新疆维吾尔自治区乌鲁木齐一中2011届高三第一次月考数学试题


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乌鲁木齐市第一中学 2011 届高三上学期第一次月考

数 学 试 题
注意: 本试卷满分 150 分,考试时间为 120 分钟,请考生在答卷相应位置上作答,在试卷上答 题无效。 一、选择题: (本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,请将选项填在答卷相应的表格中) 1.若集合 M = { y y = 2 x , x ∈ R } ,集合 S = x y = lg( x ? 1)}, 则下列各式中正确的是 ( A. M ∪ S = M 2.下列各式中,值为 B. M ∪ S = S C. M = S D. M ∩ S = Φ ( B. cos 15 ? sin 15
2 0 2 2 0 2

{



3 的是 2
0 0



A. 2 sin 15 cos 15 C. 2 sin 15 ? 1
2 0

0

D. sin 15 + cos 15

0

3.下列命题中,真命题是 A. ?x ∈ R, x 2 + x = ?1 C. ?x ∈ R, ( ) x > ( ) x 4.已知 | a |= 1, | b |= A.30° B. ?x ∈ (0,





π
2

), tan x < sin x

1 2

1 3

D. ?x ∈ R, sin( x +

π
4

) = cos x
( )

2 , 且a ⊥ (a ? b), 则向量a与向量b 的夹角是
B.45° C.90° D.135°

5.把函数 f ( x ) = sin( 2 x + ( A. (? )

π
4

) 的图象按向量 a 平移后,在 x =

π
4

处取得最大值,则 a =

π
4

,0 )

B. (

π
4

,0 )

C. (?

π
8

,0 )

D. (

π
8

,0 )

6.不等式(1+x) (1-|x|)>0 的解集是 A. {x|0≤x<1 } C. {x|-1<x<1 } B. {x|x<0 且 x≠-1 } D. {x|x<1 且 x≠-1 }





4 7.已知函数 f ( x ) = lg(5x + x + m) 值域是 R ,则 m 的取值范围是 5
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A. (?4,+ ∞ )
B.[?4,+ ∞)

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C. (?∞,? 4)

D. (?∞,? 4] ( )

8.不等式 x + 3 ? x ? 1 ≤ a 2 ? 3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为 A. (?∞, ?1] ∪ [4, +∞ ) C. [1, 2] 9.已知函数 f (x ) 满足 f ( x ? 1) = 10
x ?1

B. (?∞, ?2] ∪ [5, +∞ ) D. ( ?∞,1] ∪ [2, +∞ ) ,则函数 y = f
?1

(1 ? x) 的图象是





A

B

C

D

10.已知 f ( x ) = ( x ? 2009)( x + 2010) 的图像与 x 轴、 y 轴有三个不同的交点,有一个圆 恰好经过这三个点,则此圆与坐标轴的另一个交点是 A. (0,1) B. (0,2) C. (0, ( D. (0, )

2009 ) 2010

2010 ) 2009

11.已知平面区域 D 由以 A(1,3) 、 B (5,2 ) 、 C (3,1) 为顶点的三角形内部和边界组成.若在 区域 D A. ? 2 12.已知 an=( 上 有 无 穷 多 个 点 ( x, y ) 可 使 目 标 函 数 z = x + my 取 得 最 小 值 , 则 m = ( ) B. ? 1

C. 1

D.4

1 n ) ,把数列{an}的各项排列成如下的三角形状, 3

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 记 A(m,n)表示第 m 行的第 n 个数,则 A(10,12)=
A. (

( D. (



1 92 ) 3

B. (

1 93 ) 3

C. (

1 94 ) 3

1 112 ) 3

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填写在答卷相应的横线上. )
13.设 f ( x) = ?

? ex , x ≤ 0 1 ,则 f ( f ( )) = _ 2 ?ln x, x > 0

×

_.

14.在极坐标系中,点 P ( 2, ?

π
6

) 到直线 l : ρ sin(θ ?

π
6

) = 1 的距离是_ ×

_.

15.设 Sn 为等比数列 {an } 的前 n 项和,已知 3S3 = a4 ? 2 , 3S 2 = a3 ? 2 ,则公比 q = _____×________

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16.给出下列四个命题:

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①动点 M 到两定点 A、 的距离之比为常数 λ (λ > 0且λ ≠ 1) , B 则动点 M 的轨迹是圆;

x2 y2 2 ,则b = c; ②椭圆 2 + 2 = 1( a > b > 0) 的离心率为 2 a b
③双曲线

x2 y2 ? = 1 (a > 0, b > 0) 的焦点到渐近线的距离是 b ; a 2 b2
2

④已知抛物线 y = 2 px 上两点 A( x1,y1 ) , B ( x 2,y 2 ), 且 OA ? OB = 0( O 为原点), 则 y1 y 2 = ? p 2 . 其中的真命题是_____×________. (把你认为是真命题的序号都填上) 三、解答题: (本大题共 6 题,共 70 分,将解答写在答卷相应位置上,解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤)

?x2 ? 4x + 3 < 0 17. (本小题满分 10 分) 已知 p : 2 x 2 ? 9 x + a < 0, q : ? 2 ,且 ?p 是 ?q 的充分 ?x ? 6x + 8 < 0
条件,求实数 a 的取值范围。

3 18. (本小题满分 10 分)直线经过点 P (?3, ? ) 且被圆 x 2 + y 2 = 25 截得的弦长为 8, 求此弦 2 所在直线方程

19. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) = 3 sin

x x x 1 cos + cos 2 + 4 4 4 2

(1)求 f ( x) 的单调递增区间; (2)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,且满足 ( 2a ? c) cos B = b cos C - 3 --

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求函数 f ( A) 的取值范围

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20. (本题 12 分)数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 = 1, an +1 = 2 S n + n + 1( n ≥ 1) 。 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设等差数列 {bn } 各项均为正数,满足 b1 + b2 + b3 = 18 ,且

a1 + b1 + 2 , a2 + b2 , a3 + b3 ? 3 成等比数列。求 {bn } 的通项公式。

21.本小题满分 12 分)已知两定点 F1 (? 2, 0), F2 ( 2, 0), 满足条件 | PF2 | ? | PF1 |= 2 的点 P ( 的轨迹是曲线 E ,直线 y = kx ? 1 与曲线 E 交于 A, B 两点 如果 | AB |= 6 3 ,求直线

AB 的方程。

22. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x ) 是定义在 [?e, 0) ∪ (0, e] 上的奇函数,当 x ∈ (0, e] 时, 有 f ( x ) = ax + ln x (其中 e 为自然对数的底, a ∈ R ) .

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(1)求函数 f (x ) 的解析式;

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(2)试问:是否存在实数 a ,使得当 x ∈ [ ?e, 0) , f (x ) 的最小值是 3?如果存在,求 出实数 a 的值;如果不存在,请说明理由.

参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1—5 ABDBD 6—10D D AAA 11—12CB 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在题中的横线上. 13.

1 . 2

14. 3 + 1

15.4

16.①②③;

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. a ≤ 9 18.解: (1)当斜率 k 不存在时, 过点 P 的直线方程为 x = ?3 , . 代入 x 2 + y 2 = 25 ,得 y1 = 4, y2 = ?4 . ∴弦长为 y1 ? y2 = 8 ,符合题意 (2)当斜率 k 存在时,设所求方程为 y + 即 kx ? y + 3k ?

3 = k ( x + 3) , 2

3 =0 2
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由已知,弦心距 OM = 52 ? 42 = 3 ,

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3 | k ? 0 ? 0 + 3k ? | 2 = 3 ,解得 k = ? 3 ∴ 2 4 k +1
所以此直线方程为

3 3 = ? ( x + 3) ,即 3x + 4 y + 15 = 0 2 4 所以所求直线方程为 x + 3 = 0 或 3x + 4 y + 15 = 0 y+

19.解: (Ⅰ)由 f ( x ) =

3 x 1 x x π sin + cos + 1 = sin( + ) + 1 2 2 2 2 2 6

由2kπ ?

x π π + ≤ 2 kπ + ( k ∈ Z ) 2 2 6 2 4π 2π 得 4 kπ ? ≤ x ≤ 4 kπ + (k ∈ Z ) 3 3 4π 2π ∴ f (x ) 的单调递增区间为 [4kπ ? , 4k π + ] (k ∈ Z ) 3 3 ≤

π

(Ⅱ)由 ( 2a ? c ) cos B = b cos C , 得 ( 2 sin A ? sin C ) cos B = sin B cos C ,

∴ 2 sin A cos B ? cos B sin C = sin B cos C , ∴ 2 sin A cos B = sin( B + C )

∵A+ B+C =π ,
∴ cos B =

∴ sin( B + C ) = sin A, 且 sin A ≠ 0,

1 π 2π , B = ,0 < A < . 2 3 3 π A π π 1 A π ∴ < + < , < sin( + ) < 1, 6 2 6 2 2 2 6 A π ∵ f ( A) = sin( + ) + 1 , 2 6 3 ∴ 函数 f ( A) 的取值范围是 ( , 2) . 2

20.解: (1) 由

an +1 = 2 S n + n + 1 an = 2 S n ?1 + n (n ≥ 2)

得 an +1 = 3an + 1 ( n ≥ 2)

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∴ an +1 +

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1 1 1 = 3( an + ) ,又 a2 = 4 = 3( a1 + ) 也满足上式 2 2 2 1 3 ∴ 数列 {an + } 是首项为 公比为 3 的等比数列 2 2

∴ an +

1 3 n ?1 3n 1 = × 3 = ,∴ an = (3n ? 1)(n ∈ N*) 2 2 2 2

(2)由 b1 + b2 + b3 = 18 可得 b2 = 6 ,设 {bn } 的公差为 d 且 d > 0 ,依题意可得

9 ? d ,10,16 + d 成等比数列,

∴ (9 ? d )(16 + d ) = 100 ,
, 解得 d = 4 或 d = ?11 (舍去)

∴ bn = 4n ? 2(n ∈ N*)
21.解:由双曲线的定义可知,曲线 E 是以 F1 ? 2, 0 , F2 且c =

(

) (

2, 0 为焦点的双曲线的左支,

)

2, a = 1 ,易知 b = 1 故曲线 E 的方程为 x 2 ? y 2 = 1( x < 0 )

y
A C B

设 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,

? y = kx ? 1 由题意建立方程组 ? 2 2 ?x ? y = 1
消去 y ,得 1 ? k 2 x 2 + 2 kx ? 2 = 0 又已知直线与双曲线左支交于两点 A, B ,有

o

x

(

)

? 1? k 2 ≠ 0 ? 2 2 ? ? = ( 2k ) + 8 (1 ? k ) > 0 ? ? ? x + x = ?2k < 0 1 2 ? 1? k 2 ? ?2 ? x1 x2 = >0 ? 1? k 2 ?
解得 ? 2 < k < ?1 又∵ AB = 1 + k ? x1 ? x2
2

?2 ? ?2 k ? =2 = 1+ k 2 ? ? ? 4× 2 ? 1? k 2 ?1? k ?
2

(1 + k )( 2 ? k ) (1 ? k )
2 2 2 2

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依题意得 2

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(1 + k )( 2 ? k ) = 6 (1 ? k )
2 2 2 2

3

整理后得 28k 4 ? 55k 2 + 25 = 0 ∴k2 =

5 5 或k2 = 7 4

但 ? 2 < k < ?1

∴k = ?

5 2 5 x + y +1 = 0 2

故直线 AB 的方程为

22.解: (1)当 x ∈ [ ?e, 0) 时, ? x ∈ (0, e] ,则 f ( ? x ) = a ( ? x ) + ln(? x ) , 又 f (x ) 是奇函数,所以 f ( x ) = ? f ( ? x ) = ax ? ln(? x ) , 因此, f ( x) = ?

?ax ? ln(? x), ? e ≤ x < 0 ; 0< x≤e ? ax + ln x,

(2)当 x ∈ [ ?e, 0) 时, f ( x) = ax ? ln(? x) , 求导得 f ' ( x ) = a ?

1 ax ? 1 1 = ,令 f ' ( x) = 0 得 x = , x x a

① 当 a ≥ 0 时, f ' ( x) > 0 , f (x ) 在区间 [ ?e, 0) 上是增函数, 故此时函数 f (x ) 在区间 [ ?e, 0) 上的最小值为 f ( ?e) = ? ae ? 1 < 0 ,不满足要求; ② 当

1 1 ≤ ?e ,即 ? ≤ a < 0 时, a e 1 1 1 1 1 f ' ( x) = a ? ≥ ? ? ≥ ? + = 0 , x e x e e

所以 f (x ) 在区间 [ ?e, 0) 上是增函数, 此时函数 f (x ) 在区间 [ ?e, 0) 的最小值为 f ( ?e) = ? ae ? 1 ,

4 1 < ? ,也不满足要求; e e 1 1 ③ 当 a < ? 时,可得 f (x ) 在区间 [ ?e, ] 上是减函数, e a 1 在区间 [ , 0) 上是增函数, a
令 f ( ?e) = 3 ,得 a = ? - 8 --

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所以当 x =

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1 1 1 时, [ f ( x )] min = f ( ) = 1 ? ln(? ) , a a a 1 1 2 令 f ( ) = 3 ,得 a = ?e < ? ,满足要求. a e
综上可得,当 a = ?e 时,函数 f (x ) 在区间 [ ?e, 0) 上的最小值是 3.
2

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