广东省七校联合体2016届高三第一次联考理科数学试题 Word含答案


七校联合体 2016 届高三第一次联考试卷 理科数学
命题:普宁二中 陈左华 审题:潮阳一中 刘叶丛

一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分)
1.已知全集 I=R,集合 A={x|y= 1-x},集合 B={x|0≤x≤2},则(?IA)∪B 等于( A.[1,+∞) C.[0,+∞) B.(1,+∞) D.(0,+∞) ) )

2.设{an}是公比为 q 的等比数列,则“q>1”是“{an}为递增数列”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 3.根据如下样本数据 x y
^

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3 4.0
^ ^

4 2.5

5 -0.5 )
^ ^

6 0.5

7 -2.0

8 -3.0

得到的线性回归方程为y=bx+a,则(
^ ^ ^ ^

^

^

A.a>0,b>0

B.a>0,b<0

C.a<0,b>0 )

D.a<0,b<0

4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

A. 16 ? 8? B. 8 ? 8? C. 16 ? 16? 5.执行上边的程序框图,若 p=0.8,则输出的 n=( ) A 3 B 4 C 5 D 6

D. 8 ? 16?

x≤0, ? ? 6.由不等式组?y≥0, ? ?y-x-2≤0

?x+y≤1, ? 确定的平面区域记为 Ω1,不等式组? 确定的平面区 ? ?x+y≥-2

域为 Ω2,在 Ω1 中随机取一点,则该点恰好在 Ω2 内的概率为( 1 A. 8 1 B. 4 3 C. 4 7 D. 8

)

π π 7. 函数 f(x)=sin(2x+φ)?|φ |< ?的图像向左平移 个单位后关于原点对称, 则函数 f(x)在区 6 2? ? π 间?0, ?上的最小值为( ) 2? ? 3 1 1 3 A.- B.- C. D. 2 2 2 2 8. 设函数 f ( x) 在其定义域 D 上的导函数为 f ( x) , 如果存 在实数 a 和函数 h( x) , 其中 h( x) 对任意的 x ∈ D ,都有 h( x) > 0 ,使得 f ( x) ? h( x)( x - ax ? 1), 则称函数 f ( x) 具有性质
/ 2 /

? (a ) ,给出下列四个函数:
① f ( x) =

1 3 2 x - x + x + 1; 3

② f ( x) = ln x +

4 ; x +1



f ( x) = ( x 2 - 4 x + 5)e x ;
)

④ f ( x) =

x2 + x 2x + 1
D① ③ ④

其中具有性质 ? ( 2) 的函数为( A① ② ③ B① ② ④

C ② ③ ④

二、填空题:本题共 6 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,共 30 分 9.已知复数 z=(5+2i)2(i 为虚数单位),则 z 的实部为________. 10.若偶函数 f ( x ) 的定义域为 [ p , q ] ,则 p ? q = 11.已知函数 f ( x) ? 3x 的反函数是 f ?1 ( x) 且 f ?1 (18) ? a ? 2则3a =______________ 12.从编号为 0,1,2,?,79 的 80 件产品中,采用系统抽样的方法抽取容量为 5 的一个样本, 若编号为 42 的产品在样本中,则该样本中产品的最小编号为

1 ? 1)5 的展开式的常数项是 x2 14.设点 M ? x0 ,1? ,若在圆 O : x 2 +y 2 ? 1上存在点 N ,使得 ?OMN ? 45? ,则 x0 的取值范
13. ( x ? 2)(
2

围是________.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 12 分) B 已知△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2cos2 = 3sin B,b=1. 2 5π (1)若 A= ,求边 c; 12 (2)若 a=2c,求△ABC 的面积.

16.(本小题满分 13 分) 某企业招聘工作人员,设置 A 、 B 、 C 三组测试项目供参考人员选择,甲、乙、丙、丁、 戊五人参加招聘,其中甲、乙两人各自独立参加 A 组测试,丙、丁两人各自独立参加 B 组测试.已知甲、乙两人各自通过测试的概率均为 均为

1 ,丙、丁两人各自通过测试的概率 3

1 .戊参加 C 组测试, C 组共有 6 道试题,戊会其中 4 题.戊只能且必须选择 4 题 2

作答,至少答对 3 题则竞聘成功. (Ⅰ)求戊竞聘成功的概率; (Ⅱ)求参加 A 组测试通过的人数多于参加 B 组测试通过的人数的概率; (Ⅲ)记 A 、 B 组测试通过的总人数为 ? ,求 ? 的分布列和期望.

17. (本题满分 13 分) 如图, 在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=2, DC ? 2 3,AA , 1 ? 3 AD⊥DC,AC⊥BD, 垂足为 E, (I)求证:BD⊥A1C; (II)求二面角 A 1-BD-C 1 的大小;

18. (本题满分 14 分) 已知正项数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S n ?

an (an ? 2) ( n ? N* ) . 4

(1)求 a1 的值及数列 ?an ? 的通项公式; (2)是否存在非零整数 ? ,使不等式 ? (1 ?

?a 1 1 1 1 )(1 ? ) ?? ? (1 ? ) cos n ?1 ? a1 a2 an 2 an ? 1

对一切 n ? N* 都成立?若存在,求出 ? 的值;若不存在,说明理由. 19. (本小题满分 14 分) x2 y2 2 如图所示,椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,x 轴被曲线 C2:y=x2-b 截得的线段 a b 2 长等于 C1 的短轴长.C2 与 y 轴的交点为 M,过坐标原点 O 的直线 l 与 C2 相交于点 A,B,直 线 MA,MB 分别与 C1 相交于点 D,E. (1)求 C1,C2 的方程;(2)求证:MA⊥MB; S1 (3)记△MAB,△MDE 的面积分别为 S1,S2,若 =λ,求 λ 的取值范围. S2

20. (本小题满分 14 分) 设函数 f(x)=ex-ax-2. (1)求 f(x)的单调区间; (2)若 a=1,k 为整数,且当 x>0 时,(x-k)f′(x)+x+1>0 恒成立,求 k 的最大值. 2016 届七校高三摸底考答案 2015.8 一、选择题:1C 2D 3B 4A 5B 6D 7A 8 A 二、填空题:本题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,共 30 分 (一)必做题(9~13 题) 9.答案 21 10.答案:0 11 答案 2 12.答案 10 13 答案 3 三、解答题: 15.解:(1)由已知可得 1+cos B= 3sin B…………2 分 14.答案:

?1 ? x0 ? 1 (答案格式不唯一)

∴sin?B-

? ?

π? 1 = .…………3 分 6? ? 2

又 0<B<π ,∴B=

π π ,∴C=π -A-B= ,…………5 分 3 4

b 6 ∴c= ·sin C= .…………6 分 sin B 3

π 2 2 2 (2)由(1)知 B= ,…………7 分∴由余弦定理得 b =a +c -2accos B.…………8 分 3 1 2 又 a=2c,∴c = ,…………10 分 3 1 3 ∴△ABC 的面积 S= acsin B= .…………12 分 2 6 16、解: (I) 设戊竞聘成功为 A 事件,则 …………1 分

P ? A? =

4 3 1 C4 +C4 C2 1+8 3 = = 4 C6 15 5

…………2 分

(Ⅱ)设“参加 A 组测试通过的人数多于参加 B 组测试通过的人数”为 B 事件………3 分

1 2 ?1? 1 1 3 7 p ? B? ? ? ? 2? ? ? ? ? ? ? 3 3 ? 2 ? 3 3 4 36
(Ⅲ) ? 可能取 0,1,2,3,4 …………6 分

2

…………5 分

2 1 4 P (? ? 0) ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? 3 2 36 …………7 分 2 1 1 12 1 1 1 2 2 P(? ? 1) ? C 2 ? ? ( ) 2 ? C2 ( ) ? ( )2 ? 3 3 2 3 2 36 …………8 分 1 1 2 1 2 13 1 1 1 1 2 P(? ? 2) ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? C 2 ( ) ? ( ) ? C2 ( ) ? 3 2 3 2 3 3 2 36 …………9 分 2 1 1 6 1 1 1 1 2 P(? ? 3) ? C 2 ? ? ( ) 2 ? C2 ( ) ? ( )2 ? 3 3 2 3 2 36 …………10 分 1 1 1 P (? ? 4) ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? 3 2 36
0 1 2 3 4

…………11 分

?
P

4 36

12 36

13 36

6 36

1 36
…………12 分

E? ?


5 3

……13 分

17.解析:解法一: (I)在直四棱柱

ABCD ? A1B1C1D1 中,

? A1 A ? 底面 ABCD
? AC 是 AC 1 在平面 ABCD 上的射影. , ……2 分
? BD ? AC , ? BD ? AC 1 . ……4 分
(II)连结

A1E, C1E, AC 1 1. BD ? A1E, BD ? C1E,
……6 分

与(I)同理可证

??A1EC1 为二面角 A1 ? BD ? C1 的平面角. ……7 分
? AD ? DC,

??A1D1C1 ? ?ADC ? 90o , ……8 分



A1D1 ? AD ? 2, DC 1 1 ? DC ? 2 3, AA 1 ? 3, 且 AC ? BD, ……9 分

? AC 1 1 ? 4, AE ? 1, EC ? 3,? A 1E ? 2, C 1E ? 2 3, ……11 分
2 2 2 o ?A1EC1 中, AC 1 1 ? A 1E ? C1E ,??A 1EC1 ? 90 , ……12 分



即二面角

A1 ? BD ? C1 的大小为 90 o . ……13 分 DA, DC, DD1 所

解法二: (I)同解法一.(II),以 D 为坐标原点,

在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴,建立空间 直角坐标系, ……5 分

连结

A1E, C1E, AC 1 1. 与(I)同理可证, BD ? A 1E, BD ? C1E, ……7 分

??A1EC1 为二面角 A1 ? BD ? C1 的平面角. ……8 分

3 3 由A1 (2, 0, 3), C1 (0, 2 3, 3), E ( , , 0), 2 2 ……9 分

EA 1 ? (

?



1 3 ,? , 2 2

3), EC1 ? (?

?

3 3 3 , , 2 2

3).

……10 分

? EA1 . EC1 ? ?

?

?

? ? 3 9 ? ? 3 ? 0. ? EA1 ? EC1 , 即EA1 ? EC1 . 4 4 ……12 分

? 二面角 A1 ? BD ? C1 的大小为 90 . ……13 分
o

18 解. (1)由

Sn ?

an (an ? 2) 4 . a1 (a1 ? 2) a ? 2 或 a1 ? 0 (舍去) 4 ,解得 1 . ……2 分

当 n ? 1 时, 当 n ? 2 时,

a1 ? S1 ?

由 ∵

an ? S n ? S n ?1 ?

an (an ? 2) an ?1 (an ?1 ? 2) ? ? an 2 ? an ?12 ? 2(an ? an ?1 ) ,……………4 分 4 4

an ? 0 ,∴ an ? an ?1 ? 0 ,则 an ? an ?1 ? 2 ,……………5 分



?an ? 是首项为 2,公差为 2 的等差数列,故 an ? 2n .……………6 分
a1 ? 2, a2 ? 4, a3 ? 6 ,猜想 an ? 2n ,再用数学归纳法证明(略).

另法:易得

a ? 2n ,得 cos (2)由 n

? an ?1
2

? cos(n ? 1)? ? (?1) n ?1
,……………7 分

bn ?


1 (1 ? 1 1 1 )(1 ? ) ?? ? (1 ? ) an ? 1 (?1) n ?1 ? ? bn a1 a2 an ,则不等式等价于 .……………8 分

an ? 1 bn ?1 2n ? 1 2n ? 2 ? ? ? 1 ? bn ? ? (2n ? 1)(2n ? 3) 1 ? 4 n 2 ? 8n ? 4 ? ?1 ?1 ? ? an ?1 ? 1 ?1 ? 2n ? 2 ? 2n ? 3 ? ? ? an ?1 ? 4 n 2 ? 8n ? 3
,……10 分



bn ? 0 ,∴ bn ?1 ? bn ,数列 ?bn ? 单调递增.

……………… 11 分

假设存在这样的实数 ? ,使得不等式

(?1) n ?1 ? ? bn 对一切 n ? N* 都成立,则

① 当 n 为奇数时,得

? ? (bn ) min ? b1 ?

2 3 3 ; ……11 分……………12 分

② 当 n 为偶数时,得

?? ? (bn ) min ? b2 ?

8 5 8 5 ??? 15 ,即 15 . ……13 分

? ? (?
综上,

8 5 2 3 , ) 15 3 ,由 ? 是非零整数,知存在 ? ? ?1 满足条件.…… 14 分

19 (1)解

c 2 2 2 由题意,知 = ,所以 a =2b . ……1 分 a 2

又 2 b=2b,得 b=1. ……2 分
2

x 2 2 所以曲线 C2 的方程:y=x -1,椭圆 C1 的方程: +y =1. ……3 分 2 (2)证明 设直线 AB:y=kx,A(x1,y1),B(x2,y2), 由题意,知 M(0,-1).
? ?y=kx, 则? 2 ?y=x -1 ?

?x -kx-1=0, ……4 分

2

k+ k +4 解得 x1= , 2 则 x1·x2=-1,x1+x2=k, ·=(x1,y1+1)·(x2,y2+1) 2 =(k +1)x1x2+k(x1+x2)+1 2 2 =-(1+k )+k +1=0, 所以 MA⊥MB. ……7 分

2

k- k + 4 x2= ,……5 分 2

2

(3)解 设直线 MA 的方程:y=k1x-1,直线 MB 的方程:y=k2x-1,……8 分 由(2)知 k1k2=-1,M(0,-1),
?y=k1x-1, ? 由? 2 ? ?y=x -1, ?x=0, ? 解得? ? ?y=-1, ?x=k1, ? 或? 2 ? ?y=k1-1,

……9 分

所以 A(k1,k1-1). 2 同理,可得 B(k2,k2-1).……10 分 1 1 2 2 故 S1= |MA|·|MB|= 1+k1· 1+k2|k1||k2|. 2 2 y=k1x-1, ? ? 2 由?x 2 +y =1, ? ?2
2

2

? ?x=0, 解得? ?y=-1 ?

4k ? ?x=1+2k , 或? 2k -1 ?y=1+2k , ?
1 2 1 2 1 2 1

所以 D(

4k1 2k1-1 2, 2) . 1+2k1 1+2k1
2

4k2 2k2-1 同理,可得 E( 2, 2).……11 分 1+2k2 1+2k2 1 故 S2= |MD|·|ME| 2 = 1 |16k1k2| 2 2 1+k1· 1+k2 2 2 , 2 (1+2k1)(1+2k2)
2 2

S1 (1+2k1)(1+2k2) =λ= = S2 16

1 2 5+2( 2+k1) k1 9 ≥ ,……13 分 16 16

9 则 λ 的取值范围是[ ,+∞).……14 分 16 20 解: (1)函数 f(x)的定义域为(-∞,+∞),f′(x)=e -a.……1 分 当 a≤0 时,f′(x)>0,所以 f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递增; ……………………………………3 分 当 a>0 时,若 x∈(-∞,ln a),则 f′(x)<0,若 x∈(ln a,+∞),则 f′(x)>0, 所以 f(x)在区间(-∞,ln a)上单调递减,在区间(ln a,+∞)上单调递增. ……………………………………5 分
x

综上可知,当 a≤0 时,f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞);当 a>0 时,f(x)的单调递减区间 为(-∞,ln a),单调递增区间为(ln a,+∞) ……………………………………6 分 (2)由于 a=1, x 所以(x-k)f′(x)+x+1=(x-k)(e -1)+x+1. x x 设 g(x)=(x-k)(e -1)+x+1,则 g′(x)=e (x-k+1). ……………………………………7 分 (i)若 k≤1,则当 x>0 时,g′(x)>0,所以 g(x)在区间(0,+∞)上单调递增,而 g(0)=1, 故当 x>0 时,g(x)>1>0,即有(x-k)f′(x)+x+1>0 恒成立. ……………………………………9 分 (ii)若 k>1,则当 x∈(0,k-1)时,g′(x)<0;当 x∈(k-1,+∞)时,g′(x)>0.

所以 g(x)在区间(0,+∞)内的最小值为 g(k-1)=k-e +1. ……………………………………11 分 k-1 k-1 令 h(k)=k-e +1,则 h′(k)=1-e ,因为 k>1,所以 h′(k)<0,故 h(k)在区间(1,+∞) 上单调递减.而 h(2)>0,h(3)<0,所以当 1<k≤2 时,h(k)>0,即 g(k-1)>0,从而当 x >0 时,g(x)>0,即(x-k)f′(x)+x+1>0 恒成立;当 k≥3 时,h(k)<0,即 g(k-1)<0, 故 g(x)>0 在区间(0,+∞)内不恒成立. ……………………………………13 分 综上所述,整数 k 的最大值为 2……………………………………14 分

k-1


相关文档

广东省七校联合体2016届高三第一次联考理科数学试题 Word版含答案
广东省七校联合体2016届高三第一次联考 理科数学试题 Word版含答案
广东省七校联合体2016届高三第一次联考理科数学试题
广东省七校联合体2019届高三第一次联考理科数学试题 Word含答案
广东省七校联合体2016届高三第一次联考 文科综合试题 Word版含答案
广东省七校联合体2016届高三第一次联考文科综合试题 Word版含答案
广东省七校联合体2016届高三第一次联考理科数学试题(原稿)
广东省七校联合体2018-2019学年高三第一次联考理科数学试题 Word含答案
广东省七校联合体2016届高三第一次联考文综历史试卷 Word版含答案
广东省七校联合体2016届高三第一次联考文科数学试题Word含答案
电脑版