人教A版高中数学必修二:2.3.3直线与平面垂直的性质课件1_图文

直线与平面垂直的性质
(1)基本性质 一条直线垂直于一个平面,那么这条直线垂直于这个 平面内的任意直线
D1 A1 B1 D C1

P
D

A

B

C

C B

A

侧棱垂直于底面,侧棱 垂直于底面的任何一条 直线。

PD⊥底面,则PD⊥AB,PD ⊥BC,等。

(2)性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行
m

l

?

m⊥? l ⊥?



m // l

有关结论: 1、垂直于同一条直线的两个平面互相平行; 2、两条平行线中一条垂直于一个平面,则另 一条也垂直于这个平面; 3、两个平行平面中的一个垂直于一条直线, 则另一个平面也垂直于这条直线。

练习
1、如图PA⊥矩形ABCD,下列结论中不正确的是
A. PB⊥BC B. PD⊥CD C. PO⊥BD D. PA⊥BD P 2、已知a、b是两条不重合的直线, α、β、γ是三个两两不重合的 平面,给出下列四个命题: A ?若a⊥α,a⊥β,则α∥β; ? 若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β; ?若α∥β,a?α,b?β,则a∥b; B ?若α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,则 a∥b。其中正确命题的序号是 (D) A. ?? B. ?? C. ?? D. ?? (C )

D O C

例1、如图,在四面体ABCD中,若AB⊥CD,AD⊥BC, 求证:AC⊥BD.

A

B

O C

D

证明:过A作AO⊥平BCD, 垂足为O,连接BO、CO、DO, 则AO⊥CD, ∵AB⊥CD,AB∩AO=A,∴CD⊥平 面ABO,BO?平面ABO,∴CD⊥BO。

同理,BC⊥DO,则O为△BCD的垂 心,∴CO⊥BD,∵AO⊥BD,CO∩ AO=O, ∴BD⊥平面ACO。又AC?平面ACO ∴AC⊥BD

例2、如图,在直三棱柱ABC —A 1B1C1中,AB=BC =BB1, D为AC的中点, (1)求证:B1C∥平面A1BD; ( 2 )若AC1⊥平面A1BD,求证B1C1⊥平面ABB1A1. B1 A1 E C1
(1)证明:连接AB1,交A1B于 E,连接DE. ∵在直三棱柱ABC —A 1B1C1中, AB=BB1,∴侧面ABB1A1是正方形, ∴E是AB1的中点,D为AC的中点 ,∴DE∥B1C,∴B1C∥平面A1BD. 侧面ABB1A1是正方形∴AB1⊥A1B , ∴A1B⊥平面AB1C1,∴A1B ⊥B1C1.

B
D A

C (2) AC1⊥平面A1BD, ∴AC1⊥A1B,又∵

又∵是直三棱柱,∴BB1⊥B1C1,∴B1C1⊥平面ABB1A1.

练一练
1、设l、m、n为三条不同的直线,α为一个平面,下列 命题中正确的个数是 ( C) ①若l⊥α,则l与α相交;②若m?α,n?α,l⊥m,l⊥n 则l⊥α;③若l //m,m//n,l⊥α,则n⊥α;④若l//m,

m⊥α,n⊥α,则l //n. A.1 B.2 C.3

D.4

2、如图,已知四边形ABCD是矩形,AD=4,AB=2,F是线段BC 的中点,PA⊥平面ABCD,求证PF⊥FD. P 提示:连接AF. A B F C D


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