C:? (? 为参数) ? y ? sin ? 轴为 x 轴的正半轴, 建立平面直角坐标系, 在曲线 上求一点, 使它到直线 l 的距离最小,并求出该点坐标和最小距离. 18. ?ABC中, 5 sin A ? (2 5 ? 1) sin A ? 2 ? 0, A 是锐角,求 tan 2 A 的值; 2 1 a ? ( cos x, 3 sin x) b ? k ,(k ? R) 2 19.已知向量 ,b ? (4cos x, 2cos x) ,函数 f ( x) ? a? (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调增区间; (Ⅱ)若 x ? [0, ? ] 时, f ( x ) 的最大值为 4,求 k 的值. 20.已知抛物线 C : x 2 ? 2 py ( p ? 0 )上一点 A(a, 4) 到其准线的距离为 (Ⅰ)求 p 与 a 的值; 17 . 4 (Ⅱ)设抛物线 C 上动点 P 的横坐标为 t ( 0 ? t ? 2 ),过点 P 的直线交 C 于另一点 Q ,交 x 轴于 M 点(直线 PQ 的斜率记作 k ).过点 Q 作 PQ 的垂线交 C 于另一点 N .若 MN 恰好 是 C 的切线,问 k ? tk ? 2t 是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由. 2 2 参考答案 (II)方法 1:如图 1,作 OD⊥AB,垂足为 D,连结 PD,由三垂线定理得,PD⊥AB。 则∠PDO 为二面角 P—AB—C 的平面角的补角。 故二面角 P—AB—C 的大小为 ? ? arccos 5 . 5 16.解:以 A1

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