人教版2017高中数学(选修4-4)2.3 直线的参数方程 PPT课件_图文

第二讲 参数方程 2.3 直线的参数方程 栏 目 链 接 1.了解直线的几何性质,选择适当的 参数写出它 们的参数方程。 2. 举例说明某些直线用参数方程表示比用普通方 程更方便,感受参数方程的优越性。 栏 目 链 接 栏 目 链 接 ?x=x +tcos α, ? (t 为参数) 为直线参数方程的标准形式,直线上的动点 M 到定点 ? ?y=y0+tsin α ? ,这一形式称 0 数方程为 __________________________ → M0 的距离等于参数 t 的绝对值.当 t>0 时,M 0M的方 → 向向上;当 t<0 时,M 0M的方向向下;当点 M 与点 M0 重合时,t=0. 1.过定点 M0(x0,y0)、倾斜角为 α 的直线 l 的参 栏 目 链 接 2.若直线的参数方程为一般形式为: ? ?x=x0+at, ? ( t 为参数), ?y=y0+bt ? 可把它化为标准形式:_______________. 其中 α 是直线的_______,tan α=_________, 此时参数 t′才有如前所说的几何意义. ? ?x=x0+t′cos α, ? (t′为参数) ?y=y0+t′sin α ? 栏 目 链 接 倾斜角 b a 预习 思考 π 经 过 点 M0(1,5) , 倾 斜 角 是 的 直 线 l 的 参 数 方 程 为 : 3 ____________________________., 栏 目 链 接 ? 答案:? 3 ?y=5+ 2 t 1 x=1+ t, 2 (t 为参数) 栏 目 链 接 题型1 直线的参数方程及其理解 ? ?x=5+3t, 例 1 设直线的参数方程为? ? ?y=10-4t. (1)求直线的普通方程; (2)化参数方程为标准形式. 10-y 解析:(1)由 y=10-4t,得 t= ,代入 x=5+3t, 4 10-y 得 x=5+3× . 4 化简得普通方程为 4x+3y-50=0. 栏 目 链 接 (2)把方程变形为 ? ? 4 ?y=10+5×?-5t?. 3 令 cos α=- , 5 3 x=5+3t=5- ×?-5t?, 5 栏 目 链 接 4 sin α= . 5 u=-5t,则参数方程的标准形式为: ? ? 4 ?y=10+5u. 3 x=5- u, 5 栏 目 链 接 例 2 已知直线 l 的方程为 3x-4y+1=0,点 P(1,1) 在直线 l 上, 写出直线 l 的参数方程, 并求点 P 到点 M(5,4) 和点 N(-2,6)的距离. 3 分析:由直线的方程可知,直线的斜率为 ,即直线的 4 3 3 3 倾斜角(设为 α)的正切值为 ,tan α= ,则 sin α= ,cos α 4 4 5 4 = .因为点 P 在直线 l 上, 5 栏 目 链 接 为了方便运算,选择点 P 作为直线上的定点,到点 M 和点 N 的距离可以根据参数方程的特点及几何意义或者两点之间的距离 公式来求. 3 解析:由直线方程 3x-4y+1=0 可知,直线的斜率为 ,设直 4 线的倾斜角为 α, 3 3 4 则 tan α= ,sin α= ,cos α= . 4 5 5 又点 P(1,1)在直线 l 上, 所以直线 l 的参数方程为 栏 目 链 接 t, ?x=1+4 5 ? 3 y = 1 + t ? 5 (t 为参数). 因为 3×5-4×4+1=0,所以点 M 在直 4 线 l 上.由 1+ t=5,得 t=5, 5 栏 目 链 接 即点 P 到点 M 的距离为 5. 因为点 N 不在直线 l 上, 故根据两点之间的距离公 式,可得 |PN|= ?1+2?2+?1-6?2= 34. 所以点 P 到点 N 的距离为 34. 栏 目 链 接 变式 训练 1.直线过点 A(1,3),且与向量(2,-4)共线. (1)写出该直线的参数方程; (2)求点 P(-2,-1)到此直线的距离. 栏 目 链 接 分析:已知直线与向量(2,-4)共线,可知直线的斜 -4 率 k= . 2 变式 训练 解析:(1)由题意知直线的点斜式方程为 -4 y-3= (x-1). 2 t ? ?x=1-2, -4 设 y-3= (x-1)=t,则? 2 ? ?y=3+t. t ? ?x=1-2, 所以该直线的参数方程为? ? ?y=3+t. 栏 目 链 接 变式 训练 (2)解法一 如下图所示,在直线上任取一点 M(x,y),则 栏 目 链 接 变式 训练 |PM|2=(x+2)2+(y+1)2 ? ?2 t =?1-2+2? +(3+t+1)2 ? ? 52 = t +5t+25 4 5 2 = (t+2) +20. 4 栏 目 链 接 变式 训练 当 t=-2 时,|PM|2 取最小值,此时|PM|等于点 P 与直线的距离,则|PM|= 20=2 5. 解法二 由点 P 向直线作垂线,垂足记为 P0,如上 图所示,它对应参数 t=-2,代入直线的参数方程,可 得点 P0 的坐标: x=2, y=1, 即垂足 P0(2,1), 显然有|PP0| = ?2+2?2+?1+1?2=2 5. 栏 目 链 接 题型2 直线参数方程的应用 ? 10 ? 2 2 例 3 过点 P? ,0?作倾斜角为 α 的直线与曲线 x +2y ? 2 ? =1 交于点 M、N,求|PM|· |PN|的最小值及相应的 α 值. 10 ? ?x= 2 +tcos α, 解析:设直线方程为? ? ?y=tsin α 代入 x2+2y2=1, 3 得(1+sin α)t + 10tcos α+ =0. 2 2 2 栏 目 链 接 (t 为参数), 3 则|PM|· |PN|=|t1t2|= . 2?1+sin2α? 又直线

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