2019年高中数学第一章不等关系与基本不等式1.3平均值不等式课件北师大版选修4_509302161教育精品.ppt_图文

第一章 不等关系与基本不等式
§3 平均值不等式

学习目标 1.理解定理1,2,3,4的内容及等 号成立的条件. 2.能够应用平均值不等式进 行求最值及证明不等式简单 的应用.

重点难点
1.重点是平均值不等式在求最 值及证明不等式的应用. 2.难点是配系数、拆项等变 形技巧.

一、阅读教材P10的有关内容,完成下列问题: 1.定理1 对任意实数a,b,有a2+b2≥2ab,当且仅当___a_=__b______ 时取等号.

2.定理 2(两个正数的平均值不等式) 对任意两个正数 a,b,有a+2 b___≥____ ab,当且仅当 __a_=__b__时取等号.我们称a+2 b为___正_____数 a 与 b 的算术平均 值,____a_b____为正数 a 与 b 的几何平均值.因此,定理 2 又可 叙述为_________两__个__正__数__的__算__术__平__均__值__不__小__于__它__们__的__几__何__平__均. 值

不等式 x2+2+ x21+2≥2 能否取到?为什么?

x2+2· x21+2=2 中的等号

提示:不能取到.若等号能取到,须满足 x2+2= x21+2, 即 x2+2=1,该方程无实数解,故所给不等式中的等号不能取 到.

1.利用作差法证明定理2.

证明:因为a+2 b-

ab=?

a- 2

b?2≥0,

所以a+2 b≥ ab.

二、阅读教材P10~P14的有关内容,完成下列问题: 3.定理3 对任意三个正数a,b,c,有a3+b3+c3___≥_____3abc,当 且仅当___a_=__b_=__c___时取等号.
4.定理 4(三个正数的平均值不等式) 对任意三个正数 a,b,c,有a+3b+c≥___3__a_bc______,当 且仅当___a_=__b_=__c___时取等号. 这个定理可以叙述为__三__个__正__数__的__算__术__平__均__值__不__小__于__它__们__ __的__几__何__平__均__值________.

5.定理 2,4 的推广
一 般 地 , 对 n 个 正 数 a1 , a2 , … , an(n≥2) , 数 值 ___a_1+__a_2_+_n_…__+__a_n__,__n__a_1a_2_…__a_n_分别称为这 n 个正数的算术
平均值与几何平均值,且有__a_1_+__a_2+_n_…__+__a_n__≥___n _a_1_a_2…__a_n__, 当且仅当__a_1=__a_2_=__…__=__a_n_时,取等号,即 n 个正数的算术
平均值___不__小__于_____它们的几何平均值.

2.若不等式ba+bc+ac>3 成立,则正数 a,b,c 应满足的 条件是________.
解析:因为 a,b,c∈(0,+∞),
所以ba+bc+ac≥3 3 ba·bc·ac=3, 当且仅当ba=bc=ac,即 a=b=c 时取等号. 故 a,b,c 中至少有两个不相等时,等号就取不到. 答案:a,b,c不全相等

用平均值不等式证明不等式
(1)已知a,b,c都是正数. 求证:bac+abc+acb≥a+b+c. (2)已知 a,b,c 都是正数. 求证:???a12+b12+c12???(a+b+c)2≥27.

证明:(1)∵当 a>0,b>0 时,a+b≥2 ab, ∴bac+abc≥2 bac·abc=2c. 同理bac+acb≥2 bac·acb=2b, abc+acb≥2 abc·acb=2a.

将以上三个不等式相加,得 2???bac+abc+acb???≥2(a+b+c). ∴bac+abc+acb≥a+b+c, 当且仅当 a=b=c 时等号成立.

(2)∵a>0,b>0,c>0,

∴a+b+c≥33 abc>0.

∴(a+b+c)2≥93 a2b2c2>0.

∵a12+b12+c12≥3 3 a2b12c2>0,

∴???a12+b12+c12???(a+b+c)2≥3 3

1 a2b2c2·

93 a2b2c2=27,

当且仅当 a=b=c 时等号成立.

故原不等式成立.

【点评】 平均值不等式具有将“和式”和“积式”相互 转化的放缩功能,常常用于证明不等式,解决问题的关键是分 析不等式两边的结构特点,选择好利用平均值不等式的切入 点.但应注意连续多次使用平均值不等式时等号成立的条件是 否保持一致.

1.已知 a,b,c 都是正数. (1)求证:ab2+bc2+ca2≥a+b+c; (2)求证:(a+b+c)a+1 b+b+1 c+a+1 c≥92. 证明:(1)因为 a>0,b>0,c>0, 所以ab2+b≥2 ab2·b=2a.

同理bc2+c≥2b,ca2+a≥2c. 将以上三个不等式相加,得 ab2+bc2+ca2+(b+c+a)≥2(a+b+c). 所以ab2+bc2+ca2≥a+b+c, 当且仅当 a=b=c 时等号成立.

(2)因为 a>0,b>0,c>0, 所以(a+b)+(b+c)+(c+a)≥

3
3

?a+b??b+c??c+a?>0,

a+1 b+b+1 c+a+1 c≥3 3 a+1 b·b+1 c·a+1 c>0.

所以(a+b+c)a+1 b+b+1 c+a+1 c≥92, 当且仅当 a=b=c 时等号成立.

利用平均值不等式求最值

(1)若函数 f(x)=3x+3x且 x∈(0,1],则函数 f(x)的最小

值是( )

A.2

B.不存在

C.130

D.361

(2)设 x>0,y>0 且 2x+y=1,则1x+2y的最小值是________.

(3)已知 0<x<13,求函数 y=x(1-3x)的最大值.

(1)解析:因为函数 f(x)=3x+3x=13???x+9x??? 在区间(0,1]上是减函数,所以 f(x)min=f(1)=130.
答案:C

(2)解析:1x+2y=???1x+2y???·1=???1x+2y???(2x+y)= 4+4yx+yx≥4+2 4yx·yx=4+4=8,当且仅当 x=14, y=12时取等号,所以1x+2y的最小值是 8.
答案:8

(3)解:因为 0<x<13,所以 1-3x>0. 所以 y=x(1-3x)=13×3x(1-3x)≤13????3x+?21-3x?????2=112, 当且仅当 3x=1-3x,即 x=16时取等号. 所以当 x=16时,函数取得最大值112.

【点评】 利用平均值不等式求函数的最值或值域时,需 要同时满足三个条件“一正、二定、三相等”.“正”可通过 题设得到,对于各项为负的函数解析式,可通过提出负号达到 目的;“相等”可通过最后的验证得到;“定”往往需要一定 的灵活性和技巧性.常用构造定值条件的技巧有拆分、添项、 去项、统一变量等.

2.已知 x>-1,求函数 y=x2+x7+x+1 10的最小值.
解:令t=x+1,则x=t-1. 因为x>-1, 所以x+1>0,即t>0.

所以 y=x2+x7+x+1 10=?t-1?2+7t?t-1?+10 =t2+5tt+4=t+4t +5≥2 t·4t +5=9, 当且仅当 t=4t ,即 t=2,亦即 x=1 时取等号. 所以函数 y=x2+x7+x+1 10(x>-1)的最小值为 9.

利用三个正数的平均值不等式求最值
已知x>0,y>0,且x2y=4,试求x+y的最小值及 达到最小值时x,y的值.
解:因为 x>0,y>0 且 x2y=4, 所以 x+y=12x+12x+y≥3 3 14x2y=3 3 14×4=3, 当且仅当2x=2x=y 时等号成立. 因为 x2y=4, 所以当 x=2,y=1 时,x+y 取得最小值 3.

【点评】 (1)将 x+y 变形时,不能将它变形成13x+23x+y, 这样变形虽然同样可利用 x2y=4,但等号不能取到,所以得不 到最小值.
(2)应用平均值不等式,要注意三个条件,即“一正、二定、 三相等”同时具备时,函数才能取得最值.其中定值条件决定 着平均值不等式应用的可行性,获得定值需要一定的技巧,如 配系数、拆项、分离常数、平方变形等.

3.求函数 y=2x2+3x(x>0)的最小值,指出下列解法的错误 之处,并给出正确解法.

解:法一 因为 y=2x2+3x=2x2+1x+2x

3
≥3

2x2·1x·2x=33 4,

所以函数

y=2x2+3x的最小值是

3
3

4.

法二 因为 y=2x2+3x≥2 2x2·3x=2 6x,当且仅当 2x2=

3x,即 x=3 212时,函数 y=2x2+3x取到最小值,所以函数 y=2x2

+3x的最小值是 2

3


212=2

33 12=26 324.

解:法一错在取不到等号,即不存在 x 使得 2x2= 1x=2x; 法二错在 2 6x不是定值(常数). 正确的解法:因为 y=2x2+3x=2x2+23x+23x≥

3
3

2x2·23x·23x=3 3

92=323 36,

当且仅当 2x2=23x,即 x=326时取等号,

所以 ymin=323 36.

解决恒成立问题
设 0<x<y,且不等式 x+ y≤a x+y 恒成立, 则实数 a 的最小值是________.
解析:显然 a>0,由题意,得不等式 a≥ xx++yy恒成立.则 a 必须大于或等于 xx++yy的最大值.

法一

?
∵??
?

xx++yy????2=x+yx++2y

xy=1+2x+xyy≤2,

当且仅当 x=y 时等号成立,

∴ xx++yy的最大值为 2.∴a≥ 2.

∴实数 a 的最小值为 2.

法二 ∵ xx++yy= x+x y+ x+y y,???? x+x y????2+???? x+y y????2=1, ∴令 x+x y=cos θ, x+y y=
sin θ???θ∈???0,2π??????,则 xx++yy=cos θ+sin θ= 2sin???θ+π4???≤ 2,当且仅当 θ=π4时等号成立.

∴ xx++yy的最大值为 2. ∵不等式 a≥ xx++yy恒成立, ∴a≥ 2,即实数 a 的最小值为 2.
答案: 2

【点评】 解决某些含参数的不等式恒成立问题时,可通 过分离参数的方法,使参数与变量分别位于不等式两端,从而 将问题转化为求关于变量的函数的最值,进而通过平均值不等 式求出参数的取值范围.

4 . 若 关 于 x 的 不 等 式 x2 + ax + 1≥0 对 于 一 切 x∈(0,2) 恒 成 立,则实数a的取值范围是____________.
解析:∵x2+ax+1≥0,x∈(0,2), ∴关于 x 的不等式 a≥-???x+1x???对于一切 x∈(0,2)成立. ∵x+1x≥2 x·1x=2,当且仅当 x=1 时等号成立, ∴-???x+1x???≤-2.∴a≥-2. 答案:[-2,+∞)

1.应用平均值不等式判断不等式是否成立或比较大小, 解题策略是对所给不等式变形,然后利用平均值不等式求解.
2.利用平均值不等式求最值,一般按以下三步进行: (1)看式子能否出现和(或积)的定值,若不具备,需对式子 变形,凑出需要的定值. (2)看所用的两项是否同正,若不满足,通过分类解决;同 负时,可提取“-1”变为同正.

(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证.若满足,则可 取最值;若不满足,则可通过函数单调性或导数解决.
切记利用平均值不等式求最值时的三个条件“一正、二 定、三相等”必须同时满足,函数方可取得最值,否则不可 以.
3.求参数的值或取值范围问题,解题策略是观察题目特 点,利用平均值不等式确定相关成立的条件,从而得到参数的 值或取值范围.

谢谢观看!


相关文档

2019教育年高中数学第一章不等关系与基本不等式13平均值不等式课件北师大版选修4509302161数学
2019年高中数学第一章不等关系与基本不等式1.1不等式的性质课件北师大版选修4_509302158教育精品.ppt
2019教育年高中数学第一章不等关系与基本不等式11不等式的性质课件北师大版选修4509302158数学
2019年高中数学第一章不等关系与基本不等式1.5不等式的应用课件北师大版选修4_509302164教育精品.ppt
2019-2020年高中数学第一章不等关系与基本不等式1.2.1绝对值不等式课后练习北师大版选修
2019-2020年高中数学第1章不等关系与基本不等式学业分层测评4平均值不等式北师大版选修
2019-2020年高中数学第1章不等关系与基本不等式学业分层测评5运用平均值不等式求最大小值北师大版选修
2019-2020年高中数学第一章集合与函数概念1.3-1.3.1单调性与最大小值第2课时函数的最大小值练习新人教版必
2019-2020年高中数学 同步教学第二章 2.2 函数的表示法课下作业 北师大版必修1
2019年高中数学 第二章 解三角形章末复习提升课巩固提升训练 北师大版必修5
电脑版