人教版高中数学必修四课件:3.1.1两角差的余弦公式 (共27张PPT)_图文

问题提出 1.在三角函数中,我们学习了哪些基本的三 角函数公式? 2.对于30°,45°,60°等特殊角的三角函数值 可以直接写出,利用诱导公式还可进一步求出 150°, 210°,315°等角的三角函数值.我们 希望再引进一些公式,能够求更多的非特殊角 的三角函数值,同时也为三角恒等变换提供理 论依据. 3.若已知α,β的三角函数值,那么 cos(? ? ? ) 的值是否确定?它与α,β的三角函数值有什 么关系?这是我们需要探索的问题. 探究:两角差的余弦公式 思考1:设α,β为两个任意角, 你能判 断 cos(? ? ? ) ? cos? ? cos ? 恒成立吗? 思考2:我们设想 cos(? ? ? ) 的值与α,β的三角 函数值有一定关系,观察下表中的数据,你 有什么发现? cos(60°-30°) 3 2 cos60° 1 2 1 2 cos30° 3 2 sin60° 3 2 sin30° 1 2 cos(120°-60°) cos120° 1 2 ? cos60° 1 2 sin120° 3 2 sin60° 3 2 思考3:一般地,你猜想 cos(? ? ? ) 等于什么? cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? 思考4:如图,设α,β为锐角,且α>β,角α的 终边与单位圆的交点为P1, ∠P1OP=β,那 么 cos(? ? ? ) 表示哪条线段长? y P1 P O M x cos(? ? ? ) ? OM y cosβ A O P1 sinβ P x 思考5:如何用线段分别表示 sin ? 和 cos? ? 思考6:cos? cos ? ? OA cos? ,它表示哪条线段长? sin ? sin ? ? PAsin ? ,它表示哪条线段长? y A C O P1 P sinαsinβ B x cosαcosβ 思考7:利用OM=OB+BM=OB+CP可得什么结论? y P1 P x sinαsinβ A C O B M cosαcosβ cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? y 1 A P1 ? sin ? P cos ? C ? ? ? ?? B M 1 x O cos? cos ? + sin ? sin ? 思考8:上述推理能说明对任意角α,β,都有 cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? 成立吗? 思考9:根据 cos ? cos ? ? sin ? sin ? 的结构特征, 你能联想到一个相关计算原理吗? 思考10:如图,设角α,β的终边与单位圆的交点 分别为A、B,则向量 ΟΑ 、 ΟB 的坐标分别是什么?其 数量积是什么? OA ? (cos ? , sin ? ) y A α OB ? (cos ? , sin ? ) B β O x OA ? OB ? cosα cosβ ? sinα sinβ 思考11:向量的夹角θ与α、β有什么关系?根据 数量积定义, OA ? OB等于什么?由此可得什么结论? ? ? ? ? 2k? ? ? y A α θ β B x O cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? 思考12:公式 cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? 称为差角的余弦公式,记作 ? sin ? sin ? C? ? ?,该公式 有什么特点? 公式的结构特点: 左边是两角差的余弦; 右边是同名三角函数积 的和。 理论迁移 例1 求 cos 15 ?的值 分析:cos15? ? cos(45? ? 30?) cos15? ? cos(60? ? 45?) 6? 2 答案: cos15? ? 4 变式训练1 0 ? ? _____ 1. cos15? cos105? ? sin 15? sin 105 2. cos(? ? 21?) cos(? ? 24?) ? sin(? ? 21?) sin(? ? 24?) ? _____ 2 2 4 π 5 例2 已知sinα? ,α ? ( ,π ),cosβ ?- , 5 2 13 β 是第三象限角,求c os(α -β )的值。 4 5 变式训练2 已知sinα? ,cosβ ?- , β 是第三象限角, 5 13 求cos(α -β )的值。 4 解:因为sinα ? ? 0,所以α 是第一或第 二象限角。 5 3 2 (1)如果α 是第一象 限角,那么cosα ? 1 - sin α? . 5 5 又由cosβ? - ,β 是第三象限角,得 13 2 12 sinβ? - 1 - cos β? - . 13 63 所以cos(α - β )? cosα cosβ? sinα sinβ? 65 当堂检测 1. cos(? ? 50o ) cos(? ?10o ) ? sin(? ? 50o ) sin(? ?10o ) ? _____ 2. cos70o cos10o ? sin 70o cos80o ? _______ 1 3 ? 3.已知 cos ? ? , cos( ? ? ? ) ? ? ,0 ? ? , ? ? , 求 cos ? . 2 5 2 回顾小结 1.学到了什么知识? 2.怎么获得这些知识 ? 3.你有什么感悟和体 会? G?波利亚: 在你证明一个数学定理之前,你必 须猜想到这个定理;在你搞清证明 细节之前,你必须猜想证明的主导 思想. 高斯:“一个人在无结果地深思一真理后能够 用迂回的方法证明它,并最后找到了它 的最简明而又最自然的证法,那是极其 令人高兴的.” “假如别人和我一样深刻和持续地思考 数学真理

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