高考数学一轮复习 第50讲《用向量方法证明空间中的平行与垂直》热点针对课件 理_图文

第50讲 用向量方法证明空间中 的平行与垂直 1. (改编)空间直角坐标系中, A(0,2,1), B(-3, -1,4), C(2,5,1),D(3,6,0),则直线 AB 与 CD 的位置关系是( B ) A.垂直 C.异面 B.平行 D.相交但不垂直 → =(-3,-3,3),CD → =(1,1,-1), 解析:AB → =-3CD → ,所以 AB∥CD,故选 B. 所以AB 2. (改编)已知 A(2,0,0), B(0,2,0), C(0,0,2), 则平面 ABC 的一个单位法向量是( D ) 3 3 3 A.( , ,- ) 3 3 3 3 3 3 B.( ,- , ) 3 3 3 3 3 3 C.(- , , ) 3 3 3 3 3 3 D.(- ,- ,- ) 3 3 3 解析:设平面 ABC 的一个法向量为 n=(x,y,z), → ,n⊥AC → ,于是 n· → =0,n· → =0, 则 n⊥AB AB AC → =(-2,2,0),AC → =(-2,0,2), 因为AB ?-x+y=0 所以? ,取 z=1,则 x=y=z=1,故选 D. ?-x+z=0 3.若直线 l 的方向向量为 a,平面 α 的法向量为 n, 能使 l∥α 的是( D ) A.a=(1,0,0),n=(-2,0,0) B.a=(1,3,5),n=(1,0,1) C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1) D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1) 解析:要使 l∥α,则必须 a⊥n,故 a· n=0, 经验算,仅选项 D 符合要求,故选 D. 4.平面 α 的一个法向量为 m=(1,2,0),平面 β 的一个 法向量为 n=(2,-1,0),则平面 α 与平面 β 的位置关系是 ( C ) A.平行 C.垂直 B.相交但不垂直 D.重合 解析:因为 m· n=0,所以 m⊥n,所以 α⊥β,选 C. 5.设平面 α 的一个法向量 m=(3,6,-6),平面 β 的 法向量为 n=(2,4,k),若 α∥β,则 k 等于( B ) A.2 C.4 B.-4 D.-2 解析:因为 α∥β,所以 m∥n,所以 m=λn, 2 4 k 即 = = ,所以 k=-4,故选 B. 3 6 -6 一 利用向量证空间中的平行问题 【例 1】 (2013· 山东省淄博第一次模拟)如图所示的几何 体是由以等边三角形 ABC 为底面的棱柱被平面 DEF 所截 而得,已知 FA⊥平面 ABC,AB=2,AF=2,CE=3,BD =1,O 为 BC 的中点,求证:AO∥平面 DEF. 证明:(1)取 DE 的中点 G,建系如图, → 则 A(0, 3,0),D(-1,0,1),E(1,0,3),F(0, 3,2),DE → =(1, 3,1), =(2,0,2),DF → =(0, 3,0), (方法一)因为OA 1→ → → 所以OA=- DE+DF, 2 又 OA?平面 DEF,所以 OA∥平面 DEF. (方法二)设平面 DEF 的一法向量 m=(x,y,z), ? → =0 ?x+z=0 DE ?m· 则? ,即? , → =0 ? ?x+ 3y+z=0 DF ?m· 不妨取 x=1,则 y=0,z=-1, → =(0, 3,0),OA →· 所以 m=(1,0,-1),OA m=0, → ⊥m, 所以OA 又 OA?平面 DEF,所以 OA∥平面 DEF. 【拓展演练 1】 已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 2, E、 F 分别是 BB1、 DD1 的中点,求证: (1)FC1∥平面 ADE; (2)平面 ADE∥平面 B1C1F. 证明:(1)如图所示,建立空间直角坐标系 Dxyz,则有 D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1). →1=(0,2,1),DA → =(2,0,0),AE → =(0,2,1). 所以FC 设 n1=(x1,y1,z1)是平面 ADE 一个法向量, → ,n1⊥AE →, 则 n1⊥DA ? → =2x1=0 ?x1=0 DA ?n1· 即? ,解得? . → =2y1+z1=0 ? ?z1=-2y1 AE ?n1· 令 z1=2,则 y1=-1,所以 n1=(0,-1,2). →1· →1⊥n, 因为FC n1=-2+2=0,所以FC 又因为 FC1?平面 ADE,所以 FC1∥平面 ADE. → (2)由(1)得 B1(2,2,2),C 1B1=(2,0,0). 设 n2=(x2,y2,z2)是平面 B1C1F 的一个法向量, →1,n2⊥C → 则 n2⊥FC 1B1, ? →1=2y2+z2=0 ?x2=0 FC ?n2· 即? ,解得? . → ? ?z2=-2y2 C ?n2· 1B1=2x2=0 令 z2=2,则 y2=-1,所以 n2=(0,-1,2). 因为 n1=n2,所以平面 ADE∥平面 B1C1F. 二 利用空间向量证明垂直问题 【例 2】(2012· 广东省江门市第一次模拟改编)如图,四棱 柱 ABCDA1B1C1D1 的底面 ABCD 是平行四边形,且 AB=1, BC=2,∠ABC=60° ,E 为 BC 的中点,AA1⊥平面 ABCD.证 明:平面 A1AE⊥平面 A1DE. 证明: 以 A 为原点, 过 A 且垂直于 BC 的直线为 x 轴, AD 所在直线为 y 轴、 AA1 所在直线为 z 轴建立空间直角坐 标系. 设 AA1=a(a>0), 3 1 则 A(0,0,0),D(0,2,0),A1(0,0,a),E( , ,0), 2 2 设平面 A1AE 的一个法向量为 n1=(m,n,p),则 ? → = 3m+1n=0 ?n1AE 2 2 ? ? →1

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