lh7291.com:2019浙江省瓯海区三溪中学高一数学《平面向量数量积》课件.ppt_图文

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2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其 含义

一般地,实数λ与向量a 的积是一个向 量,记作λa,它的长度和方向规定如下: (1) |λa|=|λ| |a| (2) 当λ>0时,λa 的方向与a方向相同; 当λ<0时,λa 的方向与a方向相反;

特别地,当λ=0或a=0时, λa=0

设a,b为任意向量,λ,μ为 任意实数,则有: ① λ(μa)=(λμ) a ② (λ+μ) a=λa+μa

③ λ(a+b)=λa+λb

已知两个非零向量a和b,作OA=a, OB=b,则∠AOB=θ (0°≤θ ≤180°) 叫做向量a与b的夹角。
B

θ
O

A

当θ=0°时,a与b同向;

O

A
B

B

当θ=180°时,a与b反向; A 当θ=90°时,称a与b垂直,
记为a⊥b.

O

B

b O a A

我们学过功的概念,即一个物体在力F 的作用下产生位移s(如图)
F

θ
S

力F所做的功W可用下式计算
W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角

从力所做的功出发,我们引入向量 “数量积”的概念。

已知两个非零向量a与b,它们的 夹角为θ,我们把数量|a| |b|cosθ叫做 a与b的数量积(或内积),记作a· b

a· b=|a| |b| cosθ

|a| cosθ(|b| cosθ)叫 做向量a在b方向上(向 量b在a方向上)的投影。 规定:零向量与任一向量的数量积为0。

向量的数量积是一个数量,那么它什 么时候为正,什么时候为负?

a· b=|a| |b| cosθ
当0°≤θ < 90°时a· b为正; 当90°<θ ≤180°时a· b为负。 当θ =90°时a· b为零。

? ? ? ? 是非零向量, e 是与b 方向相同的 设 a、b ? ? 单位向量, ?是a与e 的夹角,则 ? ? ? ? ? ? ? ( 1 ) e ? a ? a ? e ? | a | cos ? ? ? a ? b ?| a || b | cos ? (2)a ? b ? a ? b ? 0 ? ? ? ? ? ? B (3)当a与b 同向时,a ? b ?| a || b |; b
O

θ

B1 a

A

? ? ? ? ? ? 当a与b 反向时,a ? b ? ? | a || b |;
?2 ? a

特别地

? a ?b (4) cos? ? ? ? | a || b |

? ? ?2 ? ? ? a ? a ?| a | 或 | a |? a ? a ?

? ? ? ? (5) | a ? b |?| a || b |

例1 已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角 θ=120°,求a·b。

b

B A

O

θ |b|cosθ B1 a

? 的长度 ? ? ? ? ? | a |与 b 在a方向上的投影 a ? b 等于 a
? | b | cos? 的乘积。

练习: 1.若a =0,则对任一向量b ,有a · b=0. √
2.若a ≠0,则对任一非零向量b ,有a ·b≠0. × 3.若a ≠0,a · b =0,则b=0 × × 4.若a · b=0,则a · b中至少有一个为0. 5.若a≠0,a ·b= b ·c,则a=c ×
2 2 a ? | a | 6.对任意向量 a 有



二、平面向量的数量积的运算律:

数量积的运算律:

? ? ? ? (1)a ? b ? b ? a ? ? ? ? ? ? (2)(?a ) ? b ? ? (a ? b ) ? a ? (?b ) ? ? ? ? ? ? ? (3)( a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c ? ? ? 其中, a、b 、c是任意三个向量, ??R

证明运算律(3)

向量a、b、a + b b 在c上的射影的数量 a a+b 分别是OM、MN、 ON, 则 M O (a + b) · c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = a· c + b· c. ? ? ? ? ? ? 注: (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ) ?

N c

例 3:求证: (1)(a+b)2=a2+2a· b+b2; (2)(a+b)· (a-b)=a2-b2.
证明:(1)(a+b)2=(a+b)· (a+b) =(a+b)· a+(a+b)· b =a· a+b· a+a· b+b· b =a2+2a· b+b2.

例 3:求证: (1)(a+b)2=a2+2a· b+b2; (2)(a+b)· (a-b)=a2-b2. 证明:(2)(a+b)· (a-b)=(a+b)· a-(a+b)· b =a· a+b· a-a· b-

b· b
=a2-b2.

例4

已知 | a |? 6, | b |? 4,a 与b
? ? 60 ,
o

的夹角为

求(a ? 2b ) ? (a ? 3b ) 。

例5.已知 | a |? 3,| b |? 4,当且仅当k为何值时, 向量a ? kb与a ? kb 互相垂直?

2.4.2

平面向量

数量积的坐标表示、模、夹角

一、复习引入
(1) a ? b ? a ? b cos ? ( 2) a ? a ? a 或 a ?
2

a ? a; a ?b a ?b .

a ? b ? a ? b ? 0; cos ? ?

我们学过两向量的和与差可以转 化为它们相应的坐标来运算,那么怎 样用 a和b的坐标表示a ? b呢?

二、新课学习
1、平面向量数量积的坐标表示

如图,i是x轴上的单位向量, j 是y 轴上的单位向量,
由于 a ? b ? a ? b cos? 所以
1 1 j ? j ? . . i ?i ?
i ? j ? j ?i ? 0 .

y A(x ,y ) 1 1
j

B(x2,y2)
b

a

o i

x

下面研究怎样用

a和b的坐标表示a ? b.
设两个非零向量
a

=(x1,y1), b=(x2,y2),则

a ? x1 i ? y1 j
2

b ? x2 i ? y2 j ,
2

a ? b ? ( x1 i ? y1 j ) ? ( x2 i ? y2 j ) ? x1 x2 i ? x1 y2 i ? j ? x2 y1 i ? j ? y1 y2 j ? x1 x2 ? y1 y2

故两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和。即 y A(x ,y )
1 1

a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 .

B(x2,y2)
b
j

a
i

o

x

根据平面向量数量积的坐标表示,向 量的数量积的运算可转化为向量的坐标运 算。

2、向量的模和两点间的距离公式
(1) a ? a ? a 或 a ?
2

a ? a;

(1)向量的模 设a ? ( x, y ), 则 a ? x ? y , 或 a ?
2 2 2 2 2

x ?y ;

(2)两点间的距离公式 设A(x1 , y1 )、B ( x2 , y2 ), 则 AB ? (x1 ? x2 ) ? (y1 ? y2 )
2 2

3、两向量垂直和平行的坐标表示 (1)垂直 a ? b ? a ? b ? 0

设a ? (x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0
(2)平行

设a ? (x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则 a// b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0

4、两向量夹角公式的坐标运算
设a与b 的夹角为?(0 ? ? ? 180 ),
? ?

则 cos ? ?

a ?b ab

设a ? (x1 , y1 ), b ?( x2 , y2 ), 且a与b夹角为?, (0 ? ? ? 180 )则 cos ? ?
? ? 2 1 2 1 2 2

x1 x2 ? y1 y2 x ?y ? x ?y
2 1 2 1 2 2 2 2 2 2

.

其中 x ? y ? 0, x ? y ? 0.

三、基本技能的形成与巩固
例1 (1)已知a ? (?1,2 ? 3 ), b ? (1,1), 求a ? b, a ? b, a与b的夹角? .

(2)已知a ? (2,3), b ? (?2,4), 则(a ? b) ( ? a ? b) ? .

例2 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),
试判断?ABC的形状,并给出证明.

y
C(-2,5)

B(2,3) A(1,2)
0

x

练习2:以原点和A(5,2)为两 个顶点作等腰直角三角形OAB, ?B=90?,求点B的坐标.
y 3 7 B 答案:B的坐标为( , ) 2 2 7 3 或( , ? ) 2 2 O

A x

四、逆向及综合运用
例3 (1)已知 a =(4,3),向量 b 是 垂直于 a 的单位向量,求 b .

(2)已知a ? 10, b ? (1,2),且a // b,求a的坐标.

3? (3)已知a ? (3,0), b ? (k ,5),且a与b的夹角为 , 4 求k的值.
3 4 3 4 答案:( 1 ) b ? ( ,? )或b ? (? , ). 5 5 5 5 (2)( 2, 2 2)或( ? 2, ? 2 2);(3)k ? ?5.

提高练习
1、已知OA ? (?3,1), OB ? (0,5),且 AC // OB, BC ? AB ,则点C的坐标为
29 C (?3, ) 3

2、已知A(1,2)、B(4、0)、C(8,6)、 D(5,8),则四边形ABCD的形状是矩形 .

b = (-3,2), a = (1,2), 若k a +2 b 与 2 a - 4 b 平行,则k = - 1 .
3、已知

小结

1、理解各公式的正向及逆向运用; 2、数量积的运算转化为向量的坐 标运算; 3、掌握平行、垂直、夹角及距离 公式,形成转化技能。
作业

课本P119A组5(1),9,10,11.


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