高中数学必修一同步教学课件:3.2.1 几类不同增长的函数模型_图文

3.2 3.2.1 函数模型及其应用 几类不同增长的函数模型 1.利用函数图象及数据表格,比较指数函数,对数函 数及幂函数的增长差异; 2.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不 同增长的函数模型的意义; 3.体会数学在实际问题中的应用价值. 美丽的澳洲原来没有兔子,1859年,有人从欧洲 带来几只兔子在维多利亚的季朗地区放养。而这一放 养,竟然比放虎归山造成的危害还要大。 澳洲土壤疏松牧草茂盛,兔子打洞做窝非常方便,却 没有天敌。对兔子来说,就是个无忧无虑的天堂。于是兔 子的数量不断增加,地盘也不断扩大,每年扩展的面积达 100平方公里。不到100年时间,兔子们就占领了整个澳大 利亚,达到75亿只,可爱的兔子变得可恶起来.10只兔子 要吃掉相当于1只羊所吃的牧草,75亿只兔子所吃的牧草 相当于放养7.5亿只羊所吃的牧草。偏偏澳大利亚极为干 旱,尤其是内陆,一棵草都是宝贵的。兔子所过之处,像 蝗虫一样,风卷残云般地吃光了仅有的一点绿色。草原的 载畜率大大降低,而牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳 大利亚人头痛不已,他们采用各种方法消灭这些兔子,直 至二十世纪五十年代,科学家采用载液瘤病毒杀死了百分 之九十的野兔,澳大利亚人才算松了一口气. 探究一 假设你有一笔资金用于投资,现在有三种投资方案供 你选择,这三种方案的回报如下: 方案一:每天回报40元; 方案二:第一天回报10元,以后每天比前 一天多回报10元; 方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回 报比前一天翻一番. 请问,你会选择哪种投资方案? 思路分析: 1.依据什么标准来选取投资方案?日回报效益,还是累 计回报效益? 2.如何建立日回报效益与天数的函数模型? ? 方案一可以用函数 y ? 40(x ? N ) 进行描述; 方案二可以用函数 y ? 10x(x ? N? ) 进行描述; x ?1 ? y ? 0.4 ? 2 (x ? N ) 进行描述. 方案三可以用函数 3.三个函数模型的增减性如何? 4.要对三个方案作出选择,就要对它们的增长情况进行 分析,如何分析? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ? 30 方案 一 增加 y/元 量 40 0 40 0 40 0 40 0 40 0 40 0 40 0 40 0 40 0 40 0 ? ? 40 0 方案 二 方案 三 y/元 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 ? 300 增加量 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 ? 10 y/元 增加量 0.4 0.8 0.4 1.6 0.8 3.2 1.6 6.4 3.2 12.8 6.4 25.6 12.8 51.2 25.6 102.4 51.2 204.8 102.4 ? ? 214748364 107374182 120 y 100 y=10x 80 60 40 y=40 y=0.4×2x-1 20 O 2 4 6 8 10 12 x 120 y 100 80 60 y=10x y=0.4×2x-1 我们看到,底为2的 指数函数模型比线 y=40 40 性函数模型增长速 度要快得多.从中你 对“指数爆炸”的 含义有什么新的理 20 O 2 4 6 解? 8 10 12 x 读图和用图 由表和图可知,方案一的函数是常数函数,方案二、方案三的 函数都是增函数,但是方案三的函数与方案二的函数的增长情况很 不同。 可以看到,尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三 的100倍和25倍,但它们的增长量固定不变,而方案三是“指数增 长”,其“增长量”是成倍增加的,从第7天开始,方案三比其他两 个方案增长得快得多,这种增长速度是方案一、方案二所无法企及 的,从每天所得回报看,在第1~4天,方案一最多,在5~8天,方 案二最多;第9天开始 ,方案三比其他两个方案所得回报多得多, 到第30天,所得回报已超过2亿元。 下面再看累计的回报数: 回报/ 元 方案 天 数 1 2 40 3 4 5 6 7 8 9 10 11 一 二 三 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660 0.4 1.2 2.8 6 结论:投资1~6天,应选择方案一;投资7天,应选择方案 一或方案二;投资8 ~ 10天,应选择方案二;投资11天 (含11天)以上,应选择方案三. 探究二:某公司为了实现1000万元利润的目标,准备制定 一个激励销售人员的奖励方案: 在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金 y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加, 但资金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%, 现有三个奖励模型: y=0.25x, y=log7x+1, y=1.002x, 其中哪个模型能符合公司的要求? 思路分析: 某个奖励模型符合公司要求,就是依据这个模型进行奖 励时,奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的 25%,由于公司总的利润目标为1000万元,所以人员销售 利润一般不会超过公司总的利润. 于是,只需在区间[10,1000]上,检验三个模型是否符合 公司要求即可. 思考: 1.X的取值范围,即函数的定义域. 2.通过图象说明选用哪个函数模型?为什么? 解:借助计算机作出函数 y ? 5, y ? 0.25x y ? log7 x+1,y=1.002x 的图象. y 8 y=0.25x 7 6 5 4 3 2 1 y=1.002x y=5 y=log7x+1 O 200 400 600 800 1000 x 观察图象发

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