【100所名校】2019届西藏林芝市第一中学高三上学期第三次月考数学(理)试题(解析版)















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2019 届西藏林芝市第一中学

高三上学期第三次月考数学(理)试题
数学
注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘 贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸 和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题
? ? 1.已知集合 A ? ??2, ?1,0,1, 2,3?,集合 B ? x | y ? 4 ? x2 ,则 A B 等于

A. ??2, 2?

B. ??1, 0,1?

C.??2, ?1,0,1,2? D.?0,1, 2,3?

2.若复数 z 满足 z(2 ? i) ?11 ? 7i(i 为虚数单位),则 z 为

(A)3+5i (B)3-5i

(C)-3+5i

(D)-3-5i

3.设

,则“

”是“

为偶函数”的

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

4.已知 sin2α>0,且 cosα<0,则角 α 的终边位于

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

5.曲线

在点(1,5)处的切线方程为

A.

B.

C.

D.

6.若函数

,则

等于

A. B.

C.

D.

7.函数 f(x)=x3+4x+5 的图象在 x=1 处的切线在 x 轴上的截距为 A.10 B.5 C.-1 D.

8.将函数

的图象上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍,纵坐标不变,再把所得函

数图象向右平行移动 个单位长度,得到的函数图象的一个对称中心是

A.

B.

C.

D.

9.已知 f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图像如图所示,则 f(x)的表达式为

A.f(x)=2sin( 3 x+ ? ) 24
B.f(x)=2sin( 3 x+ 5? ) 24
C.f(x)=2sin( 4 x+ 2? ) 39
D.f(x)=2sin( 4 x+ 25? ) 3 18
10.设三次函数 的导函数为

,函数

的图象的一部分如图所示,则

A. 极大值为 C. 极大值为

,极小值为 ,极小值为

B. 极大值为

,极小值为

D. 极大值为 ,极小值为

11.若 a>2,则函数 f(x)= x3-ax2+1 在区间(0,2)上恰好有

A.0 个零点 B.1 个零点 C.2 个零点 D.3 个零点 12.已知函数 f(x)=-x3+ax2+bx(a,b∈R)的图像如图所示,它与 x 轴相切于原点,且 x 轴与

函数图像所围成区域(图中阴影部分)的面积为 ,则 a 的值为

A.-1 B.0

C.1 D.-2

二、填空题

13.设 sin2? ? ?sin? ,

?

?

? ??

? 2

,?

? ??

,则

tan?

的值是________.

14.设函数 f(x)=|x+1|+|x-a|的图象关于直线 x=1 对称,则实数 a 的值为__ __.

15.函数 是周期为 2 的奇函数,当

,则

______

16.下面有五个命题: ①函数 y=sin4x-cos4x 的最小正周期是 ;

②终边在 y 轴上的角的集合是{α|α=



③在同一坐标系中,函数 y=sinx 的图象和函数 y=x 的图象有三个公共点;

④把函数

的图象向右平移 得到

的图象;

⑤函数

在 , 上是减函数。

其中真命题的序号是__________(写出所有真命题的编号)

三、解答题 17.计算或化简

(1)化简:

(2)计算:tan θ+ =4,求 sin 2θ
18.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 cosA= 2 ,sinB= 5 cosC. 3
(1)求 tanC 的值;

(2)若 a= 2 ,求△ABC 的面积.
19.已知函数 点(0,0),(2,0).
(1)求 的值; (2)求 及函数 的表达式.

在点 处取得极小值-5,其导函数

的图象经过

20.已知函数



(其中



(I)求函数 的值域;

(II)若函数 区间.

的图象与直线

的两个相邻交点间的距离为 ,求函数
2

的单调增

21.已知函数 f (x) ? ex?m ? ln(2x) .

(1)设 x ?1 是函数 f (x) 的极值点,求 m 的值并讨论 f (x) 的单调性;

(2)当 m ? 2 时,证明: f (x) > ?ln 2.

22.在直角坐标系 xoy 中,直线 l 经过点 P ??1, 0? ,其倾斜角为? ,以原点 O 为极点,以 x 轴
非负半轴为极轴,与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,建立极坐标系,设曲线 C 的极坐标方程为 ? 2 ? 6? cos? ? 5 ? 0 .
(1)若直线 l 与曲线 C 有公共点,求 a 的取值范围:
(2)设 M ? x, y ? 为曲线 C 上任意一点,求 x ? y 的取值范围.

2019 届西藏林芝市第一中学

高三上学期第三次月考数学(理)试题
数学 答 案

参考答案 1.C 【解析】

试题分析: B ? ??2, 2?,所以 A B ? ??2, ?1,0,1, 2? .

考点:集合交集.

【易错点晴】集合的三要素是:确定性、互异性和无序性.研究一个集合,我们首先要看清楚它

的研究对象,是实数还是点的坐标还是其它的一些元素,这是很关键的一步.第二步常常是解一元二

次不等式,我们首先用十字相乘法分解因式,求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中,要注意

分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系,集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意

区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.

2.A 【解析】 z(2 ? i) ?11? 7i,?z ? 11? 7i ? 3 ? 5i. 故选 A
2?i 3.A

【解析】

时,

是偶函数,成立;但



偶函数时,

,推不出

,故“

”是“

为偶函数”的充分

而不必要条件,故选 A.

4.C

【解析】

【分析】

根据二倍角公式可得到

,又因为 cosα<0,故得到

进而得到角所在象限.

【详解】

已知 sin2α>0,

,又因为 cosα<0,故得到

,进而得到角是第三象限角.

故答案为:C.

【点睛】

本题考查象限角的定义,熟练掌握三角函数在各个象限中的符号是解决问题的关键,属于基础

题.

5.D 【解析】 【分析】 先求出导函数,然后利用导数的几何意义求出切线斜率 k=y′|x=1,利用点斜式即可写出切线方程. 【详解】 ∵y=5x+lnx, ∴y′=5+ ,则切线斜率 k=y′|x=1=6, ∴在点(1,5)处的切线方程为:y﹣5=6(x﹣1), 即 y=6x﹣1.即 6x﹣y﹣1=0. 故选:D. 【点睛】 这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程;步骤一般为:一,对函数求导,代入 已知点得到在这一点处的斜率;二,求出这个点的横纵坐标;三,利用点斜式写出直线方程. 6.C 【解析】 【分析】

推导出 f(log23)=f(log23+1)=f(log23+2)=f(log23+3= 【详解】

,由此能求出结果.

∵函数

,∴f(log23)=f(log23+1)=f(log23+2)=f(log23+3)

=

==

故选:C. 【点睛】

本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用.(1)此类 求值问题,一般要求的式子较多,不便逐个求解.求解时,注意观察所要求的式子,发掘它们之间的 规律,进而去化简,从而得到问题的解决方法;(2)已知函数解析式求函数值,可分别将自变量的值 代入解析式即可求出相应的函数值.当自变量的值为包含字母的代数式时,将代数式作为一个整体代 入求解;(3)已知函数解析式,求对应函数值的自变量的值(或解析式中的参数值),只需将函数值代 入解析式,建立关于自变量(或参数)的方程即可求解,注意函数定义域对自变量取值的限制.
7.D 【解析】

试题分析:因为 ,令 得
考点:导数几何意义 8.A 【解析】 试题分析:函数

,所以 ,选 D.

,切线方程为:

的图象上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍得到图象的解析式为

,再向右平移 个单位得到图象的解析式为

=sin2x,

当 x= 时,y=sin =0,所以 是函数 y=sin2x 的一个对称中心.故选 A.

考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;正弦函数的对称性.

9.B

【解析】

试题分析:由图中的点( - ? ,0 )及点( 5? ,2 )知, 3T ? 5? (- - ? ),解得, T ? 4? .又

6

6

46 6

3

因 2? ? T ,所以? ? 3 .从而排除答案 C、D.将点( 5? ,2 )代入答案 A,等式不成立,故选 B.

?

2

6

考点:由三角函数的部分图像求解析式.

10.D

【解析】

解:观察图象知,x<-3 时,y=x?f′(x)>0,

∴f′(x)<0.

-3<x<0 时,y=x?f′(x)<0,

∴f′(x)>0.

由此知极小值为 f(-3).

0<x<3 时,y=x?f′(x)>0,

∴f′(x)>0.

x>3 时,y=x?f′(x)<0,

∴f′(x)<0.

由此知极大值为 f(3).

故选 D.

11.B

【解析】

【分析】 先根据导数判断出函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减,再由 f(0)f(2)<0 可知有唯一零点. 【详解】 由已知得:f′(x)=x(x﹣2a),由于 a>2, 故当 0<x<2 时 f′(x)<0, 即函数为区间(0,2)上的单调递减函数, 又当 a>2 时

f(0)f(2)= ﹣4a<0,

故据二分法及单调性可知函数在区间(0,2)上有且只有一个零点.

故选:B.

【点睛】

本题主要考查函数零点的判断定理.解答本题要结合函数的单调性判断.

12.A

【解析】

函数



的图象与 轴在原点处相切,



,得 或

轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为



,解得

故答案选

或 (舍去)

13. ? 3

【解析】试题分析: sin2? ? ?sin? ?2cos? ? ?1?cos? ? ? 1 ?? ? 2 ?

2

3

?tan2? ? tan 4 ? ? tan ? ? 3

3

3

考点:三角函数公式

14.3

【解析】

试题分析:因为两个绝对值相加的函数的图象形状为,

即关于两个转折点对应的横坐标的一半所在直线对称,又因为函数 f(x)=|x+1|+|x-a|=的图象关
于直线 x=1 对称,所以有 a ? ??1? ? 1?a ? 3
2
考点:奇偶函数图象的对称性 15.2 【解析】 【分析】 根据题意,由函数的周期为 2 可得 f( )=(﹣ +2×252)=f(﹣ ),进而结合函数的奇偶性

可得 f(﹣ )=﹣f( ),综合可得 f( )的值,将其代入 f( )+log25 中计算可得答案. 【详解】 根据题意,函数 f(x)的周期为 2,则 f( )=(﹣ +2×252)=f(﹣ ),

又由函数 f(x)为奇函数,则 f(﹣ )=﹣f( ),

故 f( )=f(﹣ )=﹣f( )=

=2﹣log25,

则 f( )+log25=2; 故答案为:2. 【点睛】 本题考查函数的奇偶性以及周期性的运用,关键是综合运用函数的周期性与奇偶性,分析求出 f( )的值.函数奇偶性的判断,先要看定义域是否关于原点对称,接着再按照定义域验证 和 - 的关系, 16.① ④. 【解析】 【分析】 根据三角函数的相关性质对五个命题分别分析、判断后可得其中的真命题 【详解】 对于①,由于

,所以函数的最小正周期为 .因此命题①正确

对于②,终边在 轴上的角的集合是



,因此命题②不正确

对于③,在同一坐标系中,由三角函数的性质可得,函数 有在原点处有唯一的公共点,因此命题③不正确

的图象和函数

对于④,把函数

的图象向右平移 ,所得图象对应的解析式为

的图象只

,因此命题④正确

对于⑤,函数

,函数在区间 , 上单调递增,因此命

题⑤不正确 综上可得所有正确命题的序号为① ④ 【点睛】 本题主要考查了三角函数的的图象与性质及其变换,熟练掌握公式是解题的关键,本题较为基
础。

17.(1)0; (2) .

【解析】 【分析】 (1)根据诱导公式化简即可得到结果;(2)将原式子通分得到 4tan θ=1+tan2 θ,再由二倍角公

式得到 2sin θcos θ=

,代入可得到结果.

【详解】

(1)原式=

(2)∵tan θ+

,∴4tan θ=1+tan2 θ,

∴sin 2θ=2sin θcos θ=

.

【点睛】 三角函数求值与化简必会的三种方法

(1)弦切互化法:主要利用公式 tan α= ;形如

,asin2x+bsin xcos x+ccos2x 等类型可进行

弦化切. (2)“1”的灵活代换法:1=sin2θ+cos2θ=(sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ=tan 等.

(3)和积转换法:利用(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ,(sinθ+cosθ)2+(sinθ-cosθ)2=2 的关系进行变形、转化.

18.(1) 5 (2) 5 2
【解析】解:(1)∵0<A< ,cosA= 2 , 3
∴sinA= 1? cos2 A = 5 . 3

又 5 cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC= 5 cosC+ 2 sinC,

3

3

∴tanC= 5 .

(2)由 tanC= 5 ,得 sinC= 5 ,cosC= 1 .

6

6

于是 sinB= 5 cosC= 5 . 6
由 a= 2 及正弦定理 a = sinC ,得 c= 3 , sinA

设△ABC 的面积为 S,则 S= 1 acsinB= 5 .

2

2

19.(1)

; (2)



.

【解析】

【分析】

(1)对函数求导得到导函数,代入已知点得到参数值;(2)根据到函数的正负可得到函数的极小

值点为 x=2,由 f(2)=-5,得 c=-1.

【详解】

(1)由题设可得 f′(x)=3x2+2ax+b.

∵f′(x)的图象过点(0,0),(2,0),∴

解得 a=-3,b=0. (2)由 f′(x)=3x2-6x>0,得 x>2 或 x<0, ∴在(-∞,0)上 f′(x)>0,在(0,2)上 f′(x)<0,在(2,+∞)上 f′(x)>0. ∴f(x)在(-∞,0),(2,+∞)上递增,在(0,2)上递减,因此 f(x)在 x=2 处取得极小值. 所以 x0=2.由 f(2)=-5,得 c=-1,∴f(x)=x3-3x2-1. 【点睛】

这个题目考查了导数在研究函数的极值中的应用,极值点即导函数的零点,但是必须是变号零 点,即在零点两侧正负相反;极值即将极值点代入原函数取得的函数值,注意分清楚这些概念,再 者对函数求导后如果出现二次,则极值点就是导函数的两个根,可以结合韦达定理应用解答。

20.(1) , (2)



【解析】

解:

由-1≤ 可知函数

≤1,得-3≤ 的值域为[-3,1].……7 分

≤1。

……5 分

(2)解:由题设条件及三角函数图象和性质可知, 即得 w=2。 8 分

的周其为 w,又由 w>0,得 ,

于是有

,再由

,解得

。 11 分

所以

的单调增区间为[

] 12 分

21.(1)函数 f (x) 在 (0,1) 上单调递减,在 (1, ??) 上单调递增.

(2)见解析. 【解析】
试题分析:(1)根据 x ?1 是 f (x) 的极值点得 f ?(1) ? 0 ,可得导函数值为 0,即 e1?m ?1 ? 0 , 求得 m ? 1.进一步讨论导函数为正、负的区间,即得解;
(2)可以有两种思路,一种是注意到当 m ? 2 , x ?(0, ??) 时, ex?m ? ex?2 ,

转化成证明当 m ? 2 时, f (x) > ?ln 2 .

研究函数当 x ? x0 时, f (x) 取得最小值且 f ?(x0 ) ? 0 .

证得

f (x) ?

f (x0 ) ,f (x0 ) ? ex0 ?2

? ln(2x) =

1 x0

? ln 2 ? 2 ? x0 = (

1? x0

x0 )2 ?ln 2 ? ?ln 2.

得证.

第二种思路是:当 m ? 2 , x ?(0, ??) 时, ex?m ? ex?2 ,根据 ex ? x ?1,转化成

ex?m ? ex?2 ? x ?1.

构造函数 h(x) ? x ?1? ln(2x)(x ? 0) (x ? 0) ,研究得到函数 h(x) 在 x ? 1时取唯一的极小值

即最小值为 h(1) ? ? ln 2.达到证明目的.

试题解析:(1) f ?(x) ? ex?m ? 1 ,由 x ?1是 f (x) 的极值点得 f ?(1) ? 0 , x

即 e1?m ?1 ? 0 ,所以 m ? 1.

2分

于是 f (x) ? ex?1 ? ln(2x),(x ? 0), f ?(x) ? ex?1 ? 1 , x



f ??(x)

? ex?1 ?

1 x2

?

0知

f ?(x) 在 x ?(0, ??) 上单调递增,且 f ?(1) ? 0 ,

所以 x ?1是 f ?(x) ? 0 的唯一零点.

4分

因此,当 x ? (0,1)时, f ?(x) ? 0 ;当 x ?(1, ??) 时, f ?(x) ? 0 ,所以,函数 f (x) 在 (0,1) 上

单调递减,在 (1, ??) 上单调递增.

6分

(2)解法一:当 m ? 2 , x ?(0, ??) 时, ex?m ? ex?2 ,

故只需证明当 m ? 2 时, f (x) > ?ln 2 .

8分

当 m ? 2 时,函数 f ?(x) ? ex?2 ? 1 在 (0, ??) 上单调递增, x
又 f ?(1) ? 0, f ?(2) ? 0 ,

故 f ?(x) ? 0 在 (0, ??) 上有唯一实根 x0 ,且 x0 ? (1, 2) .

10 分

当 x ? (0, x0 ) 时, f ?(x) ? 0 ;当 x ? (x0 , ??) 时, f ?(x) ? 0 ,

从而当 x ? x0 时, f (x) 取得最小值且 f ?(x0 ) ? 0 .



f ?(x0 )

? 0 得 ex0 ?2

?

1 x0

, ln x0

? 2 ? x0 .

12 分

故 f (x) ? f (x0 )

f

(x0 )

?

e x0 ?2

?

ln(2 x)

=

1 x0

? ln 2 ? 2 ? x0 = (

1? x0

x0 )2 ?ln 2 ? ?ln 2.

综上,当 m ? 2 时, f (x) ? ?ln 2.

14 分

解法二:当 m ? 2 , x ?(0, ??) 时, ex?m ? ex?2 ,又 ex ? x ?1,所以

ex?m ? ex?2 ? x ?1.

8分

取函数 h(x) ? x ?1? ln(2x)(x ? 0) (x ? 0) ,h'(x) ? 1? 1 ,当 0 ? x ? 1时,h'(x) ? 0 ,h(x) x

单调递减;当 x ? 1时, h'(x) ? 0 , h(x) 单调递增,得函数 h(x) 在 x ? 1时取唯一的极小值即最小

值为 h(1) ? ? ln 2. 12 分

所以 f (x) ? ex?m ? ln(2x) ? ex?2 ? ln(2x) ? x ?1? ln(2x) ? ? ln 2 ,而上式三个不等号不能同时

成立,故 f (x) > ?ln 2 .

14 分

考点:应用导数研究函数的单调性、最值、证明不等式,转化与划归思想.

22.(1)

???0,?6

? ??

?

? ??

5? 6

,?

? ??

;(2)

??3

?

2

2,3? 2

2 ?? .

【解析】

试题分析:(1)将极坐标方程和参数方程转化为普通方程,再利用直线与圆的位置关系进行求

解;(2)利用三角换元法及三角恒等变换进行求解.

试题解析:(I)将曲线 C 的极坐标方程 ? 2 ? 6? cos? ? 5 ? 0 化为直角坐标方程为

x2

?

y2

?

6x

?

5

?

0

直线

l

的参数方程为

?x ? ?

? ?1? t cos? y ? t sin?

?t为参数? 将

?x ? ?

? ?1? t cos? y ? t sin?

代入

x2 ? y2 ? 6x ? 5 ? 0 整理得 t2 ? 8t cos? ?12 ? 0 直线 l 与曲线 C 有公共点,

?? ? 64 cos2 ? ? 48 ? 0 ?cos? ? 3 或 cos? ? ? 3 ?[0,? )?? 的取值范围是

2

2

???0,?6

? ??

?

? ??

5? 6

,?

? ??

(II)曲线 C 的方程 x2 ? y2 ? 6x ? 5 ? 0 可化为 ? x ? 3?2 ? y2 ? 4 其参数方程为

?x ? ?

? y

3 ?

? 2 cos? 2 sin ?

??为参数?

M ? x, y? 为曲线上任意一点,

?x

?

y

?

3?

2 cos?

?

2 sin ?

?

3?

2 sin

????

?

? 4

???? x

?

y

的取值范围是 ??3 ?

2

2,3? 2

2 ?? .

考点:1.极坐标方程、参数方程与普通方程的互化.


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