【精品】高中数学人教A版必修一课件:1.3.1 单调性与最大(小)值第二课时 函数的最大(小)值_图文

第二课时 函数的最大(小)值 目标导航 新知探求 课堂探究 新知探求·素养养成 【情境导学】 导入 如图所示是某市房管局公布的2013年10月~2014年9月该市房价走 势图: 想一想 1:从导入图中能否得出2013年10月~2014年9月房价的最大值? (在2014年5月,房价达到最大值,约为27 000元) 想一想 2:从导入图中能否得出2013年10月~2014年9月房价的最小值? (在2013年12月,房价达到最小值,约为25 400元) 知识探究 1.最大值 (1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: ①对于任意的x∈I,都有f(x) ≤ M; ②存在x0∈I,使得 f(x0)=M . 那么,称M是函数y=f(x)的最大值. (2)几何意义:函数y=f(x)的最大值是图象最 高 点的 纵 坐标. 探究:若函数f(x)≤M,则M一定是函数的最大值吗? 答案:不一定,只有定义域内存在一点x0,使f(x0)=M时,M才是函数的最大 值,否则不是. 2.最小值 (1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: ①对于任意的x∈I,都有f(x) ≥ M; ②存在x0∈I,使得 f(x0)=M . 那么,称M是函数y=f(x)的最小值. (2)几何意义:函数y=f(x)的最小值是图象最 低 点的 纵 坐标. 【拓展延伸】 最值的求法 (1)作出函数的图象,尤其是分段函数或解析式含有绝对值的函数,从图象 直接观察可得最值. (2)求出函数的值域,其边界即为最值,此时要注意边界值能否取到(即最值 是否存在). (3)利用函数的单调性求最值,以下可以作为结论使用: 若函数在闭区间[a,b]上是减函数,则f(x)在[a,b]上的最大值为f(a),最小值 为f(b); 若函数在闭区间[a,b]上是增函数,则f(x)在[a,b]上的最大值为f(b),最小 值为f(a). 自我检测 1.(最大值)函数f(x)=3-x2的最大值为( (A)3 (C)0 (B)2 (D)4 ) A ) 2.(最小值)函数y=-x2+2x-1在[0,3]上的最小值为( B (A)0 (B)-4 (C)-1 (D)以上都不对 3.(最值)函数 f(x)= (A) 1 ,1 5 1 在区间[2,6]上的最大值和最小值分别是( x ?1 1 5 B ) (B)1, (C) 1 ,1 7 (D)1, 1 7 4.(最值的应用)若函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则 实数a的值是 答案:±2 . 5.(最值)函数f(x)在[-2,+∞)上的图象如图所示,则函数的最小值为 ;最大值为 . . 答案:不存在 3 课堂探究·素养提升 题型一 图象法求最值 ? 2 ?? , x ? ? ??,0 ? , 【例 1】 已知函数 f(x)= ? x ? x 2 ? 2 x ? 1, x ? ?0, ?? ? . ? (1)画出函数的图象并写出函数的单调区间; 解:(1)函数的图象如图所示. 由图象可知f(x)的单调递增区间为(-∞,0) 和[0,+∞),无递减区间. (2)根据函数的图象求出函数的最小值. 解:(2)由函数图象可知, 函数的最小值为f(0)=-1. 方法技巧 利用图象求函数最值的方法:①画出函数y=f(x)的图象; ②观察图象,找出图象的最高点和最低点; ③写出最值,最高点的纵坐标是函数的最大值,最低点的纵坐标是函数的 最小值. 即时训练1-1:用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值,则函数f(x)= min{4x+1,x+4,-x+8}的最大值是 . 解析:在同一坐标系中分别作出函数y=4x+1,y=x+4,y=-x+8的图象 后,取位于下方的部分得函数f(x)=min{4x+1,x+4,-x+8}的图象,如图 所示. 由图象可知,函数f(x)在x=2时取得最大值6. 答案:6 【备用例1】 已知函数f(x)= ? 2 1 x , ? ? x ? 1, ? ? 2 求f(x)的最大值、最小值. ? ? 1 ,1< x ? 2 , ? ?x 解:如图所示,当2 1 ≤x≤1 时, 2 由 f(x)=x 得 f(x)最大值为 f(1)=1,最小值为 f(0)=0; 当 1<x≤2 时,由 f(x)= 1 1 得 f(2)≤f(x)<f(1),即 ≤f(x)<1. x 2 综上 f(x)max=1,f(x)min=0. 题型二 单调性法求最值 【例2】 已知函数f(x)= (1)判断函数在区间(-1,+∞)上的单调性,并用定义证明你的结论; 解:(1)f(x)在(-1,+∞)上为增函数,证明如下: 任取-1<x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)= 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 x1 ? x2 = , x2 ? 1 ? x1 ? 1?? x2 ? 1? x1 ? 1 2x ? 1 x ? 1 . 因为-1<x1<x2? x1+1>0,x2+1>0,x1-x2<0, 所以 f(x1)-f(x2)<0? f(x1)<f(x2), 所以 f(x)在(-1,+∞)上为增函数. (2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值. 解:(2)由(1)知 f(x)在[2,4]上单调递增, 所以 f(x)的最小值为 f(2)= 最大值 f(4)= 2? 4 ?1 9 = . 4 ?1 5 2? 2 ?1 5 = , 2 ?1 3 方法技巧 (1)由函数单调性结合函数图象找出最高(低)点的纵坐标即为函数 的最大(小)值. (2)分段函数的最大(小)值是函数整体上的最大(小)值. 即时训练2-1:已知函数f(x)= (1)判断函数在区间[3,5]上的单调性,并给出证明; 解:(1)函数 f(x)在[3,5]上是增函数,证明:设任意 x1,x

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