【最新资料】四川省成都七中高三上学期期中考试数学(文)试题(含答案)

高考数学最新资料 成都七中 20xx-20xx 学年上期

半期考试数学试卷(文科)

考试时间:120 分钟 总分:150 分 命题人:张世永 审题人:杜利超
一.选择题(每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求.)
? ? ? ? 1.已知全集 U=R,集合 A= x 3x ? 1 ,B= x log2 x ? 0 ,则 A∪B=( )

A.?x x ? 0?

B. ?x x ? 1?

C.?x 0 ? x ?1? D.?x x ? 0?

2.“函数 f (x) ? kx ? 2 在区间 ??1, 1?上存在零点”是“ k ? 3”的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.已知 tan(? ??) ? 1 ,则 sin? ? cos? =( ) 2 2sin? ? cos?

A. 1 4

B. 1 2

C. ? 1 4

D. ? 1 2

4.定义运算 a b ? ad ? bc ,则函数 f (x) ? sin 2x 1 的最小正周期为( )

cd

cos2x 3

A.4π

B.2π

C.π

D. ? 2

5.函数 f (x) ? ax2 ? (a ?1)x ? 3在区间 ??1, ? ??上是增函数,则实数 a 的取值范围是( )

A. ?? ? ?, ?

1? 3??

B. ?? ?, 0?

C. ?? 0, ?

1? 3 ??

D. ???0,

1? 3 ??

6.已知函数 f (x) ? x3 ? 3x ? m 只有两个零点,则实数 m 的取值范围是( )

A. ?? 2, 2?

B.??2, 2?

C. ?? 2, 2?

D. ?? ?, ? 2?∪?2, ? ??

7.Δ ABC 中,已知 a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 a ? cosB ,A、B、C 成等 b cos A
差数列,则角 C=( )

A. ? 3

B. ? 6

C. ? 或 ? 62

D. ? 或 ? 32

8.已知定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (?x) ? ? f (x) , f (x ? 4) ? ? f (x) ,且在区间 ?0, 2?

上是减函数.若方程 f (x) ? k 在区间 ?? 8, 8? 上有四个不同的根,则这四根之和为

() A.±4

B. ±8 C.±6

D.±2

9.若函数 f (x) ? x2 ? mx ? 1 的值域为 ?0,? ?? ,则 m 的取值范围是( )

A.?- 2,2? B. ?m ? 2 ? m ? 2? C.?m m ? ? 2,或m ? 2? D.?m ? 2 ? m ? 2?

10.已知函数

f

(x)

?

??kx ? k(1 ? a2 )

? ??

x

2

?

(a 2

?

4a)x

?

(3 ?

a)2

(x ? 0) ,其中 a ? R ,若对任意的非零 (x ? 0)

的实数 x1,存在唯一的非零的实数 x2 (x2 ? x1) ,使得 f (x2 ) ? f (x1) 成立,则 k 的最小值

为( )

A. ? 1 15

B.5

C.6

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中的横线上。)

D.8

11.在平面直角坐标系中,已知角? 的顶点在坐标原点,始边在 x 轴的非负半轴上,终

边经过点 P(3t, ?4t) (其中t ? 0) ,则 cos? ?

12.Δ ABC 中,B=120?,AC=3,AB= 3 ,则Δ ABC 的面积为



13.曲线 f (x) ? ln x ? 1 x2 在 x ? 1处的切线方程为



2

14.已知? ? ?0, ? ?, sin? ? cos? ? 1 ,则 tan? =



5

15.若 a,b 是任意非零的常数,对于函数 y ? f (x) 有以下 5 个命题:

① f (x) 是T ? 2a 的周期函数的充要条件是 f (x ? a) ? f (x ? a) ;

② f (x) 是T ? 2a 的周期函数的充要条件是 f (x ? a) ? ? f (x) ; ③若 f (x) 是奇函数且是T ? 2a 的周期函数,则 f (x) 的图形关于直线 x ? a 对称;
2

④若 f (x) 关于直线 x ? a 对称,且 f (x ? a) ? ? f (x) ,则 f (x) 是奇函数; 2
⑤若 f (x) 关于点 ?a, 0? 对称,关于直线 x ? b对称,则 f (x) 是T ? 4(a ? b) 的周期函

数.

其中正确命题的序号为



三.解答题(16-19 每小题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程 或演算步骤.)

16.已知函数 f (x) ? x2 ? 2 x ? a .

(1)当 a ? 0 时,画出函数 f (x) 的简图,并指出 f (x) 的单调递减区间;

(2)若函数 f (x) 有 4 个零点,求 a 的取值范围.

17.已知向量

a

?

???1 ?

2

cos2

?x 2

,

1???



b

?

? ??

?1,

cos(?

x

?

? 3

)

? ??



?

?

0

,点

A、B

为函数

f

(

x)

?

? a

?

? b

的相邻两个零点,AB=π

.

(1)求? 的值;

(2)若 f (x) ? 3 , x ? ?? 0, ? ?? ,求 sin x 的值;

3

? 2?

(3)求 g(x) ? f (x) ? 3 x 在区间?0, 2? ? 上的单调递减区间.
2

18.已知

m

为常数,函数

f

(x)

? m ? 2x 1? m?2x

为奇函数.

(1)求 m 的值;

(2)若 m ? 0 ,试判断 f (x) 的单调性(不需证明);

(3)若 m ? 0 ,存在 x ???2, 2?,使 f (x2 ? 2x ? k) ? f (2) ? 0 ,求实数 k 的最大值.

19.Δ ABC 中, 3sin B ? sin(2A ? B) , 4 tan A ? 1 ? tan2 A .

2

2

(1)求证: A ? B ? ? ; 4

(2)若 a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边, a ? 2 ,求 c 和Δ ABC 的面积.

20.已知函数 f (x) ? 1 x3 ? 1 (2a ?1)x2 ? (a2 ? a)x . 32
(1)若函数 h(x) ? f ?(x) 为奇函数,求 a 的值; x
(2)若函数 f (x) 在 x ? 1处取得极大值,求实数 a 的值;
(3)若 a ? 0 ,求 f (x) 在区间 ?0, 1?上的最大值.
21.设 f0 (x) ? x ? e x , f1(x) ? f0?(x), f2 (x) ? f1?(x), , fn (x) ? fn??1(x) (n ? N*) . (1)请写出 f n (x) 的表达式(不需证明); (2)求 f n (x) 的极小值;
(3)设 gn (x) ? ?x 2 ? 2(n ? 1)x ? 8n ? 8 , g n (x) 的最大值为 a, f n (x) 的最小值为 b, 求 a ? b 的最小值.

成都七中 20xx-20xx 学年上期

半期考试数学(文科)试卷(参考答案)

命题人:张世永 审题人:杜利超

一.选择题

ABCCD BDBAD 二、填空题

11. ? 3 5

12. 3 3 4

13. y ? ? 1 2

14. ? 4 3

15. ① ④ ⑤ y
三.解答题

16. 解 : ( 1 ) 当 a ? 0 时 ,

f (x ? x)2 ?

x ? ???(2x ? ??(x ?

2 ?1 2 ?1

) x? 1 , ,
) x? 1 ,

( (

0)

-2 -1

12

0 ) -1

x

由图可知, f (x) 的单调递减区间为 ?? ?, ?1?和 ?0, 1?…………….6 分

(2)由 f (x) ? 0,得 x2 ? 2 x ? a ,

∴曲线 y ? x2 ? 2 x 与直线 y ? a 有 4 个不同交点, ∴根据(1)中图像得 ?1 ? a ? 0 …………………12 分

17.解:(1) f (x) ? 2 cos2 ?x ?1? cos(?x ? ? ) ? cos?x ? 1 cos?x ? 3 sin ?x

2

3

2

2

? 3 cos?x ? 3 sin?x ?

2

2

3

sin ????x

?

2? 3

? ??

,……………….3



由 AB ? ? ? 1 T ,得T ? 2? ? 2? ,则? ? 1…………………..4 分

2

?

(2)由(1)得 f (x) ? 3 sin(x ? 2? ) ? 3 ,则 sin(x ? 2? ) ? 1 .

33

33

由 x ? ?? 0, ? ?? ,得 cos(x ? 2? ) ? ? 2 2 ,…………………6 分

? 2?

3

3

?sin x ? sin(x ? 2? ? 2? ) ? sin(x ? 2? ) cos 2? ? cos(x ? 2? )sin 2?

33

3

3

3

3

? 1 ? (? 1) ? (? 2 2 ) ? 3 ? 2 6 ?1 ………………8 分

32

32

6

(3) g(x) ?

3

sin

? ??

x

?

2? 3

? ??

?

3 x, 2

g?(x) ?

3

cos

? ??

x

?

2? 3

? ??

?

3 ?0, 2



cos

? ??

x

?

2? 3

? ??

?

1 2

,………..10



∴ 2k? ? ? ? x ? 2? ? 2k? ? 5? ( k ? Z ),

3

3

3

即 2k? ? ? ? x ? 2kx ? ? 3

( k ? Z ),

又 x??0, 2? ?,

∴ g(x) 在区间?0,

2? ? 上的单调递减区间为?0,

?

?



? ??

5? 3

,

2?

? ??

……12



18.解:(1)由

f (?x) ?

f

(x)

?

0

,得

m 1?

? m

2?x ? 2?x

? m ? 2x 1? m?2x

? 0,

? ?? ? ∴ m2 ?1 2x ? 2?x ? 0 ,即 m2 ? 1,

∴ m ? ?1……………4 分

(2)

1? 2x f (x) ?

?

2

?1在 ?? 2, 2?上单调递减…………7 分

1? 2x 1? 2x

(3)由 f (x2 ? 2x ? k) ? ? f (2) ? f (?2) ,得 x2 ? 2x ? k ? ?2,….9 分

即 k ? x2 ? 2x ? 2.

而 g(x) ? x2 ? 2x ? 2 ? ?x ?1?2 ? 1在 x ? ?2 时,最大值为 10.
∴ k ? 10,从而 kmax ? 10 …………..12 分

19.(1)证明:由 4 tan A ? 1 ? tan2 A ,得 tan A ?

2 tan A 2

?1.

2

2

1 ? tan2 A 2

2

由 3sin B ? sin(2A ? B) ,得 3sin??A ? B? ? A? ? sin??A ? B? ? A?,

∴ 3sin?A ? B?cos A ? 3cos?A ? B?sin A ? sin?A ? B?cos A ? cos?A ? B?sin A ,

∴ 2sin?A ? B?cos A ? 4cos?A ? B?sin A ,

∴ tan?A ? B? ? 2 tan A ? 1,

∴ A ? B ? ? ……………..6 分 4

(2)解:由(1)得 C ? 3? ,由 tan A ? 1 ,得 sin A ? 5 .

4

2

5

由正弦定理得 c ? a sin C ? 10 , sin A

由 tan ? A ? B? ? tan A ? tan B ? 1得 tan B ? 1 ,从而 sin B ? 10 .

1? tan A tan B

3

10

∴ S ?ABC

?

1 acsin 2

B

? 1……….12



20.解:(1)因为 f ?(x) ? x2 ? (2a ? 1)x ? (a2 ? a) ,

所以 h(x) ? x2 ? (2a ?1)x ? (a2 ? a) . x
由二次函数奇偶性的定义,因为 h(x) 为奇函数,

所以 f ?(x) ? x2 ? (2a ? 1)x ? (a2 ? a) 为偶函数,即 2a ?1 ? 0 , 所以 a ? ? 1 …………………..4 分
2
(2)因为 f ?(x) ? x2 ? (2a ?1)x ? (a2 ? a) ? (x ? a)?x ? (a ?1)? ,

令 f ?(x) ? 0 ,得 x1 ? a ?1, x2 ? a , 所以 f ?(x) , f (x) 随 x 的变化情况如下表:

x f ?(x) f (x) f

(??, a) + ↗

a 0 极大值

(a, a ?1) ― ↘

a ?1 0
极小值

(a ?1, ? ?) + ↗

所以 a ? 1…………………4 分 (3)因为 a ? ?1,所以 a ?1 ? 0 ,
当 a ? 1时, f ?(x) ? 0 对 x ? ?0, 1?成立,
所以当 x ? 1时, f (x) 取得最大值 f (1) ? a2 ? 1 ; 6
当 0 ? a ? 1时,在 x ? (0, a) , f ?(x) ? 0 , f (x) 单调递增,在 x ? (a, 1) 时, f ?(x) ? 0 ,

f (x) 单调递减, 所以当 x ? a 时, f (x) 取得最大值 f (a) ? 1 a3 ? 1 a2 ; 32
当 a ? 0 时,在 x ? (0, 1) , f ?(x) ? 0 , f (x) 单调递减,

所以当 x ? 0时, f (x) 取得最大值 f (0) ? 0 ; 综上所述, 当 a ? 1时, f (x) 在 x ? 1取得最大值 f (1) ? a2 ? 1 ;
6 当 0 ? a ?1时, f (x) 取得最大值 f (a) ? 1 a3 ? 1 a2 ………….13 分
32 21.解:(1)根据 f1(x) ? (x ?1) ? ex , f2 (x) ? (x ? 2) ? ex , f3(x) ? (x ? 3) ? ex ,
猜测出 f n (x) 的表达式 fn (x) ? (x ? n) ? e x (n ? N*) .,…………..4 分 (2)要求 yn ,即求 f n (x) 的极小值点 Pn (xn , yn ) ,
先求出 f n?(x) ? (x ? n ? 1) ? e x , 因为 x ? ?(n ?1) 时, fn?(x) ? 0 ;当 x ? ?(n ?1) 时, fn?(x) ? 0 . 所以,当 x ? ?(n ? 1) 时, f n (x) 取得极小值 fn (?(n ?1)) ? ?e?(n?1) , 即 yn ? ?e?(n?1) (n ? N*) ………..8 分 (3)配方法可以求出 a ? gn (?(n ? 1)) ? (n ? 3)2 ,

又因为 b ? f n (?(n ? 1)) ? ?e?(n?1) ,所以 a ? b ? (n ? 3)2 ? e?(n?1) , 问题转化为求 cn ? (n ? 3)2 ? e?(n?1) 的最小值 解法 1(构造函数): 令 h(x) ? (x ? 3)2 ? e?(x?1) (x ? 0) ,

则 h?(x) ? 2(x ? 3) ? e?(x?1) ,又 h (x) 在区间?0, ??? 上单调递增,

所以 h?(x) ? h?(0) ? ?6 ? e?1.

又因为 h?(3) ? ?e?4 ? 0 , h?(4) ? 2 ? e?5 ? 0 ,

所以存在 x0 ? (3, 4) 使得 h?(x0 ) ? 0 .
又有 h?(x) 在区间?0, ??? 上单调递增,所以 0 ? x ? x0 时, h?(x0 ) ? 0 ;
当 x ? x0 时, h?(x0 ) ? 0 ,
即 h(x) 在区间 ?x0 , ? ?? 上单调递增,在区间 ?0, x0 ?上单调递减,
所以 (h(x)) min ? h(x0 ) . 又由于 h(3) ? e?4 , h(4) ? 1 ? e?5 , h(4) ? h(3) ,

所以当 n ? 3时, a ? b 取得最小值 e?4` .

解法 2(利用数列的单调性):

因为 cn?1

? cn

?

2n ? 5 ?

1 en?2

?

1 e n?1





n

?

3

时,

2n

?

5

?

1,

e

1
n?

2

?

0



1 e n?1

? 1,

所以 2n ? 5 ?

1 en?2

?

1 e n?1

? 0 ,所以 cn?1

?

cn .

又因为 c1

?

4?

1 e2

, c2

?1?

1 e3

, c3

?

1 e4

, c1

?

c2

?

c3 ,

所以当 n ? 3时, a ? b 取得最小值 e?4 .……………..14 分


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