高二数学寒假作业 第5天 立体几何初步(二)文


第5天
一、选择题

立体几何初步(二)

1.平面 ? 过正方体 ABCD—A1B1C1D1 的顶点 A, ? //平面CB1D1 , ?

平面ABCD ? m ,

? 平面ABB1 A1 ? n ,则 m,n 所成角的正弦值为(
A.



3 2

B.

2 2

C.

3 3

D.

1 3

2.一块石材表示的几何体的三视图如图 2 所示,将石材切削、打磨、加工 成球,则能得到的最大球的半径等于( )

A.1

B.2

C.3

D.4

3.一个空间几何体的三视图如下图所示,该几何体的体积为 12π + 则正视图中 x 的值为 ( )

8 5 , 3

A.5

B.4

C.3

D.2

4.设 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列命题正确的 是 ( ) B.若 l ? ? , l //m ,则 m ? ? D.若 l //? , m//? ,则 l //m

A.若 l ? m , m ? ? ,则 l ? ? C.若 l //? , m ? ? ,则 l //m

5.设 m,n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,给出下列命题: ①若 m⊥ ? ,n∥ ? ,则 m⊥n; ②若 ? ? ? , ? ? ? 则 ? ∥ ? ; ③若 m∥ ? ,n∥ ? ,则 m∥n; 其中正确命题的个数是 ( ) A. 0 6.若正方体的棱长为 ( A. ) B. 1 C. 2 D. 3 ④若 ? ∥ ? , ? ∥ ? , m⊥ ? 则 m⊥ ? .

2 ,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为

2 3

B.

2 6

C.

3 3

D.

2 3
-1-

7.平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面 α 的距离为 2 ,则此球的体积 为 ( ) A. 6 π B.4 3 π C.4 6 π

D.6 3 π 8.已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点,若 AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体积的最大值 为 ( A. )

2 3 3

B.

4 3 3

C. 2 3

D.

8 3 3

二、填空题 9.如下图,在正三棱锥 A-BCD 中,E、F 分别是 AB、BC 的中点,EF⊥DE,且 BC=1,则正三 棱锥

A-BCD 的体积是
10.如图, 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1, E 为线段 B1C 上的一点, 则三棱锥 A ? DED1 的 体积为 _________________

11.已知点 P,A,B,C,D 是球 O 表面上的点,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是边长为 2 3 正 方 形.若 PA=2 6 ,则 ?OAB 的面积为______________ 12.若 四面体 ABCD 的 三组 对棱分别 相等, 即 AB ? CD , AC ? BD , AD ? BC , 则 ________________(写出所有正确结论编号) . ①四面体 ABCD 每组对棱相互垂直. ②四面体 ABCD 每个面的面积相等. ③从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于 90 而小于 180 . ④连接四面体 ABCD 每组对棱中点的线段互垂直平分. ⑤从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长.
-2。



三、解答题 π 13.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB⊥侧面 BB1C1C,已知 BC=1,∠BCC1= ,BB1=2. 3 (Ⅰ)求证:C1B⊥平面 ABC; (Ⅱ)试在棱 CC1(不包含端点 C,C1)上确定一点 E 的位置, 使得 EA⊥EB1.

14.如图,棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的侧面 BCC1 B 1 是菱形, B 1C ? A 1B (Ⅰ)证明:平面 AB1C ? 平面 A 1 BC1 ; (Ⅱ)设 D 是 AC 1 1 上的点,且 A 1 B // 平面 B1CD ,求 A 1D : DC1 的值.

-3-

15.如图 4,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面是边长为 2 的正三角形, E , F 分别是 BC, CC1 的 中点。 (Ⅰ)证明:平面 AEF ? 平面 B1BCC1 ;

F ? AEC (Ⅱ)若直线 AC 1 与平面 A 1 ABB 1 所成的角为 45 ,求三棱锥
的体积。

16.如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 、 F 分别为 DD1 、 DB 的中 点. (Ⅰ)求证: EF //平面 ABC1D1 ; (Ⅱ)求证: EF ? B1C ; (Ⅲ)求 VB1 ?EFC .
D F A B C A1 E D1 B1 C1

-4-

【链接高考】 (1) 一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余 部分体积的比值为( )

A.

1 8

B.

1 7

C.

1 6

D.

1 5

(2)如图所示,长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中 AB=16,BC=10, AA1 ? 8 ,点 E,F 分别在

A1B1 , D1C1 上, A1E ? D1F ? 4. 过点 E,F 的平面 ? 与此长方体的面相交,交线围成一个正方
形. (I)在图中画出这个正方形(不必说明画法与理由) ; (II)求平面 ? 把该长方体分成的两部分体积的比值.

-5-

第5天 1.A 2.B 3.C 4.B 5.C 6. A 7. B 13.(Ⅰ)略 14. (Ⅰ)略

立体几何初步(二) 8. B 9.

2 24

10.

1 6

11.3 3 . 12. ②④⑤

(Ⅱ)E 为 CC1 的中点时,EA⊥EB1. (Ⅱ)设 BC1 交 B1C 于点 E,连结 DE,则 DE 是平面 A1BC1 与平面 B1CD 的交线,

因为 A1B//平面 B1CD, 所以 A1B//DE, 又 E 是 BC1 的中点, 所以 D 为 A1C1 的中点.即 A1D: DC1=1. 15. (Ⅰ)略; (Ⅱ) 16 .

6 . 12
Ⅰ ) 略 ( Ⅱ )



? ? B1C ? BC1 ? B C ? 平面ABC1D1 ? B1C ? BD1 ? ?? 1 ? ? EF ? B1C ?? AB, B1C ? 平面ABC1 D1 ? EF // BD1 ? BD1 ? 平面ABC1D1 ? ? AB BC1 ? B ?
(Ⅲ)

B1C ? AB

CF ? 平面BDD1B1 ?CF ? 平面EFB1 且 CF ? BF ? 2
EF ? 1 BD1 ? 3 , B1F ? BF 2 ? BB12 ? ( 2)2 ? 22 ? 6 2


B1 E ? B1 D12 ? D1E 2 ? 12 ? (2 2) 2 ? 3
?EFB1 ? 90

EF 2 ? B1F 2 ? B1E 2



1 1 1 1 1 ?VB1 ? EFC ? VC ? B1EF ? ? S ?B1EF ? CF = ? ? EF ? B1 F ? CF = ? ? 3 ? 6 ? 2 ? 1 3 2 3 3 2
【高考链接】 (1)D (2)(I)交线围成的正方形 EHGF 如图:

-6-

-7-


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