高中数学人教A版必修1课件:3.1.2 用二分法求方程的近似解_图文

3.1.2 用二分法求方程的近似解

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1.了解二分法是求方程近似解的一种方法,能够借助于计算器用 二分法求方程的近似解. 2.理解二分法的步骤与思想.

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1.二分法的概念 对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)· f(b)<0的函数y=f(x),通过不断 地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步 逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 名师点拨二分法就是通过不断地将所选区间(a,b)一分为二,逐步 地逼近零点的方法,即找到零点附近足够小的区间,根据所要求的 精确度,用此区间内的某个数值近似地表示真正的零点.

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2.用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤 (1)确定区间[a,b],验证f(a)· f(b)<0,给定精确度ε. (2)求区间(a,b)的中点c. (3)计算f(c); 若f(c)=0,则c就是函数的零点; 若f(a)· f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c)); 若f(c)· f(b)<0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)). (4)判断是否达到精确度ε: 即若|a-b|<ε,则得到零点的近似值为a(或b);否则重复(2)~(4).

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【做一做1】 下列说法正确的是( ) A.二分法所求出的方程的解都是近似解 B.函数f(x)=|x|可以用二分法求零点 C.用二分法求函数零点的近似值时,每次等分区间后,零点必定在 右侧区间内 D.若f(a)f(b)<0,且|a-b|<ε(ε为精确度),则区间(a,b)内的任意数都可 作函数零点的近似值 答案:D

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3.二分法的应用 由函数的零点与相应方程根的关系,可以用二分法来求方程的近 似解. 【做一做2】 下面关于二分法的叙述,正确的是( ) A.用二分法可求所有函数零点的近似值 B.用二分法求方程的近似解时,可以精确到小数点后的任一位 C.二分法无规律可循,无法在计算机上完成 D.只有在求函数零点时才用二分法 答案:B

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【做一做3】 已知函数f(x)的图象是连续不断的曲线,在用二分法 求方程f(x)=0在(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0, 则方程的解所在的区间为( ) A.(1.25,1.5) B.(1,1.25) C.(1.5,2) D.不能确定 解析:由于f(1.25)· f(1.5)<0,则方程的解所在的区间为(1.25,1.5). 答案:A

用二分法求方程的近似解需注意的问题 剖析:(1)看清题目要求的精确度,它决定着二分法步骤的结束. (2)初始区间的选定要尽可能小,不同的初始区间结果是相同的, 但等分区间的次数却相差较大. (3)在二分法的第四步,由|a-b|<ε,便可判断零点的近似值为a或b, 即只需进行有限次运算即可. (4)用二分法求出的零点一般是零点的近似值,并不是所有函数都 可以用二分法求零点的近似值;也就是说,并不是所有的方程都可 以用二分法求近似解.

题型一

题型二

题型三

题型一

二分法的概念

【例1】 下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图 中函数零点的是( )

解析:利用二分法求函数零点必须满足零点两侧的函数值异号. 在选项B中,不满足f(a)· f(b)<0,不能用二分法求零点;由于选项 A,C,D中零点两侧的函数值异号,故可采用二分法求零点. 答案:B

题型一

题型二

题型三

(

【变式训练 1】 下列函数中,必须用二分法求其零点的是 ) A.y=x+7 B.y=5x-1 C.y=log3x D.y=
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?

解析 :A 项中 ,解方程 x+7=0,得 x=-7,因此函数 y=x+7 可以不用 二分法求零点 ;B 项中 ,解方程 5x-1=0,得 x=0,因此函数 y=5x-1 可以不 用二分法求零点 ;C 项中 ,解方程 log3x=0,得 x=1,因此函数 y=log3x 可 以不用二分法求零点;D 项中 ,无法通过直接解方程 0 得到零点.故选 D. 答案 :D
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? =

题型一

题型二

题型三

题型二

求方程的近似解

【例2】 求方程lg x=2-x的近似解.(精确度0.1) 分析:在同一坐标系中,画出y=lg x和y=2-x的图象,确定方程的解 所在的大致区间,再用二分法求解.

题型一

题型二

题型三

解:在同一坐标系中,作出y=lg x,y=2-x的图象如图所示,可以发现 方程lg x=2-x有唯一解,记为x0,并且解在区间(1,2)内. 设f(x)=lg x+x-2, 则f(x)的零点为x0. 用计算器计算得f(1)<0,f(2)>0?x0∈(1,2); f(1.5)<0,f(2)>0?x0∈(1.5,2); f(1.75)<0,f(2)>0?x0∈(1.75,2); f(1.75)<0,f(1.875)>0?x0∈(1.75,1.875); f(1.75)<0,f(1.812 5)>0?x0∈(1.75,1.812 5). ∵|1.812 5-1.75|=0.062 5<0.1, ∴方程的近似解可取为1.812 5.

题型一

题型二

题型三

反思利用二分法求方程的近似解的步骤:(1)构造函数,利用图象 确定方程的解所在的大致区间,通常取区间(n,n+1),n∈Z;(2)利用二 分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M;(3)区间M内的任一 实数均是方程的近似解,通常取区间M的一个端点.

题型一

题型二

题型三

【变式训练2】 根据下表,用二分法求函数f(x)=x3-3x+1在区间 (1,2)内的零点的近似值(精确度0.1)是 .
f(1)=-1 f(1.75)= 1.109 375 f(2)=3 f(1.625)= 0.416 015 625 f(1.5)=-0.125 f(1.562 5)= 0.127 197 265 6

解析:首先根据零点在(1,2)区间内,再判断零点在(1.5,2)上,最终判 断零点在(1.5,1.562 5)内. 答案:1.5或1.562 5

题型一

题型二

题型三

题型三

实际应用题

【例3】 某市A地到B地的电话线路发生故障,这是一条10 km长 的线路,每隔50 m有一根电线杆,如何迅速查出故障所在? 分析:对每一段线路一一检查很麻烦,当然也是不必要的,可以利 用二分法的思想设计方案.

题型一

题型二

题型三

解:如图,可首先从中点C开始查起,用随身携带的工具检查,若发 现AC段正常,则断定故障在BC段; 再到BC段的中点D检查,若CD段正常,则故障在BD段; 再到BD段的中点E检查,如此,每检查一次就可以将待查的线路长 度缩短一半,经过7次查找,即可将故障范围缩小到50~100 m之间,即 可迅速找到故障所在. 反思本题实际上是二分法思想在实际问题中的应用,通过取区间 (线路)的中点,依次使区间(线路)的长度减半,就逐步逼近了函数的 零点(线路故障处),从而使问题得到解决.

题型一

题型二

题型三

【变式训练3】 物理课上老师拿出长为1米的一根电线,此电线 中有一处折断无法通电(表面看不出来),如何迅速查出故障存在?要 把折断处的范围缩小到3~4厘米,要查多少次? 解:运用二分法的原理进行查找,经过5次查找就可将折断处的范 围缩小到3~4厘米.


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