高中数学 3.2.1 直线的点斜式方程课件 新人教A版必修2_图文

3.2.1

直线的点斜式方程

[提出问题]

斜拉桥又称斜张桥,桥身简约刚毅,
力感十足.若以桥面所在直线为x轴,桥 塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系, 那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线. 问题1:已知某一斜拉索过桥塔上一点B,那么该斜拉索位

置确定吗?
提示:不确定.从一点可引出多条斜拉索.

问题2:若某条斜拉索过点B(0,b),斜率为k,则该斜拉 索所在直线上的点P(x,y)满足什么条件?
y-b 提示:满足 = k. x-0

问题3:可以写出问题2中的直线方程吗? 提示:可以.方程为y-b=kx.

[导入新知]

1.直线的点斜式方程
(1)定义:如图所示,直线l 过定点P(x0,y0),斜率为k,则把 y-y0=k(x-x0) 叫做直线l的点 方程________________ 斜式方程,简称点斜式.

(2)说明:如图所示,过定点P(x0,y0),倾斜角是90°的直
线没有点斜式,其方程为x-x0=0,或______. x=x0

2.直线的斜截式方程 (1)定义:如图所示,直线l的斜率为k,且与y轴的交点为 y=k x+b 叫做直线l的斜截式方程,简称斜截 (0,b),则方程_________ 式.

(2)说明:一条直线与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直线
直角 截距 倾斜角是________ 在y轴上的______. 的直线没有斜截式方程.

[化解疑难]
1.关于点斜式的几点说明: (1)直线的点斜式方程的前提条件是:①已知一点P(x0,y0) 和斜率k;②斜率必须存在.只有这两个条件都具备,才可以 写出点斜式方程.
y-y0 (2)方程 y-y0=k(x-x0)与方程 k= 不是等价的,前者 x-x0

是整条直线,后者表示去掉点 P(x0,y0)的一条直线.

(3)当k取任意实数时,方程y-y0=k(x-x0)表示恒过定点(x0,
y0)的无数条直线. 2.斜截式与一次函数的解析式相同,都是y=kx+b的形式, 但有区别,当k≠0时,y=kx+b即为一次函数;当k=0时,y=b, 不是一次函数,一次函数y=kx+b(k≠0)必是一条直线的斜截式

方程.截距不是距离,可正、可负也可为零.

直线的点斜式方程
[例1] ________. (1)经过点(-5,2)且平行于y轴的直线方程为

(2)直线y=x+1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直
线l,则直线l的点斜式方程为________. (3)求过点P(1,2)且与直线y=2x+1平行的直线方程为 ________.

[解析]

(1)∵直线平行于y轴,∴直线不存在斜率,∴方程

为x=-5.
(2)直线y=x+1的斜率k=1,所以倾斜角为45°.由题意知, 直线l的倾斜角为135°,所以直线l的斜率k′=tan 135°=-1, 又点P(3,4)在直线l上,由点斜式方程知,直线l的方程为y-4= -(x-3).

(3)由题意知,所求直线的斜率为2,且过点P(1,2),∴直线
方程为y-2=2(x-1),即2x-y=0. [答案] (1)x=-5 (2)y-4=-(x-3) (3)2x-y=0

[类题通法] 已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点

的坐标,均可用直线方程的点斜式表示,直线方程的点斜式,
应在直线斜率存在的条件下使用.当直线的斜率不存在时, 直线方程为x=x0.

[活学活用] 1.写出下列直线的点斜式方程: (1)经过点A(2,5),斜率是4; (2)经过点B(2,3),倾斜角是45°; (3)经过点C(-1,-1),与x轴平行.

解:(1)由点斜式方程可知,所求直线的点斜式方程为y-5
=4(x-2). (2)∵直线的倾斜角为45°, ∴此直线的斜率k=tan45°=1. ∴直线的点斜式方程为y-3=x-2.

(3)∵直线与x轴平行,∴倾斜角为0°,斜率k=0.
∴直线的点斜式方程为y+1=0×(x+1),即y=-1.

直线的斜截式方程 [例2] (1)倾斜角为150°,在y轴上的截距是-3的直线的

斜截式方程为________. (2)已知直线l1的方程为y=-2x+3,l2的方程为y=4x-2, 直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同,求直线l的方程.
[解析] 3 (1)∵倾斜角 α=150° ,∴斜率 k=tan 150° =- , 3

3 由斜截式可得所求的直线方程为 y=- x-3. 3

(2)由斜截式方程知直线l1的斜率k1=-2,
又∵l∥l1, ∴l的斜率k=k1=-2.由题意知l2在y轴上的截距为-2, ∴l在y轴上的截距b=-2,由斜截式可得直线l的方程为y =-2x-2.
[答案] 3 (1)y=- x-3 3

[类题通法]

1.斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在.当b=0时,
y=kx表示过原点的直线;当k=0时,y=b表示与x轴平行(或重 合)的直线. 2.截距不同于日常生活中的距离,截距是一个点的横(纵) 坐标,是一个实数,可以是正数,也可以是负数或零,而距离

是一个非负数.

[活学活用] 1 2.求倾斜角是直线y=- 3 x+1的倾斜角的 ,且在y轴上 4 的截距是-5的直线方程.
解:∵直线y=- 3 x+1的斜率k=- 3 ,∴其倾斜角α= 1 120° ,由题意,得所求直线的倾斜角α1= α=30° ,故所 4 求直线的斜率k1=tan 30° = ∵所求直线的斜率是 3 . 3

3 ,在y轴上的截距为-5, 3

3 ∴所求直线的方程为y= x-5. 3

两直线平行与垂直的应用 [例3] 当a为何值时,

(1)两直线y=ax-2与y=(a+2)x+1互相垂直?
(2)两直线y=-x+4a与y=(a2-2)x+4互相平行?
[ 解] =a+2. ∵两直线互相垂直, ∴k1k2=a(a+2)=-1, 解得 a=-1. 故当 a=-1 时,两条直线互相垂直. (1)设两直线的斜率分别为 k1,k2,则 k1=a,k2

(2)设两直线的斜率分别为 k3,k4, 则 k3=-1,k4=a2-2. ∵两条直线互相平行,
2 ? ?a -2=-1, ∴? ? ?4a≠4,

解得 a=-1.

故当 a=-1 时,两条直线互相平行.

[类题通法] 判断两条直线位置关系的方法 直线l1:y=k1x+b1,直线l2:y=k2x+b2. (1)若k1≠k2,则两直线相交. (2)若k1=k2,则两直线平行或重合, 当b1≠b2时,两直线平行; 当b1=b2时,两直线重合. (3)特别地,当k1· k2=-1时,两直线垂直. (4)对于斜率不存在的情况,应单独考虑.

[活学活用]

3.(1)若直线l1:y=(2a-1)x+3与直线l2:y=4x-3垂直,
则a=________. (2)若直线l1:y=-x+2a与直线l2:y=(a2-2)x+2平 行,则a=________.
解析:(1)由题意可知 kl1=2a-1,kl2=4. 3 ∵l1⊥l2,∴4(2a-1)=-1,解得 a= . 8 (2)因为 l1∥l2,所以 a2-2=-1,且 2a≠2,解得 a=-1, 所以 a=-1 时两直线平行. 3 答案:(1) (2)-1 8

7.斜截式判断两条直线平行的误区

[典例]

已知直线l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x

+3y+2m=0,当l1∥l2时,求m的值.

[解]

m- 2 2 由题设l2的方程可化为y=- x- m , 3 3

m- 2 2 则其斜率k2=- ,在y轴上的截距b2=- m. 3 3 ∵l1∥l2,∴l1的斜率一定存在,即m≠0. 1 6 ∴l1的方程为y=-mx-m.

? m- 2 1 ?- 3 =-m, 由l1∥l2,得? ?-2m≠- 6 , m ? 3 解得m=-1.∴m的值为-1.

[易错防范] 1.两条直线平行时,斜率存在且相等,截距不相 等.当两条直线的斜率相等时,也可能平行,也可能重合. 2.解决此类问题要明确两直线平行的条件,尤其是在 求参数时要考虑两直线是否重合.

[成功破障]

当a为何值时,直线l1:y=-2ax+2a与直线l2:y=(a2-3)x
+2平行? 解:∵l1∥l2,∴a2-3=-2a且2a≠2, 解得a=-3.

[随堂即时演练] 1.直线y=2x-3的斜率和在y轴上的截距分别等于( A.2,3 C.-3,2 答案:D 2.直线l经过点P(2,-3),且倾斜角α=45°,则直线的点斜 式方程是( ) B.y-3=x+2 A.y+3=x-2 B.-3,-3 D.2,-3 )

C.y+2=x-3
∴直线l的方程为y+3=x-2.

D.y-2=x+3
答案:A

解析:∵直线l的斜率k=tan 45°=1,

3.过点(-2,-4),倾斜角为60°的直线的点斜式方

程是________.
解析:α=60° ,k=tan 60° = 3, 由点斜式方程,得 y+4= 3(x+2).
答案:y+4= 3(x+2)

4.在y轴上的截距为2,且与直线y=-3x-4平行的直线的斜截 式方程为________. 解析:∵直线y=-3x-4的斜率为-3,

所求直线与此直线平行,
∴斜率为-3,又截距为2,∴由斜截式方程可得y=-3x+2. 答案:y=-3x+2

5.(1)求经过点(1,1),且与直线y=2x+7平行的直线的方程; (2)求经过点(-2,-2),且与直线y=3x-5垂直的直线的

方程.
解:(1)由y=2x+7得其斜率为2,由两直线平行知所求直线 的斜率是2. ∴所求直线方程为y-1=2(x-1), 即2x-y-1=0.

(2)由y=3x-5得其斜率为3,由两直线垂直知,所求直线的
斜率是-. ∴所求直线方程为y+2=-(x+2),即x+3y+8=0.


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