初高中衔接


好学者智,善思者康

第一讲 数与式的运算
在初中,我们已学习了实数,知道字母可以表示数用代数式也可以表示数,我们把实数 和代数式简称为数与式.代数式中有整式(多项式、单项式) 、分式、根式.它们具有实数 的属性,可以进行运算.在多项式的乘法运算中,我们学习了乘法公式(平方差公式与完全 平方公式) ,并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便.由于在高中学习中还会遇到更复 杂的多项式乘法运算,因此本节中将拓展乘法公式的内容,补充三个数和的完全平方公式、 立方和、立方差公式.在根式的运算中,我们已学过被开方数是实数的根式运算,而在高中 数学学习中,经常会接触到被开方数是字母的情形,但在初中却没有涉及,因此本节中要补 充.基于同样的原因,还要补充“繁分式”等有关内容.

一、乘法公式
【公式 1】 (a ? b ? c) 2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab ? 2bc ? 2ca 证明:? (a ? b ? c) 2 ? [(a ? b) ? c]2 ? (a ? b) 2 ? 2(a ? b)c ? c 2

? a 2 ? 2ab ? b 2 ? 2ac ? 2bc ? c 2 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab ? 2bc ? 2ca

? 等式成立
1 2x ? )2 3 1 2 2 解:原式= [ x ? (? 2 x) ? ] 3
【例 1】计算: ( x ?
2

1 1 1 ? ( x 2 ) 2 ? (? 2 x) 2 ? ( ) 2 ? 2 x 2 (? 2 ) x ? 2 x 2 ? ? 2 ? ? (? 2 x) 3 3 3 8 2 2 1 ? x 4 ? 2 2x3 ? x 2 ? x? 3 3 9
说明:多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列. 【公式 2】 (a ? b)(a ? ab ? b ) ? a ? b (立方和公式)
2 2 3 3

证明: (a ? b)(a ? ab ? b ) ? a ? a b ? ab ? a b ? ab ? b ? a ? b
2 2 3 2 2 2 2 3 3

3

说明:请同学用文字语言表述公式 2. 【例 2】计算: (a ? b)(a ? ab ? b )
2 2

解:原式= [a ? (?b)][a ? a(?b) ? (?b) ] ? a ? (?b) ? a ? b
2 2 3 3 3

3

我们得到: 【公式 3】 (a ? b)(a ? ab ? b ) ? a ? b (立方差公式)
2 2 3 3

请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系,公式 1、2、3 均称为乘法公式. 【例 3】计算:

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(1) (4 ? m)(16 ? 4m ? m 2 ) (2) ( m ?

1 5

1 1 1 1 n)( m 2 ? mn ? n 2 ) 2 25 10 4

(3) (a ? 2)(a ? 2)(a 4 ? 4a 2 ? 16) (4) ( x 2 ? 2xy ? y 2 )(x 2 ? xy ? y 2 ) 2 解: (1)原式= 4 ? m ? 64 ? m
3 3 3

(2)原式= ( m) ? ( n) ?
3 3

1 5

1 2

1 3 1 3 m ? n 125 8

(3)原式= (a 2 ? 4)(a 4 ? 4a 2 ? 4 2 ) ? (a 2 ) 3 ? 43 ? a 6 ? 64 (4)原式= ( x ? y) 2 ( x 2 ? xy ? y 2 ) 2 ? [(x ? y)(x 2 ? xy ? y 2 )]2

? ( x 3 ? y 3 ) 2 ? x 6 ? 2x 3 y 3 ? y 6
说明: (1)在进行代数式的乘法、除法运算时,要观察代数式的结构是否满足乘法公式 的结构. (2)为了更好地使用乘法公式,记住 1、2、3、4、?、20 的平方数和 1、2、3、 4、?、10 的立方数,是非常有好处的.

1 的值. x3 1 2 解:? x ? 3x ? 1 ? 0 ? x ? 0 ? x ? ? 3 x 1 2 1 1 1 2 2 原式= ( x ? )( x ? 1 ? 2 ) ? ( x ? )[( x ? ) ? 3] ? 3(3 ? 3) ? 18 x x x x 说明:本题若先从方程 x 2 ? 3x ? 1 ? 0 中解出 x 的值后,再代入代数式求值,则计算较
2 【例 4】已知 x ? 3x ? 1 ? 0 ,求 x ?
3

烦琐.本题是根据条件式与求值式的联系,用整体代换的方法计算,简化了计算.请注意整 体代换法.本题的解法,体现了“正难则反”的解题策略,根据题求利用题知,是明智之举. 【例 5】已知 a ? b ? c ? 0 ,求

1 1 1 1 1 1 a( ? ) ? b( ? ) ? c( ? ) 的值. b c c a a b

解:? a ? b ? c ? 0,? a ? b ? ?c, b ? c ? ?a, c ? a ? ?b

? 原式= a ?
?

b?c a?c a?b ?b? ?c? bc ac ab


a(?a) b(?b) c(?c) a2 ? b2 ? c2 ? ? ?? bc ac ab abc

? a 3 ? b 3 ? (a ? b)[(a ? b) 2 ? 3ab] ? ?c(c 2 ? 3ab) ? ?c 3 ? 3abc
? a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc ②,把②代入①得原式= ?
说明:注意字母的整体代换技巧的应用. 引申:同学可以探求并证明:

3abc ? ?3 abc

a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc ? (a ? b ? c)(a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca)
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好学者智,善思者康 二、根式
式子 a (a ? 0) 叫做二次根式,其性质如下: (1) ( a )2 ? a(a ? 0) (3) (2) (4)

a 2 ?| a |
b b ? (a ? 0, b ? 0) a a

ab ? a ? b (a ? 0, b ? 0)

【例 6】化简下列各式: (1)

( 3 ? 2) 2 ? ( 3 ? 1) 2

(2)

(1 ? x)2 ? (2 ? x)2 ( x ? 1)

解:(1) 原式= | 3 ? 2 | ? | 3 ? 1|? 2 ? 3 ? 3 ? 1 ? 1

?( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 2 x ? 3 ( x ? 2) (2) 原式= | x ? 1| ? | x ? 2 |? ? ?( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 1 (1 ? x ? 2)
说明:请注意性质 a 2 ?| a | 的使用:当化去绝对值符号但字母的范围未知时,要对字 母的取值分类讨论. 【例 7】计算(没有特殊说明,本节中出现的字母均为正数): (1)

3 2? 3

(2)

1 1 ? a b

(3) 2

x ? x3 ? 8 x 2

解:(1) 原式=

3(2 ? 3) (2 ? 3)(2 ? 3)

?

3(2 ? 3) 22 ? 3

?6?3 3

(2) 原式=

a?b a 2 b ? ab 2 ? ab ab
2x ? x ? x 2 ? 2 ? 22 x ? 2 x ? x x ? 2 2 x ? 3 2 x ? x x 2? 2

(3) 原式= 2

说明:(1)二次根式的化简结果应满足:①被开方数的因数是整数,因式是整式;②被 开方数不含能开得尽方的因数或因式. (2)二次根式的化简常见类型有下列两种:①被开方数是整数或整式.化简时,先将它分解 3 因数或因式,然后把开得尽方的因数或因式开出来;②分母中有根式(如 )或被开方 2? 3 数有分母(如

a x x x ).这时可将其化为 形式(如 可化为 ) ,转化为 “分母中有根式” 2 2 b 2

的情况.化简时,要把分母中的根式化为有理式,采取分子、分母同乘以一个根式进行化 简.(如

3 2? 3

化为

3(2 ? 3) (2 ? 3)(2 ? 3)

,其中 2 ? 3 与 2 ? 3 叫做互为有理化因式).

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【例 8】计算: (1) ( a ? b ? 1)(1 ? a ? b ) ? ( a ? b )2 (2)

a a ? ab

?

a a ? ab

解:(1) 原式= (1 ? b )2 ? ( a )2 ? (a ? 2 ab ? b) ? ?2a ? 2 ab ? 2 b ? 1 (2) 原式=

a a( a ? b)

?

a a( a ? b) ?

?

1 a? b

?

1 a? b

?

( a ? b) ? ( a ? b) ( a ? b )( a ? b )

2 a a?b

说明:有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式 二次根式的运算. 【例 9】设 x ?

2? 3 2? 3 ?

,y?

2? 3 2? 3

,求 x3 ? y3 的值.

解: x ?

2? 3 2? 3

(2 ? 3) 2 22 ? 3

? 7 ? 4 3, y ? 7 ? 4 3 ? x ? y ? 14, xy ? 1

原式= ( x ? y)( x2 ? xy ? y 2 ) ? ( x ? y)[( x ? y)2 ? 3xy] ? 14(142 ? 3) ? 2702 说明:有关代数式的求值问题:(1)先化简后求值;(2)当直接代入运算较复杂时,可根 据结论的结构特点,倒推几步,再代入条件,有时整体代入可简化计算量.

三、分式
当分式

A A 的分子、分母中至少有一个是分式时, 就叫做繁分式,繁分式的化简常用 B B
x 1? x x? 1 x? x

以下两种方法:(1) 利用除法法则;(2) 利用分式的基本性质. 【例 10】化简

解法一:原式=

x?

x ? 1? x x2 ? 1 x

x( x ? 1) x ? 1 x x x ? ? 2 ? ? 2 (1 ? x) ? x x x x ? x ? x x x? x? x ?1 ( x ? 1)( x ? 1) x ?1

解法一:原式=

x( x ? 1) x x x x ?1 ? ? ? 2 ? (1 ? x) ? x x(1 ? x) x x x ?x?x x? x? x? 2 1 x ?1 x ?1 (x ? ) ? x x

说明:解法一的运算方法是从最内部的分式入手,采取通分的方式逐步脱掉繁分式,解 法二则是利用分式的基本性质

A A? m 进行化简.一般根据题目特点综合使用两种方法. ? B B?m
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x 2 ? 3x ? 9 6x x ?1 ? ? 2 2 6 ? 2x x ? 27 9x ? x

【例 11】化简

解:原式=

x 2 ? 3x ? 9 6x x ?1 1 6 x ?1 ? ? ? ? ? 2 2 ( x ? 3)( x ? 3x ? 9) x(9 ? x ) 2(3 ? x) x ? 3 ( x ? 3)( x ? 3) 2( x ? 3) 2( x ? 3) ? 12 ? ( x ? 1)( x ? 3) ?( x ? 3)2 3? x ? ? 2( x ? 3)( x ? 3) 2( x ? 3)( x ? 3) 2( x ? 3)

?

说明:(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行,当分子、分母为多项式时,应先因式分 解再进行约分化简;(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式.


A 1.二次根式 a2 ? ?a 成立的条件是( A. a ? 0 B. a ? 0 )




C. a ? 0 ) C.-9
2

D. a 是任意实数

2.若 x ? 3 ,则 9 ? 6 x ? x2 ? | x ? 6 | 的值是( A.-3 3.计算: (1) ( x ? 3 y ? 4 z)
2 2 2 2

B.3

D.9

(2) (2a ? 1 ? b) ? (a ? b)(a ? 2b) (4) (a ? 4b)( a ? 4b ? ab)
2 2

(3) (a ? b)(a ? ab ? b ) ? (a ? b)

1 4

4.化简(下列 a 的取值范围均使根式有意义): (1) (3)

?8a3
4ab a b ?b a
m m 1 9m ? 10m ? 2m2 3 25 m
B 组 ):

(2) a ? ? (4)

1 a
1 3? 2 ? 2 3 ?1

1 2

?

5.化简: (1) (2)

2x ? 2 y x? y ? ( x ? y ? 0) x 2x2 y

1.若

1 1 3x ? xy ? 3 y ? ? 2 ,则 的值为( x y x ? xy ? y
3 5
B. ?

A.

3 5

C. ?

5 3

D.

5 3

2.计算: (1) ( a ? b ? c )( a ? b ? c ) (2) 1 ? (
-5-

1 2

?

1 3

)

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1 3?2 1 3?2

3.设 x ?

,y ?

,求代数式

x 2 ? xy ? y 2 的值. x? y
a b a 2 ? b2 ? ? 的值. b a ab

4.当 3a2 ? ab ? 2b2 ? 0(a ? 0, b ? 0) ,求

5.设 x 、 y 为实数,且 xy ? 3 ,求 x 6.已知 a ? 的值. 7.设 x ?

y x 的值. ?y x y

1 1 1 x ? 20, b ? x ? 19, c ? x ? 21 ,求代数式 a 2 ? b2 ? c2 ? ab ? bc ? ac 20 20 20

5 ?1 4 2 ,求 x ? x ? 2 x ? 1 的值. 2

8.展开 ( x ? 2)4 9.计算 ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3)( x ? 4) 10.计算 ( x ? y ? z )(? x ? y ? z )( x ? y ? z )( x ? y ? z ) 11.化简或计算: (1) ( 18 ? 4

1 1 3 ? )? 2 3 2? 3

(2) 2

2 1 ? 2 ? (2 ? 5)2 ? 3 5?2

(3)

x x ? x y x ? xy ? y ? xy ? y 2 x x?y y

(4) ( a ?

b ? ab a? b

)?(

a ab ? b

?

b ab ? a

?

a?b ab

)

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第一讲 习题答案 A组 1. C 2. A 3. (1) x2 ? 9 y 2 ? 16z 2 ? 6xy ? 8xz ? 24 yz (3) ?3a b ? 3ab
2 2

(2) 3a ? 5ab ? 3b ? 4a ? 2b ? 1
2 2

(4)

1 3 a ? 16b3 4

4. ?2a ?2a 5. m m B组 1. D 4. ?3, 2
4 3

? ?a

2( a ? b ) a ?b

?

2 ?1 2

2 xy
13 3 6

2. a ? c ? b ? 2 ac ,3 2 ? 2 3 5. ?2 3
2

3. ?

6.

3

7. 3 ? 5

8. x ? 8x ? 24 x ? 32 x ? 16 9. x ? 10 x ? 35x ? 50 x ? 24
4 3 2

10. ? x4 ? y 4 ? z 4 ? 2x2 y 2 ? 2x2 z 2 ? 2 y 2 z 2 11. ?3,

4 3 x? y , , b? a 3 y

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