www.205342.com:高中数学第二章平面向量2.4向量的数量积教案苏教版必修420170824342

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2.4 向量的数量积

整体设计 教学分析 课本从学生熟知的功的概念出发,引出了平面向量数量积的概念及其几何意义,接着介 绍了向量数量积的 5 个重要性质、运算律.向量的数量积把向量的长度和三角函数联系起来, 这样为解决三角形的有关问题提供了方便,特别能有效地解决线段的垂直问题.因此利用向 量运算可以讨论一些几何元素的位置关系.既然向量可以进行加减运算,一个自然的想法是 两个向量能否做乘法运算呢?如果能,运算结果应该是什么呢?另外,距离和角是刻画几何 元素(点、线、面)之间度量关系的基本量 我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系.众所周知,向量概 念的引入与物理学的研究密切相关,物理学家很早就知道,如果一个物体在力 F 的作用下产 生位移 s(如图 1),那么力 F 所做的功

图1 W=|F||s|cosθ . 功 W 是一个数量,其中既涉及“长度”,也涉及“角”,而且只与向量 F,s 有关.熟 悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算,从而引进向量的数量积的定义 a·b=|a||b|cosθ . 这个定义不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等),而且还可以用它来更加简 捷地表述几何中的许多结果. 向量的数量积是一种新的向量运算,与向量的加法、减法、数乘运算一样,它也有明显 的物理意义、几何意义.但与向量的线性运算不同的是,它的运算结果不是向量而是数量.
1

平面向量的数量积,教材将其分为两部分,在第一部分向量的数量积中,首先研究平面 向量所成的角,其次,介绍了向量数量积的定义,最后研究了向量数量积的基本运算法则和 基本结论;在第二部分平面向量数量积的坐标表示中,在平面向量数量积的坐标表示的基础 上,利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式,得到了两向量垂直的判定的 方法.
本节课可采用“启发探索”式的教学方法,从教材内容看,由于前面已经学习了平面向 量的线性运算的坐标表示,因此在教学中运用指导探究为教学的主线,通过启发引导学生运 用科学的思维方法进行自主探索,将学生的独立思考、自主探究、交流讨论等探索活动贯穿 于课堂教学的全过程,突出学生的主体地位.
三维目标 1.通过经历探究过程,掌握平面向量的数量积及其几何意义;掌握平面向量数量积的 重要性质及运算律;了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,并掌 握向量垂直的条件. 2.通过问题的解决,培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力;培养 学生的交流意识、合作精神;培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力. 3.通过探究平面向量的数量积的坐标运算,掌握两个向量数量积的坐标表示方法;掌 握两个向量垂直的坐标条件以及能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、 垂直等几何问题. 4.通过平面向量数量积的坐标表示,进一步加深学生对平面向量数量积的认识,提高 学生的运算速度,培养学生的运算能力,培养学生的创新能力,提高学生的数学素质. 重点难点 教学重点:平面向量数量积的定义,平面向量数量积的坐标表示. 教学难点:平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用,平面向 量坐标表示的应用. 课时安排 2 课时
教学过程 第 1 课时 导入新课 思路 1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向
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线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的 联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答地更简捷、更清晰.并且向量知识 不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相 关物理问题,可使我们对物理问题认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、 位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究.
在物理课中,我们学过功的概念,即如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s,那么力 F 所做的功 W 可由下式计算:
W=|F||s|cosθ . 其中 θ 是 F 与 s 的夹角.我们知道力和位移都是向量,而功是一个标量(数量). 故从力所做的功出发,我们就顺其自然的引入向量数量积的概念. 思路 2.前面我们已学过,任意的两个向量都可以进行加减运算,并且两个向量的和与 差仍是一个向量.我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零)运算,就自 然地会想到,任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢?如果能,其运算结果是什么呢? 推进新课
新知探究 1.平面向量数量积的概念,向量的夹角. 2.数量积的重要性质及运算律. 3.两向量垂直的条件. 活动:已知两个非零向量 a 与 b,我们把数量|a||b|cosθ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积), 记作 a·b,即 a·b=|a||b|cosθ (0≤θ ≤π ),其中 θ 是 a 与 b 的夹角.图 2 为两向量 数量积的关系,并且可以知道向量夹角的范围是 0°≤θ ≤180°.
图2 教师在与学生的一起探究活动中,应特别点拨引导学生注意: (1)两个非零向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角 的余弦的乘积; (2)零向量与任一向量的数量积为 0,即 a·0=0;
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(3)符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替; (4)当 0≤θ <π2 时 cosθ >0,从而 a·b>0;当π2 <θ ≤π 时,cosθ <0,从而 a·b<0.与 学生共同探究并证明数量积的运算律. 已知 a,b,c 和实数 λ ,则向量的数量积满足下列运算律: ①a·b=b·a(交换律); ②(λ a)·b=λ (a·b)=a·(λ b)(数乘结合律); ③(a+b)·c=a·c+b·c(分配律). 特别是:(1)当 a≠0 时,由 a·b=0 不能推出 b 一定是零向量.这是因为任一与 a 垂直 的非零向量 b,都有 a·b=0.
(2)已知实数 a、b、c(b≠0),则 ab= =c,但对向量的数量积,该推理不正确, 即 a·b=b·c 不能推出 a=c.由图 3 很容易看出,虽然 a·b=b·c,但 a≠c.
图3 (3)对于实数 a、b、c 有(a·b)c=a(b·c),但对于向量 a、b、c,(a·b)c=a(b·c) 不成立.这是因为(a·b)c 表示一个与 c 共线的向量,而 a(b·c)表示一个与 a 共线的向量, 而 c 与 a 不一定共线,所以(a·b)c=a(b·c)不成立. 讨论结果: 由向量数量积的定义可知, 当 a 与 b 同向时,a·b=|a||b|; 当 a 与 b 反向时,a·b=-|a||b|. 特别地,a·a=|a|2 或|a|= a·a. 应用示例
思路 1 例 1 见课本本节例 1. 变式训练 1.已知平面上三点 A、B、C 满足|A→B|=2,|→BC|=1,|→CA|= 3,求A→B·B→C+B→C·C→A+C→A·A→B 的值.
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活动:教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解,先分析题设然后找到所

需条件.因为已知→AB、→BC、→CA的长度,要求得两两之间的数量积,必须先求出两两之间的夹

角.结合勾股定理可以注意到△ABC 是直角三角形,然后可利用数形结合来求解结果.

解:由题意知,|→BC|2+|C→A|2=|→AB|2,∴△ABC 是直角三角形,而且∠ACB=90°.从而 sin∠ABC

3

1

= 2 ,sin∠BAC=2,

∴∠ABC=60°,∠BAC=30°.∴A→B与B→C的夹角为 120°,→BC与→CA的夹角为 90°,→CA与→AB的夹

角为 150°.

故A→B·B→C+B→C·C→A+C→A·A→B

=2×1×cos120°+1× 3cos90°+ 3×2cos150°=-4. 点评:确定两个向量的夹角,应先平移向量,使它们的起点相同,再考查其角的大小,而不

是简单地看成两条线段的夹角,如本例中→AB与→BC的夹角是 120°,而不是 60°.

2.已知|a|=6,|b|=4,a 与 b 的夹角为 60°,求(a+2b)·(a-3b). 解:(a+2b)·(a-3b)=a·a-a·b-6b·b =|a|2-a·b-6|b|2=|a|2-|a||b|cosθ -6|b|2 =62-6×4×cos60°-6×42=-72.

例 2 已知|a|=3,|b|=4,且 a 与 b 不共线.当 k 为何值时,向量 a+kb 与 a-kb 互 相垂直?
活动:教师引导学生利用数量积的性质来求两向量垂直需满足的条件,教师可让学生独 立完成,可找几个学生到黑板上去演练.
解:a+kb 与 a-kb 互相垂直的条件是(a+kb)·(a-kb)=0, 即 a2-k2b2=0. ∵a2=32=9,b2=42=16, ∴9-16k2=0. ∴k=±34. 也就是说,当 k=±34时,a+kb 与 a-kb 互相垂直. 点评:本题主要考查向量的数量积性质中垂直的条件.
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变式训练 已知向量 a、b 满足:a2=9,a·b=-12,求|b|的取值范围.
解:∵|a|2=a2=9,∴|a|=3. 又∵a·b=-12, ∴|a·b|=12. ∵|a·b|≤|a||b|, ∴12≤3|b|,|b|≥4. 故|b|的取值范围是[4,+∞).
思路 2 例 1 已知四边形 ABCD 中,→AB=a,B→C=b,→CD=c,→DA=d,且 a·b=c·d=b·c=d·a, 试问四边形 ABCD 的形状如何? 活动:教师引导学生总结如何判断四边形的形状.利用向量的关系来判断四边形的形状, 就是借助两个向量的共线或者垂直来判断四边形是平行四边形或是矩形.教师先让学生明确 四边形各边的位置关系与长度关系,这可以借助向量的有关运算来完成. 解:∵A→B+B→C+C→D+D→A=0,即 a+b+c+d=0, ∴a+b=-(c+d). 由上可得(a+b)2=(c+d)2,即 a2+2a·b+b2=c2+2c·d+d2. 又∵a·b=c·d,故 a2+b2=c2+d2. 同理,可得 a2+d2=b2+c2. 由上两式可得 a2=c2,且 b2=d2. 即|a|=|c|,且|b|=|d|,也即 AB=CD,且 BC=DA. ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 故A→B=-→CD,即 a=-c. 又 a·b=b·c=-a·b,即 a·b=0, ∴a⊥b.即→AB⊥→BC. 综上所述,四边形 ABCD 是矩形.
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点评:本题考查的是向量数量积的性质应用,利用向量的数量积解决有关垂直问题,然

后结合四边形的特点进而判断四边形的形状.

例 2 已知 a,b 是两个非零向量,且|a|=|b|,|b|=|a+b|,求向量 b 与 a-b 的夹角.

解:∵|b|=|a+b|,|b|=|a|,∴b2=(a+b)2.

∴|b|2=|a|2+2a·b+|b|2. ∴a·b=-12|b|2. 而 b·(a-b)=b·a-b2=-12|b|2-|b|2=-32|b|2,① 由(a-b)2=a2-2a·b+b2=|b|2-2×(-12)|b|2+|b|2=3|b|2, 而|a-b|2=(a-b)2=3|b|2,

∴|a-b|= 3|b|.②

设 a 与 a-b

的夹角为 θ

,则 cosθ



- |b||a-b|



3 |b|2

3

代入①②,得 cosθ =-2|b|×

=- 3|b|

2

.

又∵θ ∈[0,π ], ∴θ =5π6 . 点评:本题考查的是利用平面向量的数量积解决有关夹角的问题,解完后教师及时引导 学生对本解法进行反思、总结、体会. 变式训练 设向量 c=ma+nb(m,n∈R),已知|a|=2 2,|c|=4,a⊥c,b·c=-4,且 b 与 c 的夹 角为 120°,求 m,n 的值. 解:∵a⊥c,∴a·c=0.且 c=ma+nb, ∴c·c=(ma+nb)·c, 即|c|2=ma·c+nb·c. ∴|c|2=nb·c. 由已知|c|2=16,b·c=-4, ∴16=-4n. ∴n=-4. 从而 c=ma-4b.

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∵b·c=|b||c|cos120°=-4, ∴|b|×4×(-12)=-4. ∴|b|=2. 由 c=ma-4b,得 a·c=ma2-4a·b, ∴8m-4a·b=0,即 a·b=2m.① 再由 c=ma-4b,得 b·c=ma·b-4b2. ∴ma·b-16=-4,即 ma·b=12.② 联立①②,得 2m2=12,即 m2=6, ∴m=± 6. 故 m=± 6,n=-4.
知能训练 判断正误,并简要说明理由. ①a·0=0;②0·a=0;③0-A→B=B→A;④|a·b|=|a||b|;⑤若 a≠0,则对任一非零 b 有 a·b≠0;⑥a·b=0,则 a 与 b 中至少有一个为 0;⑦对任意向量 a,b,c 都有(a·b)c =a(b·c);⑧a 与 b 是两个单位向量,则 a2=b2. 解:上述 8 个命题中只有③⑧正确. 对于①,两个向量的数量积是一个实数,应有 0·a=0; 对于②,应有 0·a=0; 对于④,由数量积定义有|a·b|=|a||b||cosθ |≤|a||b|,这里 θ 是 a 与 b 的夹角, 只有 θ =0 或 θ =π 时,才有|a·b|=|a||b|; 对于⑤,若非零向量 a、b 垂直,有 a·b=0; 对于⑥,由 a·b=0 可知 a⊥b,可以都非零; 对于⑦,若 a 与 c 共线,记 a=λ c, 则 a·b=(λ c)·b=λ (c·b)=λ (b·c), ∴(a·b)c=λ (b·c)c=(b·c)λ c=(b·c)a. 若 a 与 c 不共线,则(a·b)c≠(b·c)a.
课堂小结 1.先由学生回顾本节学习的数学知识,数量积的定义、运算,数量积的重要性质,数
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量积的运算律. 2.教师与学生总结本节学习的数学方法:归纳类比、定义法、数形结合等.在领悟数
学思想方法的同时,鼓励学生多角度、发散性的思考问题,并鼓励学生进行一题多解. 作业
课本习题 2.4 1、2、3、4、5. 设计感想
1.本节的重点是平面向量数量积的概念,以及平面向量数量积的运算律,难点是平面 向量数量积的应用.利用平面向量的数量积可以解决一些垂直问题,或者解决有关夹角问 题.我们发现向量的引入使高中物理学科中的矢量理论有了数学依据,两门学科相互呼应, 既可以促进高中学生对两门学科知识更好地理解和吸收,也有助于理科学生高中学习后期整 个知识结构体系的整合.其实,“向量”和“矢量”是在数学和物理两门学科对同一量的两 种不同称呼而已.在物理学中,矢量是相对于有大小而没有方向的“标量”的另一类重要物 理量.几乎全部的高中物理学理论都是通过这两类量来阐释的.矢量广泛地应用于力学(如 力,速度,加速度等)和电学(如电流方向,电场强度等)理论之中,在高中新教材中引入向 量的数量积后,物理中的功和压强等就自然地形成.对向量进行系统深入的学习和研究,对 学生在物理课上学习和理解矢量和标量的知识无疑将提供一个数学根据和许多运算便利.同 样,学生在物理课上碰到的与矢量有关的物理实际又会使他们对向量有更深入的了解,并激 发他们学习向量知识的兴趣和热情.如在力学中,对力、速度等的分解和合成,使用的就是 向量的加减理论,数学和物理的完美结合,起到异曲同工之作用.
2.本节的重要性是显而易见的,但本节有几个常见思维误区:不能正确理解向量夹角 的定义,对于两个向量夹角的定义是指同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角,因此 向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些常见的误区.同时利用向量的数量积不但可以 解决两向量垂直问题,而且还可以解决两向量共线问题,要深刻理解两向量共线、垂直的充 要条件,应用的时候才能得心应手.
备课资料 一、向量的向量积 在物理学中,由于讨论像力矩以及物体绕轴旋转时的角速度与线速度之间的关系等这类 问题的需要,就必须引进两向量乘法的另一运算——向量的向量积.定义如下: 两个向量 a 与 b 的向量积是一个新的向量 c: (1)c 的模等于以 a 及 b 两个向量为边所作成的平行四边形的面积;
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(2)c 垂直于平行四边形所在的平面; (3)其指向使 a、b、c 三向量成右手系——设想一个人站在 c 处观看 a 与 b 时,a 按逆 时针方向旋转一个小于 180°的角而达到 b. 向量 a 与 b 的向量积记作 a×b. 设 a 与 b 两个向量的夹角为 θ ,则|a×b|=|a||b|sinθ .

(1)

(2)

图4

在上面的定义中已默认了 a、b 为非零向量,若这两个向量中至少有一个是零向量,则 a×b=0.

向量的向量积服从以下运算律:

(1)a×b=-b×a;(2)a×(b+c)=a×b+a×c;(3)(ma)×b=m(a×b).

二、备用习题 1.已知 a,b,c 是非零向量,则下列四个命题中正确的个数为( )

①|a·b|=

∥b ②a 与 b 反向

③a⊥ +b|=|a-b| ④|a|=

=-|a||b| =|b·c|

A.1

B.2

C.3

D.4

2.有下列四个命题:

①在△ABC 中,若→AB·→BC>0,则△ABC 是锐角三角形;

②在△ABC 中,若→AB·→BC>0,则△ABC 为钝角三角形;

③△ABC 为直角三角形 A→B·B→C=0;

④△ABC 为斜三角形 →AB·→BC≠0.

其中为真命题的是( )

A.①

B.②

10

C.③

D.④

3.设|a|=8,e 为单位向量,a 与 e 的夹角为 60°,则 a 在 e 方向上的投影为( )

A.4 3

B.4

C.4 2

D.

3 2

4.设 a,b,c 是任意的非零平面向量,且它们相互不共线,有下列四个命题:

①(a·b)c-(c·a)b=0;

②|a|-|b|<|a-b|;

③(b·c)a-(c·a)b 不与 c 垂直; ④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.

其中正确的是( )

A.①②

B.②③

C.③④

D.②④

5.在△ABC 中,设A→B=b,→AC=c,则

b||c| 2- b·c 2等于( )

A.0

1 B.2S△ABC

C.S△ABC

D.2S△ABC

6.设 i、j 是平面直角坐标系中 x 轴、y 轴方向上的单位向量,且 a=(m+1)i-3j,b

=i+(m-1)j,如果(a+b)⊥(a-b),则实数 m=________.

7.若向量 a,b,c 满足 a+b+c=0,且|a|=3,|b|=1,|c|=4,则 a·b+b·c+c·a

=________.

8.设|a|=3,|b|=4,a 与 b 的夹角为 150°,求:

(1)(a-3b)·(2a+b);

(2)|3a-4b|.

9.已知|a|= 2,|b|=3,a 与 b 的夹角为 45°,且向量 λ a+b 与 a+λ b 的夹角为 锐角,求实数 λ 的取值范围.
10.已知|a|=2,|b|=1,a 与 b 的夹角为π3 ,求向量 m=2a+b 与向量 n=a-4b 的夹 角的余弦值.

参考答案:

1.C 2.B 3.B 4.D 5.D

11

6.-2 7.-13 8.(1)-30+30 3;

(2) 337+144 3.

-11- 85

-11+ 85

9.{λ |λ < 6 或 λ > 6 且 λ ≠1}.

10.解:由向量的数量积的定义得 a·b=2×1×cosπ3 =1.

∵m=2a+b,

∴m2=4a2+b2+4a·b=4×4+1+4×1=21,

∴|m|= 21. 又∵n=a-4b, ∴n2=a2+16b2-8a·b=4+16-8=12.

∴|n|=2 3. 设 m 与 n 的夹角为 θ , 则 m·n=|m||n|cosθ .① 又 m·n=2a2-7a·b-4b2=2×4-7-4=-3,

把 m·n=-3,|m|= 21,|n|=2 3代入①式,得-3= 21×2 3cosθ , ∴cosθ =- 147, 即向量 m 与向量 n 的夹角的余弦值为- 147.

(设计者:仇玉法) 第 2 课时 导入新课 思路 1.平面向量的表示方法有几何法和坐标法,向量的表示形式不同,其运算的表示 方式也会改变.向量的坐标表示,为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方 便.上一节,我们学习了平面向量的数量积,那么向量的坐标表示,对平面向量的数量积的 表示方式又会带来哪些变化呢?由此直接进入主题. 思路 2.在平面直角坐标系中,平面向量可以用有序实数对来表示,两个平面向量共线 的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来,那么学习了平面向量的数量积之后,它能否用坐 标来表示?若能,如何通过坐标来实现呢?平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗?同
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时,平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示呢?通过回顾两个向量的数量积的定义和向 量的坐标表示,在此基础上引导学生推导、探索平面向量数量积的坐标表示.
推进新课 新知探究
1.平面向量的数量积的坐标表示和运算,向量垂直的坐标表示. 2.由向量的坐标计算其数量积并由坐标形式求两个向量的夹角. 3.运用向量垂直的坐标表示的条件解决一些综合问题. 活动:平面向量的数量积这个实数如何用坐标表示,是培养学生数形结合这种重要思想 方法的很好内容,在教学中抓住数形结合这条主线,不但推出了两个向量的数量积等于它们 对应坐标的乘积的和,推出平面内两点间的距离公式,并应用平面向量的数量积的坐标表示 解决问题,这样不但能够提高学生的解题能力,而且培养学生会运用数形结合这种重要思想 方法. 本节课开始时应向学生指出:对平面向量的数量积的研究不能仅仅停留在几何角度,还 要寻求其坐标表示;在引入新知识之前应复习前面的有关知识,如平面向量,两个向量的和 与差,实数与向量的积的坐标表示,以及平面向量的基本定理. 应将平面向量数量积的两种形式结合起来,交待等式 a·b=|a||b|cosθ =x1x2+y1y2, 其中 a=(x1,y1),b=(x2,y2).这个等式体现了数与形的结合,揭示了数与形的内在联系.教 学中还应注意设计综合性问题,加强与前段知识的联系. 若两个向量为 a=(x1,y1),b=(x2,y2),如何用 a,b 的坐标来表示它们的数量积 a·b? 设 i,j 分别是 x 轴和 y 轴上的单位向量, 则 i·i=1,j·j=1,i·j=j·i=0. ∵a=x1i+y1j,b=x2i+y2j, ∴a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j) =x1x2i2+x1y2i·j+x2y1i·j+y1y2j2. 又∵i·i=1,j·j=1,i·j=j·i=0, ∴a·b=x1x2+y1y2. 教师给出结论性的总结,由此可归纳如下: (1)平面向量数量积的坐标表示 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和, 即 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a·b=x1x2+y1y2.
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(2)向量模的坐标表示

若 a=(x,y),则|a|2=x2+y2,或|a|= x2+y2.

如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),那么

a=(x2-x1,y2-y1),|a|=

2-x1 2+ 2-y1 2.

(3)两向量垂直的坐标表示

设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则

a⊥b ? x1x2+y1y2=0.

(4)两向量夹角的坐标表示

设 a、b 都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ 是 a 与 b 的夹角,根据向量数量

积的定义及坐标表示可得: cosθ =|aa|·|bb|= x21+x1yx122·+y1yx222+y22. 特别地,若 a⊥b,则 x1x2+y1y2=0;

反之,若 x1x2+y1y2=0,则 a⊥b.

应用示例

例 1 课本本节例 2.

例 2 课本本节例 3.

变式训练

1.(1)已知三点 A(2,-2),B(5,1),C(1,4),求∠BAC 的余弦值;

(2)a=(3,0),b=(-5,5),求 a 与 b 的夹角.

活动:教师让学生利用向量的坐标运算求出两向量 a=(x1,y1)与 b=(x2,y2)的数量积 a·b

=x1x2+y1y2 和模|a|= x21+y21,|b|= x22+y22的积,其比值就是这两个向量夹角的余弦值,

即 cosθ =|aa|·|bb|=

x1x2+y1y2 .当求出两向量夹角的余弦值后再求两向量的夹角大小 x21+y12· x22+y22

时,需注意两向量夹角的范围是 0≤θ ≤π .学生在解这方面的题目时需要把向量的坐标表示

清楚,以免出现不必要的错误.

解:(1)→AB=(5,1)-(2,-2)=(3,3),→AC=(1,4)-(2,-2)=(-1,6),

∴A→B·A→C=3×(-1)+3×6=15.

又∵|A→B|= 32+32=3 2,|A→C|= - 2+62= 37,

14

→AB·A→C

15

5 74

∴cos∠BAC=|A→B||A→C|=3



= 37

74

.

(2)a·b=3×(-5)+0×5=-15,|a|=3,|b|=5 2.



a



b

的夹角为

θ

,则 cosθ

a·b -15

=|a||b|=3×5

=- 2

2 2.

又∵0≤θ ≤π ,∴θ =34π . 点评:本题考查的是利用向量的坐标表示来求两向量的夹角.利用基本公式进行运算与求解

主要是对基础知识的巩固与提高.

2.设 a=(5,-7),b=(-6,-4),求 a·b 及 a、b 间的夹角 θ (精确到 1°).

解:a·b=5×(-6)+(-7)×(-4)=-30+28=-2.

|a|= 52+72= 74,|b|= - 2+ -

由计算器得 cosθ =

-2 ≈-0.03. 74× 52

利用计算器得 θ ≈92°.

2= 52,

例 3 课本本节例 4. 变式训练 1.已知 A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△ABC 的形状,并给出证明. 活动:教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决平面图形的形状问题.判断平面图形 的形状,特别是三角形的形状时主要看边长是否相等,角是否为直角.可先作出草图,进行 直观判定,再去证明.在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或者模长相等,则此 平面图形与平行四边形有关;若三角形的两条边所在的向量模长相等或者有两边所在向量的 数量积为零,则此三角形为等腰三角形或者为直角三角形.教师可以让学生多总结几种判断 平面图形形状的方法. 解:在平面直角坐标系中标出 A(1,2),B(2,3),C(-2,5)三点,我们发现△ABC 是直角三角 形.下面给出证明. ∵A→B=(2-1,3-2)=(1,1), →AC=(-2-1,5-2)=(-3,3), ∴A→B·A→C=1×(-3)+1×3=0.
15

∴A→B⊥A→C. ∴△ABC 是直角三角形. 点评:本题考查的是向量数量积的应用,利用向量垂直的条件和模长公式来判断三角形的形 状.当给出要判定的三角形的顶点坐标时,首先要作出草图,得到直观判定,然后对你的结 论给出充分的证明. 2.在△ABC 中,→AB=(2,3),A→C=(1,k),且△ABC 的一个内角为直角,求 k 的值. 解:由于题设中未指明哪一个角为直角,故需分别讨论. 若∠A=90°,则→AB⊥→AC,所以→AB·→AC=0, 于是 2×1+3k=0. 故 k=-23. 同理可求,若∠B=90°时,k 的值为131. 若∠C=90°时,k 的值为3±2 13. 故所求 k 的值为-23或131或3±2 13.

例 4 已知|a|=3,b=(2,3),试分别解答下面两个问题: (1)若 a⊥b,求 a;(2)若 a∥b,求 a. 活动:对平面中的两向量 a=(x1,y1)与 b=(x2,y2),向量垂直的坐标表示 x1x2+y1y2 =0 与向量共线的坐标表示 x1y2-x2y1=0 很容易混淆,要让学生在应用中深刻领悟其本质属 性,两向量垂直是 a·b=0,而共线是方向相同或相反.教师可多加强反例练习,多给出这 两种类型的同式变形训练,以此巩固并能熟练地掌握和运用. 解:(1)设 a=(x,y),由|a|=3 且 a⊥b,得???x2+y2=|a|2=9,
??2x+3y=0,

??x=-193 13, 解得???y=163 13

??x=193 13, 或???y=-163 13,

∴a=(-193 13,163 13)或 a=(193 13,-163 13).

16

(2)设 a=(x,y),由|a|=3 且 a∥b,得???x2+y2=|a|2=9, ??3x-2y=0,

??x=163 13, 解得???y=193 13

??x=-163 13, 或???y=-193 13,

∴a=(163 13,193 13)或 a=(-163 13,-193 13). 点评:本题主要考查学生对公式的掌握情况,学生能熟练运用两向量的坐标运算来判断

垂直或者共线,也能熟练地进行公式的逆用,利用已知关系来求向量的坐标.

变式训练 1
求证:一次函数 y=2x-3 的图象(直线 l1)与一次函数 y=-2x 的图象(直线 l2)互相垂直. 证明:在 l1:y=2x-3 中,令 x=1 得 y=-1;令 x=2 得 y=1,即在 l1 上取两点 A(1,- 1),B(2,1).

同理,在直线 l2 上取两点 C(-2,1),D(-4,2),于是: →AB=(2,1)-(1,-1)=(2-1,1+1)=(1,2),

→CD=(-4,2)-(-2,1)=(-4+2,2-1)=(-2,1).

由向量的数量积的坐标表示,可得A→B·C→D=1×(-2)+1×2=0,

∴A→B⊥C→D,即 l1⊥l2.

知能训练 课本练习 1~8.
课堂小结 1.在知识层面上,先引导学生归纳平面向量数量积的坐标表示,向量的模,两向量的 夹角,向量垂直的条件.其次引导学生总结数量积的坐标运算规律,夹角和距离公式、两向 量垂直的坐标表示. 2.在思想方法上,教师与学生一起回顾探索过程中用到的思维方法和数学思想方法, 定义法,待定系数法等.
作业
17

课本习题 2.4 8、9、10. 设计感想
1.由于本节课是对平面向量的进一步探究与应用,是对平面向量几何意义的综合研究 提高,因此教案设计流程是探究、发现、应用、提高,这符合新课程理念,符合新课标要求.我 们知道平面向量的数量积是本章最重要的内容,也是高考中的重点,既有选择题、填空题, 也有解答题(大多与立体几何、解析几何一起综合考查),故学习时要熟练掌握基本概念和性 质及其综合运用.而且数量积的坐标表示又是向量运算的一个重要内容,用坐标表示直角坐 标平面内点的位置,是解析几何的一个基本特征,从而以坐标为桥梁可以建立向量与解析几 何的内在联系.以三角函数表示点的坐标,又可以沟通向量与三角函数的相互关系,由此就 产生出一类向量与解析几何及三角函数交汇的综合性问题.
2.本节课学习的重点是两个向量数量积的坐标表示;两个向量垂直的坐标表示以及利 用向量数量积的坐标表示解决有关的几何问题.本节学习的难点是建立向量与坐标之间的关 系.平面向量数量积的坐标表示使得向量数量积的应用更为方便,也拓宽了向量应用的途径, 通过学习本节的内容,要更加加深对向量数量积概念的理解.同时善于运用坐标形式运算解 决数量问题,尤其是有关向量的夹角、长度、垂直等,往往可以使问题简单化.灵活使用坐 标形式,综合处理向量的线性运算、数量积、平行等,综合地解决向量综合题,体现数形结 合的思想.在本节的学习中可以通过对实际问题的抽象来培养学生分析问题、解决问题和应 用知识解决问题的意识与能力.
备课资料 一、|a·b|≤|a||b|的应用 若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则平面向量的数量积的性质|a·b|≤|a||b|的坐标表示 为 x1x2+y1y2≤ x21+y21 x22+y22 ? (x1x2+y1y2)2≤(x21+y21)(x22+y22). 不等式(x1x2+y1y2)2≤(x21+y21)(x22+y22)有着非常广泛的应用,由此还可以推广到一般(柯 西不等式): (a1b1+a2b2+…+anbn)2≤(a1+a2+…+an)(b1+b2+…+bn). 例 1(1)已知实数 x,y 满足 x+y-4=0,则 x2+y2 的最小值是________; (2)已知实数 x,y 满足(x+2)2+y2=1,则 2x-y 的最大值是________. 解析:(1)令 m=(x,y),n=(1,1). ∵|m·n|≤|m||n|,∴|x+y|≤ x2+y2· 2, 即 2(x2+y2)≥(x+y)2=16.∴x2+y2≥8.故 x2+y2 的最小值是 8.
18

(2)令 m=(x+2,y),n=(2,-1),2x-y=t.

由|m·n|≤|m||n|,得|2(x+2)-y|≤ + 2+y2· 5= 5,即|t+4|≤ 5,

解得-4- 5≤t≤ 5-4,故所求的最大值是 5-4.

答案:(1)8 (2) 5-4



2 已知

a,b∈R,θ

∈(0,π2

a2 ),试比较cos2θ

b2 +sin2θ

与(a+b)2 的大小.

解:构造向量 m=(coasθ ,sibnθ ),n=(cosθ ,sinθ ),由|m·n|≤|m||n|得

(coasθ

cosθ

+sibnθ

sinθ

)2≤(coas22θ

b2 +sin2θ

)(cos2θ

+sin2θ

),

∴(a+b)2≤coas22θ

b2 +sin2θ

.

同类变式:已知 a,b∈R,m,n∈R,且 mn≠0,m2n2>a2m2+b2n2,令 M= m2+n2,N=a

+b,比较 M、N 的大小. 解:构造向量 p=(an,bm),q=(n,m),由|p·q|≤|p||q|得 (an×n+bm×m)2≤(an22+bm22)(m2+n2)=a2mn2+2m2b2n2(m2+n2)<m2+n2,∴M>N. 例 3 设 a,b∈R,A={(x,y)|x=n,y=na+b,n∈Z},B={(x,y)|x=m,y=3m2+15,

m∈Z},C={(x,y)|x2+y2≤144}是直角坐标平面 xOy 内的点集,讨论是否存在 a 和 b,使

得 A∩B≠ ? 与(a,b)∈C 能同时成立.

解:此问题等价于探求 a、b 是否存在的问题,它满足?????naa2++bb2=≤31n424+.②15,①

设存在 a

和 b 满足①②两式,构造向量 m=(a,b),n=(n,1). 由|m·n|2≤|m|2|n|2 得(na+b)2≤(n2+1)(a2+b2), ∴(3n2+15)2≤144(n2+1) ?n4-6n2+9≤0.

解得 n=± 3,这与 n∈Z 矛盾,故不存在 a 和 b 满足条件.

二、备用习题

1.若 a=(2,-3),b=(x,2x),且 a·b=43,则 x 等于(

)

A.3

B.13

C.-13

D.-3

2.设 a=(1,2),b=(1,m),若 a 与 b 的夹角为钝角,则 m 的取值范围是( )

A.m>12

B.m<12

19

C.m>-12

D.m<-12

3.若 a=(cosα ,sinα ),b=(cosβ ,sinβ ),则( )

A.a⊥b

B.a∥b

C.(a+b)⊥(a-b)

D.(a+b)∥(a-b)

4.与 a=(u,v)垂直的单位向量是( )

v

u

A.(- u2+v2, u2+v2)

v

u

B.( u2+v2,- u2+v2)

v

u

C.( u2+v2, u2+v2)

v

u

v

u

D.(-



)或(

,-

)

u2+v2 u2+v2

u2+v2

u2+v2

5.已知 a,b 都是非零向量,且 a+3b 与 7a-5b 垂直,a-4b 与 7a-2b 垂直,求 a 与

b 的夹角.

6.已知△ABC 的三个顶点为 A(1,1),B(3,1),C(4,5),求△ABC 的面积.

参考答案:

1.C 2.D 3.C 4.D

5.解:由已知(a+3b)⊥(7a-5b) ? (a+3b)·(7a-5b)=0 ? 7a2+16a·b-15b2

=0,①
又(a-4b)⊥(7a-2b) ? (a-4b)·(7a-2b)=0 ? 7a2-30a·b+8b2=0,② ①-②得 46a·b=23b2,即 a·b=b22=|b2|2.③ 将③代入①式可得 7|a|2+8|b|2-15|b|2=0,即|a|2=|b|2,有|a|=|b|,
|b|2 ∴若记 a 与 b 的夹角为 θ ,则 cosθ =|aa· ||bb|=|b|2|b|=12. 又 θ ∈[0°,180°],∴θ =60°,即 a 与 b 的夹角为 60°. 6.分析:S△ABC=12|→AB||→AC|sin∠BAC,而|→AB|,|A→C|易求,要求 sin∠BAC 可先求出 cos∠BAC.

解:∵A→B=(2,0),A→C=(3,4),|A→B|=2,|A→C|=5,

∴cos∠BAC=|→ AA→BB· ||A→A→CC|=2×32+×05×4=35.∴sin∠BAC=45.

20

∴S△ABC=12|A→B||A→C|sin∠BAC=12×2×5×45=4. 三、新教材新教法的二十四个“化”字诀 新课导入新颖化,揭示概念美丽化;纵横相联过程化,探索讨论热烈化; 探究例题多变化,引导思路发散化;学生活动主体化,一石激浪点拨化; 大胆猜想多样化,论证应用规律化;变式训练探究化,课堂教学艺术化; 学法指导个性化,对待学生情感化;作业抛砖引玉化,选题质量层次化; 学生学习研究化,知识方法思想化;抓住闪光激励化,教学相长平等化; 教学意识超前化,与时俱进媒体化;灵活创新智慧化,学生素质国际化.

附:

(设计者:仇玉法)

2.4 向量的数量积

第 1 课时 作者:蒋国庆,江苏省泰兴市第四高级中学教师,本教学设计获江苏省教学设计大赛一 等奖.
整体设计 在《普通高中课程标准实验教科书·数学 4(必修)》中,2.4 平面向量的数量积约用 3 课时完成.本文从教材分析、目标分析、教学过程、设计说明等几个方面系统阐述第 1 课时 的教学设计. 教材分析 1.教材的地位和作用 向量在物理学中的应用非常广泛,在解析几何中应用更为直接,用向量方法特别便于研 究涉及空间里直线与平面的各种问题.平面向量的数量积是向量的基本运算之一,在处理有 关长度、角度和垂直问题等方面有很好的应用.“平面向量的数量积”是《平面向量》中的 基础知识与重点内容. 2.教学重点与难点 本节课的重点是理解平面向量的数量积的概念及运算律,这也是本节课的难点. 目标分析

21

通过本节课的教学,预计达到下面三个目标: 1.知识目标:理解平面向量的数量积的概念;能用公式和运算律进行计算. 2.能力目标:培养学生的理性思维能力、创造性思维能力、逻辑思维能力和思维的批 判性. 3.情感目标:鼓励学生探索发现规律,激发学生学习数学的兴趣. 学法分析 向量的数量积的结果是一个数量,而不是一个向量.像这样的运算结果与运算对象不在 同一“范围”内的运算,学生首次接触,理解上有一定的困难,本文的教学设计准备通过预 设的系列问题,发动学生进行合作讨论,调动学生参与到探索中来,让他们总结规律,从而 充分经历,体验“发现定义”的过程.
教学过程 本节课共分四大环节:理解定义、总结性质、学习运算律、巩固训练. 1.理解定义 教学设想:首先引导学生复习已学过的向量运算,并与实数的加法、减法及实数的乘法 进行比较,让学生大胆思维,猜想有无这样的向量运算,结果是一个数量而不是一个向量? 在数学上,以前肯定没学过.引导学生进一步联想,在物理上见过两个矢量运算的结果是一 个标量的例子吗?有部分学生联想到力对物体作用产生的位移所做的功,力 F 是一个向量, 位移 s 是一个向量,而功 W 是一个标量,这时又让学生思考相应的物理公式 W=|F||s|cosθ , 这样就为向量数量积概念的引入做了一个积极的铺垫.通过学生联想类比物理学中的 “功”,找到向量数量积的原型;通过讨论求功运算的特点,进而抽象出向量数量积的定 义.这一过程培养了学生的发散性思维能力及创造性思维能力. 复习思考:
运算结果 向量的加法―→向量 向量的减法―→向量 实数与向量的乘法―→向量 两个向量的乘法―→???? (1)物理意义下的“功”: 一个物体在力 F 的作用下发生了位移 s,那么力 F 所做的功应当怎样计算? W=|F||s|cosθ .
22

图1 其中力 F 和位移 s 是向量,θ 是 F 与 s 的夹角,而功 W 是数量. (2)向量的夹角 已知非零向量 a 与 b,作→OA=a,O→B=b,则∠AOB=θ (0≤θ ≤π )叫作 a 与 b 的夹角.
①若 θ =0°,a 与 b 同向
②若 θ =180°,a 与 b 反向
③若 θ =90°,a 与 b 垂直记作 a⊥b 图2
(3)平面向量的数量积的定义 已知两个非零向量 a 和 b,它们的夹角为 θ ,我们把数量|a||b|cosθ 叫做 a 与 b 的数 量积(或内积),记作 a·b,即 a·b=|a||b|cosθ 规定:零向量与任意向量的数量积为 0,即 a·0=0. 教学设想:讲授了数量积的意义之后,学生虽然可以从表面上接受这个概念,但并不深 刻,为了加深对数量积概念的理解,可让学生启动类比联想思维,因为数量积是一种积,所 以让学生去类比实数的乘积,通过类比寻找它们的不同之处.
23

小组讨论下列问题: (1)在实数乘积中,由 ab=0 可推出 a=0 或 b=0,而对数量积 a·b=0,一定可以推出 a=0 或 b=0 吗? (2)在实数乘积中,若 ab=bc(b≠0),可以在等式两边同时约去 b,得到 a=c;对数量 积 a·b=b·c(b≠0),能否得到 a=c? (3)两个向量的数量积的大小由哪些量确定? (4)当两个向量都不是零向量时,这两个向量的数量积能否等于零?此时这两个向量有 什么位置关系? 通过这样的类比,认识深刻了,对概念的理解升华了,预定的教学目标达到了,而发散 思维能力和创造性思维能力也得到了培养. 2.总结性质 教学设想:把需要总结的数量积的性质,设计成 7 个讨论题,调动所有学生参与到探索 中来,发动学生进行合作讨论,让他们总结规律.这 7 个讨论题是: (1)向量的数量积的正负如何确定? (2)单位向量与任意向量的数量积有什么规律? (3)互相垂直的向量的数量积有什么特点? (4)共线向量的数量积有什么规律? (5)如何求两个向量的夹角? (6)比较两个向量的数量积的模与两个向量模的积的大小的关系. (7)两个相等向量的数量积等于什么? 数量积的性质: 设 a,b 都是非零向量,e 是与 b 方向相同的单位向量,θ 是 a 与 e 的夹角,则 (1)e·a=a·e=|a|cosθ ; (2)a⊥b ? a·b=0(判断两向量垂直的依据); (3)当 a 与 b 同向时,a·b=|a||b|;当 a 与 b 反向时,a·b=-|a||b|, 特别地,a·a=|a|2 或|a|= a·a(用于计算向量的模); (4)cosθ =|aa·||bb|(用于计算向量的夹角); (5)|a·b|≤|a||b|. 教学设想:在小组合作讨论的基础上,再由老师归纳性质.由于向量的数量积的性质是
24

由学生在合作中发现出来的,学生从对性质的不知到完成已知,这本身就是一个创造过程, 也是一个创新过程.
小组合作学习方式是教学中行之有效的方式,尤其是对一些比较难理解、需要深入研究 和继续探讨的问题,通过小组合作讨论的形式,使学生之间的知识差异、性格差异相互补充, 使他们学会合作,学会探索,学会发现,学会创新.
3.学习运算律 教学设想:教材中给出了向量的数量积的三个运算律,对于前两个运算律(交换律、实 数与两个向量乘积的结合律)要求学生自己证明,而对分配律则要求学生课后预习数量积的 几何意义再作证明.然后采取与实数乘法运算律列表比较的方法,让学生比较二者运算律, 并上升为理性思维.通过比较使学生明确了实数乘法满足结合律而向量的数量积不满足结合 律.最后要求学生结合数量积的意义举出反例.善于举出反例是学生批判性思维的突出表现, 也是一种创新行为.教学实践表明,学生的思维是灵活的,一旦把他们的思维调动起来,他 们的思考相当深刻,这也有助于提高逻辑思维能力和创新意识. 设向量 a,b,c 和实数 λ ,则向量的数量积满足下列运算律: (1)a·b=b·a; (2)(λ a)·b=a·(λ b)=λ (a·b)=λ a·b; (3)(a+b)·c=a·c+b·c. 列表比较实数乘法运算律和向量数量积的运算律

实数乘法 向量数量积

交换律 交换律

分配律 分配律

结合律 ????

举反例:学生完成. 教学设想:作为平面向量数量积的意义及运算律的应用,让学生研究作为实数运算(a +b)2 与(a+b)(a-b)以及作为数量积运算(a+b)2 与(a+b)·(a-b)的结果形式是否一 样?为什么?学生经过认真思考与严密的推导得出正确结论,并且知道他们相等的原因是它 们都满足交换律,而作为实数运算(ab)2 与数量积运算(a·b)2 的结果不同主要是因为结合律 的影响,从而使认识更加深刻,也进一步强化了对学生思维批判性与深刻性的培养. 4.课堂巩固

25

教学设想:为了及时巩固所学知识,利用多媒体投影让学生独立思考,认真解答.并及

时订正.

练习 1.判断正误:

(1)若 a=0,则对任一向量 b,有 a·b=0.



(2)若 a≠0,则对任一非零向量 b,有 a·b≠0.

×

(3)若 a≠0,a·b=0,则 b=0.

×

(4)若 a·b=0,则 a、b 中至少有一个为 0.

×

(5)若 a≠0,a·b=b·c,则 a=c.

×

(6)若 a·b=a·c,则 b≠c,当且仅当 a=0 时成立.

×

(7)对任意向量 a,有 a2=|a|2.



练习 2.已知|p|=8,|q|=6,p 和 q 的夹角是 60°,求 p·q.

练习 3.设|a|=12,|b|=9,a·b=-54 2,求 a 和 b 的夹角 θ .

设计说明 这节课的设计注意改变学生的学习方法,以问题为线索,学生自主学习、小组合作学习 为主,辅以适当练习加以训练,教师适时进行引导. 按照建构主义观点,知识需要经过学习者自身体验,才能被同化和顺应,因此,教学设 计注重学生的主体地位,发挥教师的组织和引导作用,调动学生的主动性和积极性,使数学 教学成为数学活动的教学,激发学生学习数学的兴趣. 教师在教学中如何确定知识的生长点、思维的展开点和认知的交流点,如何把知识教学 和认知结构的形成、思维能力的训练、创新意识的培养、思想方法的渗透有机的结合起来, 这些问题都是需要不断探索的.这节课把学生的兴奋点和着力点放在思维能力和创新意识的 培养上,以期学生的综合素养得到一定的提高.

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