《集合的含义与表示》课件3_图文

你能举出一些集合的例子吗?
1.(实例)
(1)不等式x-7<3的解的集合 因为x-7<3 ? x<10

所有小于10的实数组成的集合
称为这个不等式的解集。

(2) 到一个定点的距离等于定长的点的集合

(即圆)。

(3) 如:自然数的集合 0,1,2,3,……
(4) 如:高一(7)全体同学组成的集合。

(5)到一条线段的两个端点距离 相等的点的集合(即这条线段的垂 直平分线)

集合的含义是什么呢?我们再看一些例子
(1)1~20以内的所有质数 (2)我国从1991~2003年的13年内所发射的所 有人造卫星;
在(1)中,我们把1~20以内的每一个质数作为 元素,这些元素的全体就组成一个集合;同样地, 例(2)中,把我国从1991~2003年内发射的每

一颗人造卫星作为元素,这些元素的全体也组 成一个集合。

(3)金星汽车厂2003年生产的所有汽车;
(4)2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国 家; (5)所有正方形; (6)到直线l的距离等于定长d的所有的点;

(7)方程x? +3x-2=0的所有实数根:
(8)新华中学2004年9月入学的高一学生的全体。 上面的(3)到(8)中也能组成集合吗?它们的 元素分别是什么? 归纳总结这些例子,你能说出它们的共同特征吗?

2.定义: (1)元素: 一般地,我们把究研的对象 称为元素,(常用小写字母a,b,c …) (2)集合:把一些元素组成的总体叫做集 合(简称集).常用大写字母A、B、C、…表 示。 你能说出合中元素的特征吗?

3、集合中元素的特性: (1)确定性:给定的集合,它的元素是确定的, 也就是说,一个元素或者在这个集合里,或者不 在,不能模棱两可. (2)互异性:集合中的元素是互不相同的,也 就是说集合中的元素没有重复出现. (3)无序性:集合中的元素没有一定的顺序 (通常用正常的顺序写出).
相等的集合:只要构成两个集合的元素是一样的, 我们就称这两个集合相等。

例题:判断下列元素的全体是否能组成集合, 并说明理由 (1)所有很大的实数. (2)好心的人. (3)1,2,2,3,4,5. (4)海南第二中学高一年级所有女生. (5)大于3小于11的偶数; (6)我国的小河流.

元素与集合之间的关系如何描述?
我们通常用大写拉丁字母A,B,C, ……

表示集合,用小写字母a,b,c, ……表示 集合中的元素。

4、元素对于集合的隶属关系:
(1)属于:如果a是集合A的元素, 就说a属于A,记作a∈A (2)不属于:如果a不是集合A的元素, 就说a不属于A,记作 a ? A

例如:1
2

?{1,-1} ? {1,-1};
?

我们用A表示“1~20以内的所有质数”组成的集 合,则有3 ? A,4 A,等等。

5、常用数集及记法: (1)非负整数集(自然数集): 全体非负整数组成的集合,记作N。 (2)正整数集:非负整数集合内排除0的集 合.记作N*或N+ (3)整数集:全体整数的集合。记作Z . (4)有理数集:全体有理数的集合。记作 Q. (5)实数集:全体实数的集合。记作R.

6. 集合的表示方法:
自然语言法、列举法、描述法以及Venn图(韦恩图) (1)自然语言法:用文字叙述的形式描述集合的方法。 (2)列举法:把集合中的元素一一列举出来。并用花括 号“{ }”括起来表示集合的方法叫列举法 “地球上的四大洋”组成的集合表示为{太平洋、大西 洋、印度洋、北冰洋} 一般用大写拉丁字母表示集合: A={1,2,3,4,5} 把“方程(x-1)(x+2)=0的所有实数根”组成的集合表示 为C={1,-2}

例1 用列举法表示下列集合
(1)小于10的所有自然数组成的集合;
(2)方程x? =x的所有实数根组成的集合;

(3)由1~20以内的所有质数组成的集合。 解:(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,那么 A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} (2)设方程x2=x的所有实数解组成的集合为B,那么 B={0,1} (3)设由1~20以内的所有质数组成的集合为C,那么 C={2,3,5,7,11,13,17,19}

使用列举法时,应注意以下几点:
(1)元素间用分隔号“,” (2)元素不重复 (3)元素不顺序

思考:

(1)你能用自然语言描述集合{2,4,6,8}吗?
大于等于2且小于等于8的偶数组成的集合 (2)你能用列举法表示不等式x-7<3的解的集合吗?

我们不能用列举法表示不等式x-7<3的解的集合,因 为这个集合中的元素是举不完的,但是,我们可以用 这个集合中元素所具有的共同特征来描述。

例如,不等式x-7<3的解的集合中所含元素共同特征是: x∈R, 且x-7<3,即x<10,所以我们可以把这个集合表示为: D= {x?R| x<10}, 又如,任何一个奇数都可以表示为x=2k+1(k∈Z) 的形式,所以我们可以把所有奇数的集使表示为: E= {x?Z| x=2k+1,k ?Z},

(2)描述法:用集合所含元素的共同特征表示集 合的方法叫做描述法。 具体方法是:在花括号内写上表示这个集合元素 的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖 线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 描述法分为下面三种: ①语言描述法: 例{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法:例 不等式x-3>2的解集是
{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2}或{x:x-3>2}

一般形式:{ ③图形语言法

x | p( x) }

例2:试分别用列举法和描述法表示下列集合:

(1)方程x? -2=0的所有实数组成的集合。
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合。 解:(1)设方程x? -2=0的实数根为x,则x满足条件 x? -2=0,因此,用描述法表示为A= {x∈ R| x2-2=0}

方程x? -2=0的实数根为 2 和 ? 2 因此列举法表示 为A= { 2 , ? 2} (2)设大于10小于20的整数为x,它满足条件x∈ Z, 且10<x<20,因此,用描述法表示为B= {x∈Z| 10<x<20}
用列举法表示为B={11,12,13,14,15,16,17,

18,19}

注意:
如果从上下文关系来看, x∈R, x∈Z是明确的,

那么x∈R, x∈Z可以省略,只写元素x,例如集 合D= {x?R| x<10}也可表示为D= {x| x<10},
集合E= {x?Z| x=2k+1,k ?Z}也可表示为 E= {x| x=2k+1,k ?Z},

(3)Venn图(韦恩图)

1,-1

1,3,5, 7,9

(1)结合上述实例,试比较用自然语言、列举 法和描述法表示集合时,各自的特点和适用 的对象。

1.自然语言表示集合时,较通俗易懂,但书写较麻烦。适用于 集合中元素有无数多个,且共同特征不易用于数学符号叙述的集合。 2.列举法表示集合时,易明确知道集合中的元素,但当集合中元 素过多,且不具有一定规律时无法用列举法,只有当集合中元素个 数有限且较少或集合中元素个数虽无数,但元素共同特征易于数学 符号描述时可用列举法。

3.描述法表示集合时,可很明确知道集合中元素共同特征,且形 式比较简单,此方法使用于集合中元素个数无限,且元素共同特征 易用数学符号描述。

(2)自己举出几个集合的例子,并分别用自然语言、 列举法,和描述法表示出来。

7.集合的分类:

(1) 有限集
(2) 无限集 (3) 空集

含有有限个元素的集合
含有无限个元素的集合 不含任何元素的集合 ?

例题:请学生各举有限集、无限集、

空集的一个实例。

练习 1、用符号

或? 填空: ?

(1)设A为所有亚洲国家组成的集合,则 中国

?A,美国? A,印度 ?A,英国 ? A; (2)若A= {x| x? =x}则-1 ?A (3)若B= {x| x? +x-6=0}则3? B (4)若C= {x?N| 1≤x≤10},则8 ? C, 9.1 ? C.
2.试选择适当的方法表示下列集合 (1)由方程x? -9=0的实数根组成的集合。 {3,-3} (2)由小于8的所有质数组成的集合。 {2,3,5,7} (3)一次函数y=x+3与y=-3x+6的图象交点组成的集合 15 3 {( , 4 ) } (4)不等式4x-5<3的解集 4 {x| x<2}

练习 1.用列举法表示下列集合: (1) {x| x是15的约数,x∈ N} (2) {(x,y)| x∈ {1,2}, y∈ {1,2}} (3){x| x=(-1)n, n∈ N} (4){(x,y)| 3x+2y=16 , x∈ N ,y∈ N} (1) {1,3,5,15} (2) {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)} (3){-1,1} (4){(0,8),(2,5),(4,2)}

2. 用描述法表示下列集合: (1){1,4,7,10,13} (2) 所有偶数组成的集合

{x| x=3k +1,k=0,1,2,3,4}
{x| x=2k,k ?Z}

9.小结: 本节课学习了以下内容: 1).集合的有关概念: (集合、元素、属于、不属于、 有限集、无限集、空集) 2).集合元素的性质: 确定性,互异性,无序性 3).常用数集的定义及记法 4). 集合的表示法

10.课后作业: 习题1.1 1、2、3、4、5 11.兴趣题 1)已知集合A={x∈ R| ax2+2x+1=0, a∈ R} 中只有一个元素(A也叫单元素集合), 求a的值,并求出这个元素。 2)当a, b满足什么条件时,集合 A={x| ax+b=0}是有限集、无限集、空集?

3、用列举法表示下列集合

①{x∈N|x是15的约数}

{1,3,5,15}

②{(x,y)|x∈{1,2},y∈{1,2}}

{(1,1),(1,2),(2,1)(2,2)} 注:防止把{(1,2)}写成{1,2}或{x=1,y=2} ③{(x,y)|x+y=2且x-2y=4}
④{x|x=(-1)n,n ∈N}

{(8/3,-2/3)}

{-1,1}

⑤{(x,y)|3x+2y=16,x ∈ N,y ∈ N} {(0,8),(2,5),(4,2)} ⑥{(x,y)|x,y分别是4的正整数约数}

{(1,1),(1,2),(1,4)(2,1),(2, 2),(2,4),(4,1),(4,2),(4,4)}

例如:“亚洲国家的首都”构成一个集 合,北京、东京、新德里 ? ? 在这些集合中,纽约、巴黎、伦敦 ? ?
不在这个集合中。
“身材高大的人”不能构成集合,因为组成 它们的元素是不确定的。


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