2000-2017年全国高中数学联赛分类汇编(精编版)04概率统计

2000-2017 年全国高中数学联赛分类汇编(精编版)04 概率统计部分 1、 (2007 一试 3)将号码分别为 1、2、…、9 的九个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不 同,其余完全相同。甲从袋中摸出一个球,其号码为 a,放回后,乙从此袋中再摸出一个球, 其号码为 b。则使不等式 a?2b+10>0 成立的事件发生的概率等于( A. ) 52 81 B. 59 81 C. 60 81 D. 61 81 2、 (2008 一试 3)甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜 者得 1 分,负者得 0 分,比赛 进行到有一人比对方多 2 分或打满 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为 2 ,乙在每局 3 1 中获胜的概率为 ,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数 ? 的期望 E? 为 ( ) 。 3 (A) 241 81 (B) 266 81 ( C) 274 81 (D) 670 243 方法二: 依题意知,? 的所有可能值为 2、4、6.令 Ak 表示甲在第 k 局比赛中获胜,则 Ak 表 示乙在第 k 局比赛中获胜.由独立性与互不相容性得 P(? ? 2) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 A2 ) ? 5 , 9 P(? ? 4) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) 2 1 1 2 20 , ? 2[( )3 ( ) ? ( )3 ( )] ? 3 3 3 3 81 2 1 16 ,因此 P(? ? 6) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? 4( ) 2 ( ) 2 ? 3 3 81 第 1 页 共 6 页 5 20 16 266 .故选 B。 E? ? 2 ? ? 4 ? ? 6 ? ? 9 81 81 81 3、 (2 006 一试 12)袋内有 8 个白球和 2 个红球,每次从中随机取出一个球,然后放回 1 个 白球,则第 4 次恰好取完所有红球的概率为 . ∶ 00 ~ 9 ∶ 00 , 9 ∶00 ~ 10∶00 都恰有一辆客车到站,但到站的 4、 (2009 一试 8)某车站每天 8 时刻是随机的 ,且两者到站的时间是相互独立的,其规律为 到站时刻 8 ∶ 10 9∶ 10 8 ∶30 9∶30 8 ∶50 9∶50 概率 1 6 1 2 1 3 一旅客 8∶20 到车站,则它候车时间的数学期望为(精确到分) . 【答案】27 【解析】旅客候车的分布列为 候车时间(分) 概率 10 1 2 30 1 3 50 1 1 ? 6 6 70 1 1 ? 2 6 90 1 1 ? 3 6 1 1 1 1 1 候车时间的数学期望为 10 ? ? 30 ? ? 50 ? ? 70 ? ? 90 ? ? 27 2 3 36 12 18 5、 (2010 一试 6)两人轮流投掷骰子,每人每次投掷两颗,第一个使两颗骰子点数和大于 6 者为胜,否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 【答案】 . 12 17 第 2 页 共 6 页 6、 (2012一试8)某情报站有 A, B, C , D 四种互不相同的密码,每周使用其中的一种密码, 且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种. 设第1周使用A种密码, 那 么第7周也使用A种密码的概率是.(用最简分数表示) 【答案】 61 243 k A 种密码的概率,则第 k 周末用 A 种密码的概率为 【解析】用 P k 表示第 周用 1 1 1 1 1? ? 1 ? Pk .于是,有 Pk ?1 ? (1 ? Pk ), k ? N ? ,即 Pk ?1 ? ? ? ( Pk ? ) 由 P ? Pk ? ? 是 1 ? 1 知, 3 4 3 4 4? ? 首项为 3 1 1 3 1 k ?1 3 1 k ?1 1 ,公比为 ? 的等 比数列.所以 Pk ? ? (? ) ,即 Pk ? (? ) ? ,故 4 3 4 4 3 4 3 4 61 P7 ? 243 1 的概率在每对点之间连一条边, 2 7、 (2014 一试 8) 设 A, B, C , D 是空间四个不共面的点, 以 任意两点之间是否连边是相互独立的,则 A, B 可用(一条边或者若干条边组成的)空间 折 线连接的概率是__________. 【答案】 3 4 点相连,且B与C,D中至少一点相连,这样的情况数为(22 ?1 ) ? (22 ?1 ) ?9 (3)无AB边,也无CD边,此时AC,CB相连有22种情况,AD,DB相连也有22种情况, 但是其中AC, CB, AD, DB均相连的情况被重复了一次,故A, B可用折线连接的情况数为 22 +22 -1=7. 以上三类情况数的总和为32+9+7=48,故A,B可用折线连接的概率为 48 3 = . 64 4 8、 (2015 一试 5)在正方体中随机取三条棱,它们两两异面的概率为. 第 3 页 共 6 页 【答案】 2 55 3 【解析】设正方体为 ABCD-EFGH,它共有 12 条棱,从中任意选出 3 条棱的方法共有 C12 =220 种. 下面考虑使 3 条棱两两异面的取法数,由于正方体的棱共确定 3 个互不平行的方向(即 A B、 AD、AE 的方向) ,具有相同方向的 4 条棱两两共面,因此取出的 3 条棱必属于 3 个不同的方 向.可先取定 AB 方向的棱,这有 4 种取法.不妨设取的棱就是 AB,则 AD 方向只能取棱 EH 或 棱 FG,共 2 种可能,当 AD 方向取棱是 EH 或 FG 时,AE 方向取棱分别只能是 CG 或 DH.由 上 可知,3 条棱两两

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