黑龙江省哈尔滨市第六中学2013-2014学年高一数学上学期期中试题

哈尔滨市第六中学 2013—2014 学年度上学期期中考试 高一数学试题
考试时间:120 分钟 满分:150 分

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.已知集合 A ? {?1,0} , B ? {0,1} , C ? {1,2} ,则 ( A ? B) ? C ? ( (A) ? (B){1} (C) )

{0,1,2}

(D)

{?1,0,1,2}

2.设全集 U ? R ,集合 M ? {x | y ? 3 ? 2x} , N ? { y | y ? 3 ? 2x } ,则图中阴影部分表示 的是( ) U M N

3 (A) {x | ? x ? 3} 2 3 (C) {x | ? x ? 3} 2

3 (B) {x | ? x ? 3} 2 3 (D) { x | ? x ? 2} 2
) (D) b ? a ? c

3.设 a ? log5 4 , b ? (log5 3) 2 , c ? log 4 5 ,则有( (A) a ? c ? b (B) b ? c ? a (C) a ? b ? c

4. 下列函数中, ①y? (A)1 (B)2

1 ; ② y ? 3x ? 2 ; ③ y ? x4 ? x2 ; ④ y ? 3 x2 是幂函数的个数为 ( x3
(C)3 (D)4



5.给出四个命题:①函数是其定义域到值域的映射;② f ( x) ? 2 ? x ? x ? 2 是函数; ③函数 y ? 2 x( x ? N ) 的图像是一条直线;④ y ? 正确的命题个数( (A)1 (B)2 ) (C)3 (D)4

x2 与 g ( x) ? x 是同一函数. x

2 的定义域是 (??,1) ? [2,5) ,则其值域为( ) x ?1 1 1 (A) (??,0) ? ( ,2] (B) (?? ,2) (C) (??, ) ? [2,??) 2 2
6.函数 y ?

(D) (0,?? )

7.在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y) ,若不等式 ( x ? a) ? ( x ? b) ? 0 的解集是 (2,3) ,则

a ? b 的值为(
(A)1

) (C)4 (D)8

(B)2

? x 2 ? bx ? c( x ? 0) 8. 设函数 f ( x) ? ? , 若 f (?2) ? f (0) ,f (?1) ? ?3 , 则关于 x 的方程 f ( x) ? x ?2( x ? 0)
的解的个数是( (A)1 ) (C)3 (D)4

(B)2

9 .已知实数 a , b 满足 ( ) a ? ( )b ,给出下列五个关系式:① 0 ? b ? a ;② a ? b ? 0 ;③

1 2

1 3

0 ? a ? b ;④ b ? a ? 0 ;⑤ a ? b .其中能使得上式成立的个数是(
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4



?(3a ? 2) x ? 6a ? 1, x ? 1 10.已知函数 f ( x) ? ? x 在 (??,?? ) 上单调递减,则实数 a 的取值范围 ?a , x ? 1
是( (A) (0,1) ) (B) (0, )

2 3

(C) [ , )

3 2 8 3

(D) [ ,1)

3 8

11.已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? 2 x ,若 f (2 ? a 2 ) ? f (a) , 则实数 a 的取值范围是( (A) (??,?1) ? (2,??) ) (B) (?1,2) (C) ( ?2,1) (D) (??,?2) ? (1,?? )

12.已知偶函数 f ( x) 对任意 x ? R 都有 f ( x ? 3) ? ? 则 f (107.5) ? ( (A)10 (B) )

1 ,且当 x ? [?3,?2] 时, f ( x) ? 4 x , f ( x)

1 10

(C) ? 10

(D) ?

1 10

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.函数 y ?

? x 2 ? 3x ? 4 的定义域是___________ ln(x ? 1)

14.计算: 2(lg 2 ) 2 ? lg 2 lg 5 ? (lg 2 ) 2 ? lg 2 ? 1 ? ___________ 15.已知函数 f ( x) ? x 2 ? (1 ? k ) x ? k 有两个零点,且其中的一个零点在 (2,3) 内,则实数 k 的取值范围是_________ 16.函数 y ? ? x 2 ? 2ax(0 ? x ? 1) 的最大值是 a 2 ,那么实数 a 的取值范围是___________ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答时写出必要的文字说明,证明过程或解题步 骤.

17. (本小题满分 10 分)设 0 ? x ? 2 ,求函数 y ? 4

x?

1 2

? 2 x ?1 ? 4 的最大值和最小值.

18. (本小题满分 12 分)已知集合 A ? {x | x 2 ? 2ax ? 4a 2 ? 3 ? 0} ,集合

B ? {x | x2 ? x ? 2 ? 0} ,集合 C ? {x | x 2 ? 2x ? 8 ? 0}
(1)是否存在实数 a ,使 A ? B ? A ? B ?若存在,试求 a 的值,若不存在,说明理由; (2)若 A ? B ? ? , A ? C ? ? ,求 a 的值.

19. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? loga x(a ? 0, a ? 1) ,且 f (3) ? f (2) ? 1 . (1)若 f (3m ? 2) ? f (2m ? 5) ,求实数 m 的取值范围;

2 7 (2)求使 f ( x ? ) ? log 3 成立的 x 的值. x 2 2

20. (本小题满分 12 分)已知二次函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x ,且 f (0) ? 1 . (1)求 f ( x) 的解析式; (2)在区间 [ ?1,1] 上, y ? f ( x) 的图象恒在 y ? 2 x ? m 的上方,试确定实数 m 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分)已知定义在 ( ?1,1) 上的函数 f ( x) 满足对任意实数 x, y ? (?1,1) ,都 有 f ( x) ? f ( y ) ? f (

x? y ) ,且当 x ? 0 时 f ( x) ? 0 . 1 ? xy

(1)判断并证明 f ( x) 在 ( ?1,1) 上的奇偶性;

(2)判断并证明 f ( x) 在 ( ?1,1) 上的单调性; (3)若 f ( ) ?

1 5

1 1 1 1 ,求 f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 的值. 2 2 11 19

22. (本小题满分 12 分)已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? (1)求实数 a , b 的值;

b ? 2x 是奇函数. 2 x ?1 ? a

(2)若对任意实数 t ? R ,不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围.

一选择题 1C 2B 3D 4B 5B 6A 7C 8B 9C 10C 11C 12B 二填空题 13. (?1,0) ? (0,1] 三解答题 17.解:由已知得 y ? 所以 y ? 14. 1 15. (2,3) 16. [0,1]

1 ? (2 x ) 2 ? 2 ? 2 x ? 4 令 t ? 2 x ,? 0 ? x ? 2,?1 ? t ? 4 , 2

1 2 ? t ? 2 ? t ? 4 ,?t ? 2, ymin ? 2; t ? 4, ymax ? 4 2

18,解: (1) A ? B ? A ? B,? A ? B ,? ?

?? 1 ? 2 ? 2a

1 ,? a ? 2 ?? 1 ? 2 ? 4a ? 3
2

(2)可知集合 A 中无-4,2.至少有一个元素-1.

当 A ? {?1} 时, ?

?? ? 0
2 2 ?(?1) ? 2a(?1) ? 4a ? 3 ? 0,

? a ? ?1

当 A ? {?1, x}, x ? 2 时, ?

?? ? 0
2 2 ?(?1) ? 2a(?1) ? 4a ? 3 ? 0,

? a无解

19 解:? f (3) ? f (2) ? 1,? a ?

3 2

?3m ? 2 ? 0 2 ? ,? ? m ? 7 (1) ?2m ? 5 ? 0 ?3m ? 2 ? 2m ? 5 3 ?
(2) x ?

2 7 1 ? ,? x ? ? 或x ? 4 x 2 2
2

?a ? 1 ? 20.解: (1)设 f ( x) ? ax ? bx ? c ,由 ? f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x,f (0) ? 1 得 ?b ? ?1 ,所 ?c ? 1 ?
以 f ( x) ? x 2 ? x ? 1 (2)

x 2 ? x ? 1 ? (2x ? m) ? 0 恒成立,? m ? x 2 ? 3x ? 1恒成立? m ? ?1

21.(1)奇函数,证明略; (2)减函数,证明略; (3)1 22.(1) ?

?a ? 2 1 2 ?k ? ? (2)原不等式化为 k ? 3t ? 2t , t ? R恒成立, 3 ?b ? 1


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