1.3.5 二次函数性质的再研究_图文

1.3.5

二次函数性质的再研究

【学习目标】

1.理解二次函数的图象特征及其解析式.
2.探讨二次函数的性质.

二次函数的系数 已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图 1-3-5 所示.

图 1-3-5
确定符号:a______ <0 ,b______ >0 ,c______ >0 ,b2-4ac______. >0

练习 1:若 y=x2+ax+b 在[0,1]上的最大值为 1,最小值为 -2 ,b=________. 1 0,且 a≤-2,则 a=________

a 解析:对称轴为-2≥1,则 ymax=f(0)=1.

1 x=-2 , 练习 2:函数 f(x)=2(x-2)(x+6)的对称轴方程为________
-8 . 最小值为________

练习 3:二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0)的图象如图 1-3-6,
那么|OA|· |OB|=( B )

图 1-3-6

c A.a

c B.-a

c c C.a或-a

b2-4ac D. |a|

练习 4:二次函数 y=(k+1)x2-2(k-1)x+3(k-1)的图象的
顶点在 x 轴上,则 k=( D ) A.1 C.1 或-1 B.-2 D.1 或-2

【问题探究】
1.二次函数 f(x)=ax2+bx+c 在什么情况下是偶函数?可 以是奇函数吗? 答案:当 b=0 时为偶函数;不可能是奇函数.

2.二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的单调性是由哪些要素来确 定的?试写出其单调区间.
答案:二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的单调性由开口方向和对 称轴确定的.
? ? b 当 a>0 时,函数 f(x)的单调递增区间为?-2a,+∞?, ? ? ? b? 单调递减区间为?-∞,-2a?; ? ? ? b? 当 a<0 时,函数 f(x)的单调递增区间为?-∞,-2a?,单调 ? ? ? ? b 递减区间为?-2a,+∞?. ? ?

题型 1 求二次函数的值域 【例 1】 根据函数单调性求出下列函数的值域: (1)f(x)=x2+4x-1,x∈[-4,-3]; (2)f(x)=-2x2-x+4,x∈[-3,-1]; (3)f(x)=2x2-4x-1,x∈(-1,3);

1 2 (4)f(x)=-2x -x-1,x∈[-4,0].

解:(1)f(x)=x2+4x-1=(x+2)2-5,

在[-4,-3]上单调递减,y∈[-4,-1].
(2)f(x)=-2x
2

? 1?2 33 -x+4=-2?x+4? + 8 , ? ?

在 x∈[-3,-1]上单调递增,y∈[-11,3].
(3)f(x)=2x2-4x-1=2(x-1)2-3,

x∈(-1,3),当 x=1 时,取得最小值为-3,
又∵f(-1)=5,f(3)=5,∴y∈[-3,5).

1 2 1 1 2 (4)f(x)=-2x -x-1=-2(x+1) -2, 1 x∈[-4,0],当 x=-1 时,取得最大值为-2,
? 1? 又∵f(-4)=-5,f(0)=-1,∴y∈?-5,-2?. ? ?

求二次函数在某个区间的最值,最容易出现的 错误是直接代两头(将两端点代入),当然这样做,有时答案也

对,那是因为在该区间函数刚好单调,这纯属巧合.求二次函
数在某个区间的最值时,应先配方,找到对称轴和顶点,再结 合图形进行求解.

【变式与拓展】

1.求函数 y=3-2x-x

2

? 5 3? ,x∈?-2,2?的最值. ? ?

解:二次函数 y=3-2x-x2 的对称轴为

b x=-2a,即 x=-1.
画出函数的图象,由图 D21,可知:当 x

=-1 时,ymax=4.
所以函数 y=3-2x-x
3

图D21
? 5 3? , x∈?-2,2?的最大值为 ? ?

4, 无最小值.

题型 2 轴定区间动问题的分类讨论 【例 2】 设函数 f(x)=x2-2x-2(其中 x∈[t,t+1],t∈R) 的最小值为 g(t),求 g(t)的表达式. 解:f(x)=x2-2x-2=(x-1)2-3,

当 t+1≤1,即 t≤0 时,由图 D14 可知:截取减区间上的
一段,g(t)=f(t+1)=t2-3.

图 D14

当 1<t+1≤2,即 0<t≤1 时,正巧将顶点截取在内,如图

D15,g(t)=f(1)=-3.
当 t+1>2,即 t>1 时,截取增区间上的一段,如图 D16,

g(t)=f(t)=t2-2t-2.

图 D15

图 D16

?t≤0?, ?t2-3 ? ?0<t≤1?, 综上所述,g(t)=?-3 ?t2-2t-2 ?t>1?. ?
这是一道与二次函数有关的含参数的问题,本 例的二次函数的对称轴固定,而区间不固定,因此需要讨论该 区间相对于对称轴的位置关系.

【变式与拓展】 2.二次函数 y=-2x2+x+1,定义域为[t,t+1](t 为可变 常数),下列命题中错误的是( A )

1 9 A.当 x=4时,y 有最大值为8 1 1 9 B.当4∈[t,t+1],x=4时,y 有最大值为8 1 C.当4<t,x=t 时,y 取得最大值为-2t2+t+1 1 3 D .当 4 >t + 1 ,即 t< - 4 , x = t + 1 时, y 取得最大值为 -2(t+1)2+(t+1)+1

题型 3 区间定轴动问题的分类讨论 【例 3】 求函数 f(x)=x2-2ax-1 在区间[0,2]上的最大值 和最小值. 解:∵f(x)=x2-2ax-1=(x-a)2-a2-1. ∴f(x)的图象是开口向上,对称轴为 x=a 的抛物线. 当 a<0 时(如图 D17),f(x)的最大值为 f(2)=3-4a,f(x)的 最小值为 f(0)=-1.

图 D17

当 0≤a≤1 时(如图D18),f(x)的最大值为 f(2)=3-4a,f(x) 的最小值为 f(a)=-a2-1.

图 D18 最小值为 f(a)=-a2-1.

图 D19

当 1<a<2 时(如图 D19),f(x)的最大值为 f(0)=-1,f(x)的

当 a≥2 时(如图 D20),f(x)的最大值为 f(0)=-1,f(x)的最 小值为 f(2)=3-4a.

图 D20

本例是与二次函数有关的含参数的问题,本例 的二次函数是区间固定,对称轴变化,因此要讨论对称轴相对 于该区间的位置关系,例 2 和例 3 是二次函数中分类讨论中的

最基本的两种题型,应引起足够的重视.

【变式与拓展】 3.已知函数 f(x)=-x2+kx 在[1,3]上是单调函数,则实数

k≤2 或 k≥6 . k 的取值范围为____________
解析:函数 f(x)=-x2+kx 的图象是开口向下的抛物线,经 k 过坐标原点,对称轴是 x=2.∵已知函数在[1,3]上是单调函数, k k k ∴区间[1,3]应在直线 x=2的左侧或右侧,即有2≤1 或2≥3,解 得 k≤2 或 k≥6.

【例 4】 已知函数 f(x)=x2+ax+3-a,若当 x∈[-2,2]时,

f(x)≥0 恒成立,求实数 a 的取值范围. 易错分析:对二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0),当 x∈R, f(x)≥0 恒成立时,有Δ≤0. 片面理解为当 ax2+bx+c≥0(a>0),x∈[-2,2]恒成立时,

? ?f?-2?≥0, Δ≤0;或者理解为? ? ?f?2?≥0.

这都是由于函数性质掌握得不透彻而导致的错误.在二次 函数最值问题中,“轴变区间定问题”要对对称轴进行分类讨

论,“轴定区间变问题”要对区间进行分类讨论.

解:设 f(x)的最小值为 g(a). a ①当-2<-2,即 a>4 时,g(a)=f(-2)=7-3a≥0,解得 7 a≤3.故此时 a 不存在; ? a? a ②当-2∈[-2,2],即-4≤a≤4 时,g(a)=f?-2?=3-a- ? ? a2 4 ≥0,解得-6≤a≤2. 又-4≤a≤4,故-4≤a≤2;
a ③当-2>2,即 a<-4 时,g(a)=f(2)=7+a≥0,解得 a≥-7.

又 a<-4,故-7≤a<-4. 综上所述,实数 a 的取值范围为-7≤a≤2.

[方法· 规律· 小结]
1.二次函数的解析式有三种形式.

(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
(2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n (a≠0),其中,顶点为(m,n). (3)两根式 f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2 为二次函数的 图象与 x 轴的两个交点的横坐标.

2.对于二次函数

2 ? ? 4 ac - b b f(x)=ax2+bx+c=a?x+2a?2+ 4a , ? ?

当 a>0 时 , f(x) 的 图 象 开 口 向 上 , 顶 点 坐 标 为
2? ? 4 ac - b b ? ? ,对称轴为 ?-2a, ? 4a ? ?

? b? b x=-2a,f(x)在?-∞,-2a?上单调 ? ?

? ? b 递减,f(x)在?-2a,+∞?上单调递增.当 ? ?

b x=-2a时,函数取得

4ac-b2 最小值为 4a .

当 a<0 时 , f(x) 的 图 象 开 口 向 下 , 顶 点 坐 标 为
2? ? 4 ac - b b ? ? - , ? 2a ?,对称轴为 4 a ? ?

? b? b x=-2a,f(x)在?-∞,-2a?上单调 ? ?

? ? b 递增,f(x)在?-2a,+∞?上单调递减.当 ? ?

b x=-2a时,函数取得

4ac-b2 最大值为 4a .

3.二次函数的单调性只与对称轴和开口方向有关,因此, 其单调性的判断通常用数形结合法. 4.与二次函数有关的不等式恒成立问题要注意二次项系数 为零的特殊情形.


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