三角函数公式和图像大全_图文

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初等函数的图形
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指数函数的图形
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对数函数的图形

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三角函数的图形

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各三角函数值在各象限的符号

sinα·cscα
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cosα·secα

tanα·cotα

三角函数的性质

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函数 y=sinx

y=cosx

定义域 R

R

值域

[-1,1]x=2kπ+ ? 时 2
ymax=1 x=2kπ- ? 时 ymin=-1
2

[-1,1] x=2kπ 时 ymax=1 x=2kπ+π 时 ymin=-1

y=tanx
{x|x∈R 且 x≠kπ+ ? ,k∈
2 Z}

y=cotx
{x|x∈R 且 x≠kπ,k∈Z}

R 无最大值
无最小值

R 无最大值
无最小值

周期性 周期为 2π

周期为 2π

周期为 π

周期为 π

奇偶性 奇函数

偶函数

奇函数

奇函数

单调性

在[2kπ- ? ,2kπ+ ?

2

2



在[2kπ-π, 2kπ]上都是增

在(kπ- ? , 2

上都是增函数;在

[2kπ+ ? ,2kπ+ 2 π]

2

3

函数;在[2kπ, 2kπ+π]上都是

kπ+ ? 2

)内都是

减函数(k∈Z) 增函数(k∈Z)

上都是减函数(k∈Z)

在(kπ,kπ+π) 内都是减函
数(k∈Z)

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反三角函数的图形

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反三角函数的性质

名称 定义

反正弦函数

反余弦函数 反正切函数

反余切函数

y=sinx(x∈ 〔- ? , ? 〕的反
22 函数,叫做反正 弦函数,记作
x=arsiny

y=cosx(x∈ 〔0,π〕)的反函 数,叫做反余 弦函数,记作
x=arccosy

y=tanx(x∈(- ? , 2
? )的反函数,叫 2 做反正切函数,记 作 x=arctany

y=cotx(x∈ (0,π))的反函 数,叫做反余切 函数,记作
x=arccoty

理解

arcsinx 表示属于
[- ? , ? ] 22
且正弦值等于 x 的角

arccosx 表示 arctanx 表示属于

属于[0,π], 且余弦值等于

(- ? , ? ),且正切 22

x 的角

值等于 x 的角

arccotx 表示属 于(0,π)且余切 值等于 x 的角

定义域 值域 性 质 单调性 奇偶性 周期性
恒等式

[-1,1]
[- ? , ? ] 22
在〔-1,1〕上是 增函数
arcsin(-x)=-arcsi nx 都不是同期函数
sin(arcsinx)=x(x ∈[-1, 1])arcsin(sinx) =x(x∈[- ? , ? ])
22

[-1,1]
[0,π]
在[-1,1]上 是减函数 arccos(-x)=πarccosx
cos(arccosx)= x(x∈[-1,1]) arccos(cosx)= x(x∈[0,π])

(-∞,+∞) (- ? , ? )
22 在(-∞,+∞)上是增 数 arctan(-x)=-arcta nx
tan(arctanx)=x(x ∈ R)arctan(tanx)=x (x∈(- ? , ? ))
22

(-∞,+∞)
(0,π)
在(-∞,+∞)上 是减函数 arccot(-x)=π-a rccotx
cot(arccotx)=x (x∈R) arccot(cotx)=x (x∈(0,π))

互余恒等 式

arcsinx+arccosx= ? (x∈[-1,1]) arctanx+arccotx= ? (X∈R)

2

2

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三角函数公式

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两角和公式

sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = tanA ? tanB
1- tanAtanB tan(A-B) = tanA ? tanB
1? tanAtanB cot(A+B) = cotAcotB-1
cotB? cotA cot(A-B) = cotAcotB?1
cotB? cotA
倍角公式

tan2A = 2tanA 1? tan2A
Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A

三倍角公式

sin3A = 3sinA-4(sinA)3

cos3A = 4(cosA)3-3cosA

tan3a = tana·tan( ? +a)·tan( ? -a)

3

3

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半角公式

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sin( A )= 1? cosA

2

2

cos( A )= 1? cosA

2

2

tan( A )= 1? cosA 2 1? cosA

cot( A )= 1? cosA 2 1? cosA
tan( A )= 1? cos A = sin A 2 sin A 1? cos A

和差化积

sina+sinb=2sin a ? b cos a ? b

2

2

sina-sinb=2cos a ? b sin a ? b

2

2

cosa+cosb = 2cos a ? b cos a ? b

2

2

cosa-cosb = -2sin a ? b sin a ? b

2

2

tana+tanb= sin(a ? b) cosa cosb

积化和差

sinasinb = - 1 [cos(a+b)-cos(a-b)] 2
cosacosb = 1 [cos(a+b)+cos(a-b)] 2
sinacosb = 1 [sin(a+b)+sin(a-b)] 2
cosasinb = 1 [sin(a+b)-sin(a-b)] 2

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诱导公式

sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin( ? -a) = cosa
2 cos( ? -a) = sina
2 sin( ? +a) = cosa
2 cos( ? +a) = -sina
2 sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA = sin a
cosa
万能公式

2 tan a

sina=

2

1? (tan a )2

2

1? (tan a )2

cosa=

2

1? (tan a )2

2

2 tan a

tana=

2

1? (tan a )2

2

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其它公式
a?sina+b?cosa= (a2 ? b2 ) ×sin(a+c) [其中 tanc= b ] a
a?sin(a)-b?cos(a) = (a2 ? b2 ) ×cos(a-c) [其中 tan(c)= a ] b
1+sin(a) =(sin a +cos a )2 22
1-sin(a) = (sin a -cos a )2 22
其他非重点三角函数
csc(a) = 1 sin a
sec(a) = 1 cosa
双曲函数
ea - e-a sinh(a)=
2 ea ? e-a cosh(a)=
2 tg h(a)= sinh(a)
cosh(a)
公式一
设 α 为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ+α)= sinα cos(2kπ+α)= cosα tan(2kπ+α)= tanα cot(2kπ+α)= cotα
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公式二
设 α 为任意角,π+α 的三角函数值与 α 的三角函数值之间的关系: sin(π+α)= -sinα cos(π+α)= -cosα tan(π+α)= tanα cot(π+α)= cotα
公式三
任意角 α 与 -α 的三角函数值之间的关系: sin(-α)= -sinα cos(-α)= cosα tan(-α)= -tanα cot(-α)= -cotα
公式四
利用公式二和公式三可以得到 π-α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin(π-α)= sinα cos(π-α)= -cosα tan(π-α)= -tanα cot(π-α)= -cotα
公式五
利用公式-和公式三可以得到 2π-α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin(2π-α)= -sinα cos(2π-α)= cosα tan(2π-α)= -tanα cot(2π-α)= -cotα
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公式六

? ±α 及 3? ±α 与 α 的三角函数值之间的关系:

2

2

sin( ? +α)= cosα 2

cos( ? +α)= -sinα 2

tan( ? +α)= -cotα 2

cot( ? +α)= -tanα 2

sin( ? -α)= cosα 2

cos( ? -α)= sinα 2

tan( ? -α)= cotα 2

cot( ? -α)= tanα 2

sin( 3? +α)= -cosα 2

cos( 3? +α)= sinα 2

tan( 3? +α)= -cotα 2

cot( 3? +α)= -tanα 2

sin( 3? -α)= -cosα 2

cos( 3? -α)= -sinα 2

tan( 3? -α)= cotα 2

cot( 3? -α)= tanα 2

(以上 k∈Z)

这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用

A?sin(ωt+θ)+ B?sin(ωt+φ) = A2 ? B2 ? 2ABcos(? ??) ×

sin ?t ? arcsin[(Asin? ? Bsin?) A2 ? B2 ? 2ABcos(? ??)

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三角函数公式证明(全部)
公式表达式
乘法与因式分解
a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
三角不等式
|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|
一元二次方程的解
-b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a
根与系数的关系
X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注:韦达定理 判别式 b2-4a=0 注:方程有相等的两实根 b2-4ac>0 注:方程有一个实根 b2-4ac<0 注:方程有共轭复数根
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三角函数公式

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两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

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某些数列前 n 项和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注: 其中 R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注:角 B 是边 a 和边 c 的夹角 正切定理 [(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]} 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注:(a,b)是圆心坐标 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D2+E2-4F>0 抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py
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直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h 正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h' 圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2 圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l 弧长公式 l=a*r a 是圆心角的弧度数 r >0

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扇形面积公式 s=1/2*l*r 锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h 斜棱柱体积 V=S'L 注:其中,S'是直截面面积, L 是侧棱长 柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h
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